El círculo

  
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      Círculo y cuadrado   
               Los cálculos del Suan shu 
               Los cálculos del Jiuzhang

        
      El círculo en Liu Hui
        

Círculo y cuadrado

            Mientras que los cálculos que se realizan para hallar el área de un círculo en el Jiuzhang tienen por contexto la superficie de un campo, los orígenes del interés chino por la figura circular está relacionada con la astronomía y, a través de ella, con la naturaleza divina del cielo, las estrellas y el movimiento de los objetos celestes.

            La primera constancia del tratamiento que definirá el cálculo futuro del círculo se encuentra en el Zhou bi, el diálogo establecido hacia el siglo III a.C. entre un sabio y el duque de Zhou sobre estos temas. Éste último pregunta a Shang Gao, el sabio, cómo se extendían en sucesivos grados numéricos (siete círculos concéntricos correspondientes a las órbitas de los objetos celestes visibles) la circunferencia del cielo en tiempos antiguos. La respuesta es la siguiente:

“Los modelos para estos números son el círculo y el cuadrado. El círculo se transforma en cuadrado, el cuadrado se transforma en tricuadrado, y el tricuadrado se calcula (por el hecho de que) nueve nueves son ochenta y uno”.

para añadir poco después:

“El cuadrado pertenece a la Tierra, y el círculo pertenece al Cielo. El Cielo es un círculo y la Tierra es el cuadrado. Los números del cuadrado son básicos y el círculo es producido a partir del cuadrado”.

            El primer párrafo trata, pues, de la cuadratura del círculo, el hecho de que luego el cuadrado obtenido puede calcularse mediante tricuadrados que remiten al cálculo de una raíz cuadrada adecuada mediante multiplicaciones (las tablas del nueve o de multiplicar, tal como se conocen ahora).

          En el segundo párrafo se muestra el sentido de la relación entre el cuadrado, representando la Tierra, y el círculo, que remite al Cielo. Desde ese punto de vista, que el cuadrado produzca un círculo (la circularidad del cuadrado) corresponde a una relación entre Cielo y Tierra que puede darse de uno a otro, lo que está de acuerdo con la religiosidad china en muchos aspectos. En efecto, la relación entre el hombre y los dioses siempre fue en ambos sentidos de manera que no sólo los segundos influían sobre los primeros sino que la actitud moral y los hechos producidos por los hombres también afectaban al Cielo.

            De ahí que estos cálculos matemáticos entre las dos formas tuvieran una componente espiritual que les hacía cobrar una importancia determinada. Por ello, entre las primeras ediciones conservadas del Zhou bi, se encontraron dos figuras que representan precisamente esta relación en ambos sentidos: el cuadrado dentro del círculo (yuang fang) y el círculo dentro del cuadrado (fang yuan).

 

 


Los cálculos del Suan shu

            Actualmente sabemos que la razón entre la circunferencia y el diámetro de una figura circular es la misma que entre su área y el cuadrado del semidiámetro (o radio), pero esta igualdad de razones era desconocida en la antigüedad. De hecho la atención se centraba en calcular el área ciertamente pero la relación entre circunferencia y diámetro, al objeto de calcular la longitud de la primera a partir del segundo, era objeto de mucha atención y diversas hipótesis, como veremos a lo largo de este capítulo.

            El primer paso y quizá el más difícil de interpretar se encuentra en un grupo de varillas correspondientes al Suan shu donde se plantean dos problemas simétricos:

“Para hacer un tronco cuadrado a partir de un tronco redondo. El mayor, 4 chi 2  14/25 cun. ¿Cómo de largo es el tronco cuadrado que se consigue? Respuesta: su cuadrado 7 3/5 cun. Método: tomar 1/5  para hacer el dividendo; hacer 1 para 7. Tomar 1 para 4”.

            A continuación se propone el problema contrario de forma que con los datos que son respuesta en el anterior se pregunta, a partir del tronco cuadrado, cómo conseguir el redondo. El método de resolución del problema también es el contrario y por ello centraremos la atención en el primero de los problemas, antes enunciado.

            Como los datos numéricos confirman, la cantidad “mayor” (M) dada para el círculo se somete a las siguientes operaciones para dar el resultado (R):

            Es difícil interpretar el sentido de las operaciones efectuadas que en ningún caso son explicadas sino que se proponen como una regla a seguir para obtener, en este caso, la cuadratura del círculo.

            La primera pista es el hecho de que 7/5 = 1,4  una buena aproximación de la raíz cuadrada de 2, que resulta 1,4142...  de manera que 5/7 podría corresponderse a la inversa de raíz de 2, término que está implicado en el cálculo de la diagonal del cuadrado.

