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   Volúmenes


              Proporcionalidad directa  
            Costes unitarios 
             Pérdidas en la producción
             Interés simple
             Llenado de un depósito
             Reparto proporcional
             Proporcionalidad compuesta
 

Proporcionalidad directa

            La consideración de fracciones equivalentes por “generalización” o “reducción” es uno de los aspectos determinados por un buen conocimiento entre los chinos de la proporcionalidad. Como etapa final del mismo, la llamada Regla de Oro, actualmente conocida como regla de tres (sea directa o inversa), era ampliamente utilizada en todos los ámbitos económicos. En particular, tras una larga introducción al cálculo con fracciones en el primer capítulo, el Jiuzhang dedica el segundo capítulo a la aplicación de esta regla.

            En un tiempo donde la moneda (el qian) era reciente y poco extendida entre los pueblos agrícolas de China, la actividad comercial en el campo se basaba en el trueque. Aunque en estos casos imperaban las costumbres y usos tradicionales en el intercambio, los administradores debían formalizar estos trueques a efectos recaudatorios, ya que las tasas se recaudaban en productos agrícolas y no en monedas.

            Así, una tasa de una determinada cantidad de mijo podía cambiarse por arroz, alubias o cualquier otro producto. Para ello era necesario establecer una tabla de medidas estandarizadas de cada producto a partir de la cual fuera posible realizar los cambios de los mismos a la hora de recaudar las tasas, según el cultivo que procediera.

            Esta tabla aparece al comienzo del segundo capítulo del Jiuzhang, lo que permite después enunciar una serie de problemas basados en estos datos:

Tabla del mijo y el arroz

Mijo

50

Arroz crudo

30

Arroz brillante

27

Arroz refinado

24

Arroz imperial

21

Trigo molido

13 ½

Cebada molida

54

Alubias

45

Alubias fermentadas

63

Alubias tostadas

103 ½

En la agricultura se manejaban sobre todo medidas de volúmenes de granos y líquidos, cuyas unidades más frecuentes eran las siguientes: 

de forma que:               1 shi  =  10 dou
                                      1 dou  =  10 sheng

            Teniendo en cuenta que el dou equivalía aproximadamente a 2 litros, el shi serían 20 litros y el sheng equivaldría a 1/5 de litro de grano o líquido.

            Pues bien, a partir de estos datos se proponen en el Jiuzhang los primeros problemas en torno al cambio de grano. Así, el 2.1 plantea el caso de 1 dou de mijo que se desea cambiar por arroz crudo. Téngase en cuenta que, según la tabla, 50 dou de mijo equivalen a 30 dou de arroz crudo, lo que quiere decir que este último producto es más valioso. Conforme a ello,

                                   50 dou mijo ----  30 dou arroz
                                     1 dou mijo ----    x dou arroz

            Así se entiende la escueta forma de solución dada en el texto: “Para encontrar el arroz crudo del mijo: multiplicar por 3 y dividir por 5”. En efecto:

de donde se obtiene la respuesta transformando el dou en 10 sheng:                  x  =  30/5  sheng  =  6 sheng

            A partir de este sencillo problema se plantean otros de creciente complejidad de cálculo como el 2.20:

             “Sean ahora 15 dou  5 2/5  sheng de arroz crudo que se desea (cambiar) por mijo. Encontrar la cantidad”.

            Este dato implica la conversión de la cantidad de arroz en una fracción impropia:

15 dou  5 2/5 sheng  =  155  2/5  sheng  =  775/5  sheng

de manera que:

o, como se afirma en la forma de resolución, multiplicar por 5 y dividir por 3:

            De este modo, todos los problemas de cambio de productos agrarios se reducen a conservar la relación entre sus equivalencias mostradas en la tabla. El problema 2.2, por ejemplo, plantea el caso de 2 dou 1 sheng de mijo que se desea cambiar esta vez por arroz brillante. Para encontrar la cantidad equivalente de este último el funcionario sólo tenía que mirar la tabla de manera que la relación  arroz brillante / mijo  venía dada por la razón  27/50. Así que ésta era la razón por la que había que multiplicar la cantidad dada de mijo: 


Costes unitarios

            La aplicación o el cálculo del coste unitario de un producto conduce en definitiva al método llamado hoy en día “reducción a la unidad”. De los dos pasos en que consiste (hallar el coste unitario y calcular el coste de varias unidades a partir del unitario) hay ejemplos en el Suan shu.

            En esta obra se dedica incluso un apartado especial para este tipo de cálculos del valor unitario, como es el caso de las varillas 74 a 77. En ellas se plantea hallar el coste unitario de la sal cuando 1 shi 4 dou 5  1/3 sheng tienen un coste de 150. El método de resoluciónes sencillo: Tomar la cantidad de producto que se compra o se vende como divisor y el coste de la misma como dividendo. Así pues:

1 shi 4 dou 5  1/3 sheng  =  145 1/3 sheng  =  436/3  sheng

de modo que:                                             150 : 436/3  =  450/436  por sheng

Para calcular el coste unitario por shi:               100 x  450/436  =  103  92/436  por shi

            Como dijimos, también aparece el caso de conocer el coste unitario de un producto y pedir que se calcule el precio final de alguna cantidad dada. Éste es el caso de la varilla 59 donde se trata de conocer el coste de un dou de laca, valorándolo en 35. Se pregunta entonces cuál será el de 5/40 dou. Naturalmente, el procedimiento a seguir es sencillo:

35  x  5/40  =  175/40  =  4  15/40  =  4  3/8

            El coste se ha dejado como una cantidad sin dimensión apropiada puesto que podría servir como un índice comparativo al modo de la tabla de mijo y arroz. Sin embargo, en los intercambios comerciales se utilizaba desde la dinastía Qin y ya en tiempo de los Han una moneda circular con un agujero cuadrado en su interior llamada qian. No tenía subunidades pero sí múltiplos de dos qian, tres, cuatro, etc.

            El propio cálculo unitario de un producto proporcionaba la solución a un problema peculiar: Se trataba de pagar una cantidad cualquiera con el menor número posible de monedas del valor más cercano entre sí. El Jiuzhang presenta así el problema 2.38  donde se dispone de 78 piezas de bambú por un coste total de 576 qian.

            Evidentemente, se puede abonar esta cantidad con 288 monedas de dos qian. Incluso si se pone la restricción de que las monedas sean de dos y tres qian, cabe una solución entre muchas posibles de utilizar 53 monedas de dos qian y 120 monedas de tres. Pero lo que se desea es tener el menor número posible de monedas de dos valores consecutivos. Ciertamente uno se puede preguntar si éste es un problema real o un simple juego matemático pero el caso es que los calculistas lo resolvían de una manera ingeniosa.

            En general, si tenemos A piezas que cuestan en total B qian, basta dividir B:A para obtener el coste unitario de cada pieza. En el caso planteado,  576 : 78  nos da 7 de cociente con un resto de 30, lo que quiere decir que el coste por pieza es 

7  30/78  qian

            De forma general, si  B:A  da un cociente Q y un resto R, será:                 B  =  A x Q  +  R

Si descomponemos el número A total de piezas en dos partes:

A  =  (A – R) + R

resulta                                                                         B  =  (A – R) Q + R Q + R

o bien                                                                           B  =  (A – R) Q +  R (Q + 1)

Disponemos así de un modo de expresar el número B total de qian en función de Q y Q+1 qian:

576  =  30 x 8  +  48 x 7

de manera que las piezas de bambú se pueden pagar con treinta monedas de 8 qian y 48 de 7 qian, tal como muestra el citado texto como solución.

 


Pérdidas en la producción

            Existen diversos problemas tanto en el Suan shu como más frecuentemente en el Jiuzhang sobre las pérdidas ocasionadas por un mal etiquetado de tasas o medidas, o por el procesamiento de los productos. Es indudable que los administradores del imperio se veían obligados a tasar esa pérdida de peso para comprobar la ausencia de fraudes y establecer las tasas y registros esperables. Podían medir el peso de la seda que entraba en el taller de procesado, también el que salía pero no podían controlar cada una de las manipulaciones que se hacían en el interior del taller al limpiar el producto de impurezas. Del mismo modo, el grano que se llevaba en carretas hasta los graneros locales o de distrito podía pesarse pero sufría mermas debido al proceso de secado que era necesario cuantificar.

            Antes de continuar resulta necesario exponer las unidades utilizadas durante el imperio Han en torno al peso de los productos y materias primas:

                                               1 shi   =  4 jun
                                               1 jun   =  30 jin
                                               1 jin    =  16 liang
                                              1 liang =  24 zhu

donde la unidad más alta, el shi, equivalía a unos 29,5 kg actuales, de manera que otra unidad ampliamente utilizada, el jin, venía a ser un cuarto de kg.