            Pues bien, si la cantidad M del círculo fuera la circunferencia C del mismo (tomada como longitud mayor de la figura), podría ser:

            ¿Qué sentido tiene esta operación?  Consideremos el cuadrado inscrito en el círculo.

            Para el diámetro d  el área de este cuadrado es  ½  d2 , cálculo que volveremos a suponer cuando examinemos la solución dada por el Jiuzhang.

            Pues bien, el lado de este cuadrado inscrito será entonces la raíz cuadrada de su superficie, es decir, la cantidad

            Una posibilidad que aquí planteamos como hipótesis es que si, en nuestros términos, tomamos  π  =  4, sería entonces

C / d  =  4

En ese caso,                                                                               d  =  C / 4

            Ahora bien, la relación   C / d  =  4  parece bastante burda y no hay constancia de ella de forma explícita en ningún otro texto de la Antigüedad. Esta falta de constancia no invalida la posibilidad porque en aquellos tiempos se realizaron varias hipótesis sobre esta relación, algunas de las cuales han llegado hasta nosotros y otras previsiblemente no.

 


Los cálculos del Jiuzhang

            Esta obra, escrita en el amplio plazo del 300 a.C. y el 200 d.C. está realizada con el propósito de formar funcionarios competentes. Por ello remite los problemas a contextos específicos, en particular para el caso que nos ocupa al cálculo de superficies de campos cultivados.

            Conviene examinar la secuencia de problemas planteados porque todos tienen un denominador común que luego se aplicará al campo circular. En primer lugar, no insistiremos en problemas ya examinados: los campos rectangulares tienen por área el producto de sus dos dimensiones. A partir de este hecho que se realiza con números enteros, fraccionarios y mixtos como forma de introducir este tipo de numeración, se plantean en el primer capítulo una serie de problemas particulares que se transforman todos en el cálculo de una superficie rectangular.

            Así, el problema 1.25:

“Sea ahora un gui tian (campo en forma de triángulo isósceles), ancho (base) 12 bu y longitud perpendicular (altura) 21 bu. Encontrar el campo”.

            El método propuesto consiste en multiplicar la mitad de la base por la longitud perpendicular, sugiriendo una descomposición del triángulo en dos partes iguales y su recolocación posterior, movimientos geométricos de marcado componente visual del gusto de los matemáticos chinos.

            A continuación se plantea el problema de un trapecio rectangular (1.27):

“Sea un xie tian (campo en forma de dicho trapecio), un ancho (base menor) 30 bu, un ancho (base mayor) 42 bu y longitud perpendicular (altura) 64 bu. Encontrar el campo”.

            El método para el cálculo de su superficie prescribe añadir las dos bases, dividir el resultado por dos y multiplicar por la altura del trapecio. El procedimiento en este caso parece residir en duplicar el campo invirtiendo su sentido para formar un rectángulo cuya superficie (suma de bases por la altura) habría que dividir por la mitad posteriormente.

  

            Dentro del mismo capítulo, muy pocos ejemplos después, el Jiuzhang trata en dos problemas de los campos circulares. Uno de ellos se formula así (1.32):

“Sea un yuan tian (campo circular), circunferencia 181 bu y diámetro  60  1/3  bi. Encontrar el campo”.

            En primer lugar, lo que puede sorprender es que haya datos de más. Basta conocer la circunferencia o el diámetro para realizar el cálculo pedido. Sin embargo, es lógico que se ofrezcan los dos datos en el enunciado porque la forma de resolución pasa por multiplicar ambos, de manera que la sobreabundancia se debe a una noción de eficacia (es necesario dar todos los datos para la resolución inmediata) y no como algunos estudios han supuesto a la ignorancia de la relación entre circunferencia y diámetro.

            El redactor del Jiuzhang ofrece uno prioritario pero luego aporta hasta tres métodos más que enriquecen su aportación.  En efecto, si A es el área, d el diámetro y C la circunferencia del campo circular, el primer método propone multiplicar la semicircunferencia con el semidiámetro:

            El segundo método es simplemente una forma de presentar este cálculo de forma más resumida: Multiplicar la circunferencia y el diámetro y dividir por cuatro.

            Es indudable que, dentro de la relación de problemas presentados, el objetivo es transformar el área circular en uno rectangular, al igual que se hacía en los campos anteriores. Ahora bien, el porqué se toma esta relación que es correcta desde el punto de vista actual, llevó varios siglos después al comentarista matemático Liu Hui a una propuesta realmente interesante que estudiaremos más adelante.