            Pues bien, el baremo establecido por el imperio precisaba que por cada jin de seda limpia se perdían 7 liang (aproximadamente las dos quintas partes de la seda en crudo).

            Así, se plantea el problema de disponer de una cantidad de 23 jin 5 liang de la seda en crudo. ¿Cuál será el peso de la seda esperable al final?  La solución propugnada pasa por multiplicar los jin que entran al taller para su limpieza por la pérdida de 7 liang/jin:                         23  5/16  jin  x  7 liang/jin  =  161 35/16  =  163  3/16 liang

fracción esta última que puede expresarse en zhu:             3/16  x  24  =  72/16  =  4  ½  zhu

para dar la solución  10 jin  3 liang  4 ½  zhu.

            Este tipo de pérdidas eran registradas en todos los ámbitos de la producción y se registraban cuidadosamente estableciendo números índices que se aplicaban constantemente para todo tipo de materias primas. Otra muy frecuente es la producción de bronce, uno de los materiales importantes para la producción de armas pero también de recipientes de carácter religioso.

            Así, las varillas 50 y 51 del Suan shu presentan el siguiente problema:

“En el bronce moldeado la pérdida sobre 1 shi es de 7 jin 8 liang. Ahora hay 1 jin 8 liang 8 zhu de bronce, ¿qué pérdida habrá?”

            Este problema, de cálculo un tanto más complejo, precisa la transformación de unidades. Así, al objeto de expresar todas las cantidades dadas en la unidad más pequeña propuesta, el zhu, resultaría:

1 shi  =  4 jun  =  120 jin  =  1920 liang  =  46.080 zhu

7 jin  8 liang  =  120 liang  =  2.880 zhu

1 jin  8 liang  8 zhu  =  24 liang  8 zhu  =  584 zhu

            De este modo, la cantidad de bronce inicial (584 zhu) ha de multiplicarse por la pérdida (2880 zhu) habida en una cantidad estándar de bronce (46080 zhu) para darnos la pérdida total producida en este caso concreto:

            Ha de mencionarse que estos números índices deberían aplicarse de un modo sistemático a todas las operaciones realizadas sobre la materia prima antes de ser transformada en producto acabado. Hemos mencionado el proceso de limpieza de la seda en que se perdían 7 liang por cada jin de seda en crudo. Ahora bien, otro problema (el 3.17) del Jiuzhang menciona la operación de secado de la seda en la que la pérdida era de 2 liang por jin de seda limpia, como se puede deducir de los datos presentados:

“Ahora hay 30 jin de seda; en el (proceso de) secado se pierden 3 jin 12 liang. Ahora hay 12 jin de seda seca, encontrar la cantidad de seda (original)”.

            En efecto, 3 jin 12 liang =  60 liang de pérdidas por cada 30 jin, de donde se deduce inmediatamente la cantidad de 2 liang perdidos por cada jin de seda original.

            Ahora bien, el problema es distinto de lo habitual porque se da como dato, además de la relación de pérdidas de la que hemos deducido el dato anterior, la seda final preguntándose por la inicial, al contrario de como hemos visto en los problemas anteriores.

            El procedimiento de solución dado en el Jiuzhang se enuncia del modo siguiente:

“Poner la seda (original) en liang, quitarle la pérdida y el resto será el divisor. Multiplicar 30 jin y la seda seca en liang para tener el dividendo. Dividir el dividendo entre el divisor para obtener la cantidad de seda (original)”.

            Así, los 30 jin de seda se expresan en liang (30 x 16  =  480 liang) de manera que como la pérdida es de 3 jin 12 liang (60 liang) se resta esta cantidad para dar la seda final:

480 – 60  =  420 liang

que actuará a modo de divisor en el resultado final de la siguiente proporción:

30 jin / 420 liang  =  x  /  12 jin

de forma que para conservar las relaciones dimensionales, los 12 jin finales de seda se pueden expresar como

12  x  16  =  192 liang

quedando                                                              30 jin / 420 liang  =  x  /  192 liang

La solución se obtiene, como enuncia el procedimiento del texto, multiplicando los 30 jin por 192 liang y dividiendo por 420 liang:


Interés simple

            Como aplicación de la regla de oro china también se plantean ocasionalmente problemas de intereses sobre un préstamo, revelando el grado de complejidad del sistema comercial y económico chino de la época de los Han. Así, el Jiuzhang propone en su problema 3.20 la realización de un préstamo que responde al tipo de 1000 qian con un interés mensual de 30 qian.