            Sin embargo, no hemos terminado con los métodos del Jiuzhang. El tercero de los que propone consiste en “multiplicar el diámetro por sí mismo, entonces por 3 y dividir por 4” mientras que el cuarto dice: “Multiplicar la circunferencia por sí misma y dividir por 12”. En nuestro simbolismo:

            Tercer método:    3 d2 / 4  =  A
            Cuarto método:    C2 / 12  =  A

            Si comparamos el segundo y tercer métodos para el cálculo del área:

se vuelve evidente que el autor está considerando una aproximación relativamente frecuente en la Antigüedad dentro de todas las culturas:

C  =  3 d 
π  =  C / d  =  3

que se reafirma en el paso del tercer al cuarto método. Esto es percibido por Liu Hui en el siglo III d.C. y, tratando de justificar el primer método que ve correcto se da cuenta, no obstante, que el cálculo de la circunferencia a partir del diámetro se apoya en la exactitud de la medida de la razón  C/d,  no contentándose con la aproximación del valor 3 dada por el Jiuzhang.

 


El área del círculo en Liu Hui

            En su comentario a los problemas anteriores, este autor deja constancia de lo comentado anteriormente: el intento de transformar el área del círculo en un rectángulo:

“La mitad de la circunferencia hace la longitud y la mitad del diámetro hace el ancho; consecuentemente el ancho y la longitud serán multiplicados, así se llega a los bu (medida de superficie) a partir del producto”.

            Observa también la relación 1:3 que sostiene el Jiuzhang entre el diámetro y la circunferencia y la conserva en su forma inicial de cálculo pero sustituyendo la circunferencia por el perímetro de un hexágono inscrito.

“Supongamos que el diámetro del círculo es de 2 chi; los valores de un lado del hexágono inscrito en el círculo y la mitad del diámetro del círculo son iguales. Correspondiendo a un lü de diámetro 1, el lü de la circunferencia del polígono es 3”.

            En otras palabras, si se toma como diámetro 1 chi, el radio, coincidente con el lado del hexágono, será de ½  chi o 5 cun (recordemos que  1 chi  =  10 cun), en cuyo caso el perímetro del polígono será de  6 x ½  chi  =  3 chi.

            A partir de esta construcción que respeta la relación 1:3 dada por el texto que comenta, Liu Hui introduce un procedimiento iterativo por el cual, a partir de un polígono de n lados, construye otro de 2n lados inscrito en el círculo. De este modo, el hexágono da paso a un dodecágono cuya área será una mejor aproximación al área del círculo.

            Consideremos entonces uno de los segmentos circulares en el que se inscribe el lado del hexágono y que permite construir sobre él los dos lados correspondientes del dodecágono.

            Sin duda, Liu Hui conocía las relaciones pitagóricas pero no son necesarias para determinar el área de cada triángulo que aparece cuando se amplía el área del hexágono a la del dodecágono. Le basta ver, en el dibujo, que dichos triángulos, divididos en su mitad por el radio del círculo, pueden recomponerse en forma de un rectángulo cuya área es fácilmente calculable a partir del lado L6 del hexágono:

“Entonces, dependiendo del dibujo, si se multiplica la mitad del diámetro para el segmento (circular) por la mitad del lado del hexágono, esto hace dos piezas de ello y, multiplicando esto por seis, se obtiene el área del dodecágono”.

            En efecto, éste último área será igual a:

para el caso planteado de un diámetro de 2 chi (20 cun) y un lado del hexágono de 1 chi (10 cun).

            Sin embargo, para continuar con el proceso de cálculo sucesivo resulta imprescindible averiguar la longitud del lado del dodecágono y ello exige, ahora sí, la aplicación de las relaciones pitagóricas de manera sistemática. Sea PQ el lado del hexágono.

            OM2  =  OQ2  -  ( ½  PQ )2
                
 MR  =  OR  -  OM 
             RQ2  =  MR2  +  ( ½  PQ )2

            Observemos que este procedimiento puede repetirse del mismo modo si PQ representa el lado de un polígono de n lados y RQ el subsiguiente lado del polígono de 2n lados.  En el caso del hexágono, este cálculo nos indica que

L6  =  5,176381

            Pues bien, el procedimiento es recursivo, de manera que la disposición geométrica de la figura 9.6 puede aplicarse al lado del dodecágono para obtener dos lados de un polígono de 24 lados que constituiría una mejor aproximación al área del círculo.

“Si, una vez hecho esto, se corta (dividiendo un lado en dos del polígono siguiente), entonces multiplica la mitad del diámetro para un segmento por el lado del dodecágono y multiplica esto por 6, entonces se obtiene el área del polígono de 24 lados”.