            Ahora bien, el préstamo es de 750 qian que es devuelto a los 9 días, lo que plantea la cuestión de saber qué interés ha de cobrarse por ello.   El método de solución afirma:

“Multiplicar 1000 qian por un mes de 30 días para ser el divisor. Multiplicar el presente crédito por el interés 30, y también multiplicar por 9 días para formar el dividendo. Dividir el dividendo entre el divisor para obtener la cantidad en qian”.

            Este problema nos introduce en la proporcionalidad compuesta ya que, planteado al modo actual, se establecen las relaciones: 

                        1000 qian --- 30 qian ---  30 días
                          750 qian ---   x  qian ---   9 días

            Lo que hace el resolutor en este caso, dado que ambas proporciones son directas, es seguir un procedimiento consistente en multiplicar la razón dada por las condiciones nuevas respecto a las condiciones tipo generales. Así, 9/30 nos da el factor correspondiente a los días reales respecto a las condiciones generales y, de igual modo, 30/1000 cumplirá el mismo papel respecto a los intereses a obtener:

            Un problema similar aparecía ya en el Suan shu, mostrando que la imposición de intereses en un préstamo debía tener una larga tradición en la economía china. Así, la varilla 64 refleja el problema de una cantidad de 60 que es devuelta a los 16 días. El interés del préstamo es de 3 por cada 100, el mismo que en el Jiuzhang, que es obra posterior pero recogiendo una larga tradición de cálculos matemáticos.  En este caso, del mismo modo:

 


 Llenado de un depósito

            Los denominados tradicionalmente en la enseñanza “problemas de grifos” tienen también su versión entre los calculistas chinos de la Antigüedad. La aplicación estaba referida a los trabajos hidráulicos que, en las épocas aquí tratadas, fueron ingentes. La extensión de la tierra cultivada resultaba esencial ante la necesidad de que un gobierno centralizado atendiera sus múltiples necesidades militares y económicas. Es por ello que durante las dinastías Qin y Han se extendieron los canales, los depósitos de agua que comunicaban con canales de irrigación, etc. Las excavaciones, como en el caso de Egipto, debieron dar lugar a diversos problemas de cálculo de volúmenes como los que examinaremos más adelante. Ahora nos vamos a referir tan sólo a un tipo de problemas que fueron populares en otro tiempo: Disponer de varios canales para llenar un depósito. Sabiendo el tiempo que tarda cada uno en dicho llenado hay que calcular el tiempo que necesitan todos los canales abiertos simultáneamente para completar la misma tarea.

            Es el caso del problema 6.26 del Jiuzhang:

“Sea ahora un depósito donde 5 canales (de irrigación) descargan agua. El primer canal necesita 1/3  de día para completarlo, el siguiente (canal) un día, el siguiente 2  ½  días, el cuarto 3 días para llenarlo y el último 5 días. Si todos los canales descargan juntos, encontrar el número de días para llenar el depósito”.

            Como actualmente, el problema se resolvía tomando, tal como dice el texto chino, al día como unidad de valor. De esta forma, en un día, cada canal llena una parte del depósito que es la siguiente: 

                                   Canal 1:           3
                                   Canal 2:           1
                                   Canal 3:           2/5
                                   Canal 4:           1/3
                                   Canal 5:           1/5 

            La suma de estas cantidades proporciona el divisor:                3 + 1 + 2/5 + 1/3 + 1/5  =  74 / 15

            Se toma como dividendo 1 día y se divide el dividendo entre el divisor, dando:

como aplicación de la proporcionalidad directa: 

 


Reparto proporcional

            El reparto en partes iguales es resuelto por la división de aquello que se reparte, pero en la vida económica han de considerarse las diferencias de los receptores en la escala social o bien sus diferentes aportaciones. El reparto proporcional es la herramienta matemática por excelencia que resuelve los problemas de repartir de forma desigual.

            Ya en el Suan shu se aborda este tipo de problemas en la adquisición de madera por tres hombres. Uno paga una cantidad de 5, otro 3 y el último 2. La venta posterior de la madera supone un beneficio de 4 que ha de repartirse entre los tres hombres de forma proporcional a lo que ha invertido cada uno.

            El método sostiene escuetamente que debe sumarse lo aportado por cada uno para formar el divisor, de manera que el dividendo se forme en cada caso multiplicando lo aportado inicialmente por cada uno y los beneficios obtenidos, 4.

                        Persona 1:        4 x 5 / 10  =  2
                        Persona 2:        4 x 3 / 10  =  1  1/5
                        Persona 3:        4 x 2 / 10  =  4/5

            El motivo de esta regla se basa de nuevo en la proporcionalidad directa: Si la primera persona aporta 5 sobre 10, la razón entre ambas cantidades ha de mantenerse considerando lo que ha de llevarse respecto a una ganancia de 4:

            Las distintas aportaciones económicas son un motivo para aplicar el reparto proporcional pero también, como hemos mencionado antes, la necesidad de considerar los rangos sociales. Así, se encuentran problemas donde una carga impositiva debe pagarse en mayor cantidad proporcionalmente al menor rango de que se disponga dentro de la nobleza. En otras ocasiones, como en la que se expone a continuación (problema 3.1 del Jiuzhang), las ganancias de productos obtenidos en común se reparten según la misma escala.

“Sean ahora cinco personas: Dai Fu, Bu Geng, Zan Niao, Shang Zao y Gong Shi, que van a cazar obteniendo un total de cinco venados. Se desea distribuirlos de acuerdo a sus rangos. Encontrar lo que cada uno recibe”.

            Por los resultados aportados se deduce que, tomando a Gong Shi como de rango 1, los demás van creciendo un grado en rango hasta que Dai Fu tenga de rango 5. Pues bien, el problema se resuelve del mismo modo que en el caso anterior. Primero se suman todos los rangos:                              5 + 4 + 3 + 2 + 1  =  15                   de manera que se pueda determinar lo que recibe cada uno del total de cinco venados:

                                   Dai Fu:          5 x 5 / 15  =  1  2/3
                                Bu Geng:          5 x 4 / 15  =  1  1/3
                                Zan Niao:         5 x 3 / 15  =  1
                              Shang Zao:         5 x 2 / 15  =  2/3
                                Gong Shi:         5 x 1 / 15  =  1/3

              El Zhang Qiujian es indudablemente una obra aritmética que, apoyándose en los mismos elementos que las dos anteriores, encierra una mayor complejidad. De ahí que los repartos proporcionales presenten peculiaridades que suponían un reto para los funcionarios de la época.

            Éste es el caso del problema 1.7 en el que se han de repartir un total de 59 jin 1 liang de oro entre 9 príncipes, 12 duques, 15 marqueses, 18 vizcondes y 21 barones. Naturalmente, el reparto será proporcional al rango de cada grado de nobleza, de manera que para cualquier cantidad recibida por el barón, los demás obtienen las siguientes cantidades respecto a la clase inmediatamente inferior:

                        Príncipe:           Duque + 5 liang
                           Duque:           Marqués + 4 liang
                       Marqués:           Vizconde + 3 liang
                       Vizconde:            Barón + 2 liang
                            Barón

            En primer lugar, los 59 jin 1 liang pueden expresarse como número entero siendo un total de 945 liang, habida cuenta de que 16 liang hacen 1 jin.

            Pues bien, actualmente este problema podría resolverse a partir de una cantidad indeterminada x recibida por un barón planteando una ecuación de primer grado:

21 x + 18 (x + 2) + 15 (x + 5) + 12 (x + 9) + 9 (x + 14)  =  945

            Lejos de este lenguaje simbólico, Zhang Qiujian opta por sumar todas las cantidades diferencia habidas, multiplicando cada una por el número de miembros de cada clase:

9 x 14 + 12 x 9 + 15 x 5 + 18 x 2  =  345 liang

            Es decir, si el reparto entre todas las clases fuera igualitario, 345 liang es lo que habría que distribuir de forma proporcional para establecer las diferencias marcadas por el enunciado. Por tanto, si a la cantidad a entregar le restamos ésta:

945 – 345  =  600 liang

obtenemos una cantidad que hay que repartir equitativamente entre todos los partícipes en el reparto. Sumando todos ellos, salen