A6  =  300
A12  =  310,5829

            El procedimiento se sigue repitiendo, tal como indica el comentarista: “Se corta y vuelve a cortar hasta que se obtiene algo que no se puede cortar”, lo que es ambiguo por cuanto no está claro si preconiza que el procedimiento es finito (cuando no lo es, en rigor) o bien que se puede entender como finito para la exactitud que se pretende, en su caso con un número limitado de decimales o fracciones suficientemente pequeñas.

            En todo caso, prosigue con el polígono de 24 y 48 lados para alcanzar finalmente los de 96 y 192 lados que le proporcionan las siguientes áreas:

A96  =  313,9344  =  313  584/625
A192  =  314,1024  =  314  64/625

            A partir de este punto supone que la diferencia entre estas dos áreas de polígonos es mayor que la que queda entre el polígono de 192 lados y el propio área A del círculo. Es decir:

0  <  A – A192  <  A192 – A96 

            Teniendo en cuenta que lo que interesa es delimitar el área A del círculo, se puede expresar esta desigualdad del siguiente modo:

A192  <  A  <  2 A192  -  A96

En términos numéricos:                                     314  64/625  <  A  <  314  169/625

            Por tanto, el área del círculo se obtendría sumándole a 314 una fracción menor que

169/625  -  64/625  =  105/625

            Liu Hui escoge como fracción a añadir la de 36/625, no se sabe la razón salvo por el hecho de que la misma facilita la reducción de la fracción resultante a términos más manejables numéricamente.

A  =  A192  +  36/625  =  314  100/625  =  314  4/25

            A partir de este valor, Liu Hui vuelve a la relación inicial entre área y circunferencia del círculo, que pretendía explicar y precisar en su valor numérico. Si

A  =  ½  C  x  ½  d  =  ¼  C d
C  =  4 A / d

siendo d = 20 cun, entonces                           C  =  A / 5  =  (314  4/25)/5  =  7854 / 125

Por tanto, la razón entre circunferencia C y diámetro d que se suponía igual a 3 en el Jiuzhang, sería más exacta con el cálculo de Liu Hui

            Zu Chongzhi fue un matemático preocupado por alcanzar aún mayor exactitud en la relación entre circunferencia y diámetro que la que había obtenido Liu Hui. Escribió una obra en el 479 titulada Su Shu (Método de interpolación) que no ha llegado hasta nosotros. Tan sólo se ha conservado una referencia a sus aportaciones en una historia oficial de la dinastía Sui, que dice lo siguiente:

“Hacia el final del período Song (420 – 479), Zu Chongzhi, un historiador del distrito Nanxu, encontró una mejor aproximación. Tomó 100.000.000 unidades de 1 zhang sobre el diámetro del círculo (de longitud 2 zhang) y encontró un valor superior de 3 zhang 1 chi 4 cun 1 fen 5 li 9 hao 2 miao 7 hu y un valor de 3 zhang 1 chi 4 cun 1 fen 5 li 9 hao 2 miao 6 hu para la circunferencia diciendo que el valor cierto debe estar entre los límites inferior y superior. Su razón “más cerrada” fue 355 para 113 y la razón “aproximada” era 22 a 7”.

            Aparecen aquí unos datos de interés. Lo que parece ser que realiza Zu Chongzhi es el mismo procedimiento de Liu Hui pero llevándolo a una precisión mayor. Su antecesor había truncado el cálculo intermedio de los lados de cada polígono (OM, MR y finalmente RQ) debido a sus propias limitaciones y al hecho de que, al tomar como diámetro 2 chi, las fracciones resultantes se hacían ya difíciles de imaginar.

            Este nuevo autor en cambio, realiza varias mejoras. Por una parte toma un diámetro considerablemente mayor de manera que los cálculos intermedios efectuados se expresan mediante una parte entera grande y la parte decimal (o fraccionaria para ellos) alcanza una mayor precisión puesto que no es necesario truncarla como lo hacía Liu Hui.

            Esta mayor definición en origen conduce además a que es posible alcanzar el cálculo de un polígono de 24.576 lados nada menos y con ello una precisión que, en términos actuales, sería de siete cifras decimales:

3,1415926  <  C/d  <  3,1415927

            Lo que resulta difícilmente interpretable es cómo llega desde una aproximación como

22 / 7  =  3  1/7  =  3,1428571

bastante amplia, a una más exacta:                  355 / 113  =  3  16/113  =  3,1415929         que es la que propone para uso habitual.

                                                                       
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