9 + 12 + 15 + 18 + 21  =  75 personas

obteniéndose:                           600 : 75  =  8 liang

de manera que ésta es la cantidad que recibe cada uno, incluido cada barón, antes de establecer las diferencias de grado. Aplicándolas quedaría:

                                   Barón:                8 liang
                               Vizconde:              10 liang
                               Marqués:              13 liang 
                                    Duque:             17 liang  =  1 jin 1 liang
                                  Príncipe:             22 liang  =  1 jin  6 liang

            Este problema es particularmente interesante por un dato indirecto. En efecto, durante el tiempo en que es posible situar esta obra, el rango de conde fue abolido en el 404 d.C.  reinstaurándose en el 494. Al no aparecer en este problema se deduce que fue elaborado entre esos años, durante el siglo V de nuestra era.


Proporcionalidad compuesta

            La proporcionalidad simple no siempre daba respuesta al número de factores en juego dentro de unas relaciones proporcionales. Cuando había más de dos entramos en el caso de la proporcionalidad compuesta que, como veremos en el problema 3.23 siguiente, correspondiente al Zhang Qiujian, puede presentar un caso de proporcionalidad directa y otro de inversa.

“Sean ahora 7 personas que tardan 9 días en construir 12 ½  arcos. ¿Cuántos días tardarán 17 personas para construir 15 arcos?”.

            En términos actuales se establece una relación:

            Personas            Días               Arcos

                 7   ................. 9 ................ 12 ½
                17  ................. x .................   15

donde la relación arcos/días es directa pero la de personas/días resulta inversa. Es por ello que la solución es la siguiente, tal como viene dada en esta obra:

“Poner el número requerido de arcos y multiplicarlo por el número original de días y el número original de personas. Es el dividendo. Multiplicar el número original de arcos por el número requerido de personas y será el divisor. Dividir el dividendo entre el divisor para obtener la respuesta”.

En efecto:

            Uno de los aspectos que se consideraba cuidadosamente entre las aportaciones sea de soldados o de productos agrícolas de los distintos distritos era el coste del transporte, además del número de habitantes de cada distrito. Ello conducía nuevamente a considerar varias relaciones simultáneamente como se plantea en el problema 6.1 del Jiuzhang, dentro de un capítulo que examina distintos casos de proporcionalidad inversa y compuesta. El problema es el siguiente:

“Sea ahora una (forma) justa de transportar el mijo: El distrito A tiene 1000 familias y (requiere) 8 días de viaje para llegar a su destino; el distrito B tiene 950 familias y (requiere) 10 días de viaje; el distrito C tiene 1235 familias y 13 días de viaje; el distrito D tiene 1220 familias y 20 días de viaje. Los cuatro distritos transportan un total de 250.000 hu como impuesto y usa 10.000 carretas. Se desea que la contribución esté basada en las distancias y el número de familias. Encontrar la cantidad de mijo y el número de carretas para cada (distrito)”.

            Teniendo en cuenta que la distribución del impuesto es directamente proporcional al número de familias (cuando ese número crece el impuesto será mayor) pero inversamente proporcional al número de días de viaje requeridos (a mayor número de días el coste de transporte se encarece y debe disminuir proporcionalmente el impuesto), el calculista considera para cada distrito la razón entre el número de familias y el de días de viaje necesarios, al objeto de obtener la proporción en que cada distrito debe intervenir en el reparto:

                        Distrito A:        1000 / 8  =  125
                        Distrito B:        950 / 10  =    95
                        Distrito C:        1235 / 13  =  95
                        Distrito D:        1220 / 20  =  61

            A partir de estos datos, se suma                                125 + 95 + 95 + 61  =  376

hallándose la parte proporcional de cada uno de los distritos respecto a este total:

                        Distrito A:        125 / 376
                        Distrito B:          95 / 376
                        Distrito C:          95 / 376
                        Distrito D:          61 / 376

que es el coeficiente que se multiplica por el total de impuestos en hu de mijo demandados y por el número de carretas para obtener la solución:

            Distrito A:        83.100 hu        3.324 carretas
            Distrito B:        63.175 hu        2.527 carretas
            Distrito C:        63.175 hu        2.527 carretas
            Distrito D:        40.550 hu        1.622 carretas

                                                                                        
                          Menú China

 

económicas. Es por ello que durante las dinastías Qin y Han se extendieron