Obras y contexto
El método matricial
Tres
ecuaciones
Números
negativos
Método
de Liu Hui
El octavo capítulo del Jiuzhang está dedicado al “fang Cheng” o “método de las tablas”. Sirve para encontrar la solución a ecuaciones simultáneas en varias incógnitas. Su parecido con los procedimientos matriciales actuales, en concreto el de Cramer, es evidente, lo que hace más importante formularse una pregunta muy difícil de responder: ¿cómo construyeron este método? ¿cuál fue su proceso de elaboración?
Mientras en las culturas mesopotámica y egipcia los procedimientos matemáticos eran más primitivos por lo general y además se dispone de una abundante información arqueológica, en el caso de las matemáticas chinas no es así. Sus métodos son más elaborados y sofisticados matemáticamente que los de aquellas culturas. Se desconocen además, por falta de datos, las bases económicas, cotidianas, a partir de las cuales surge la necesidad de resolver unos determinados problemas, y también los fundamentos más primitivos, intentos primerizos, de resolverlos.
Lo que ha llegado hasta el día de hoy son una serie de textos escritos sobre bambú o, más tarde, en papel, destinados a resumir los conocimientos matemáticos en resolución de problemas para su aplicación en la Administración china. La propia naturaleza y justificación de las matemáticas en aquella época excluye los razonamientos conceptuales, las construcciones teóricas o todo tipo de explicación de por qué nacen los procedimientos de la forma en que lo hacen.
Como en los recientes vademécum de los ingenieros, se ofrece un método para resolver el tipo de problemas a los que tiene que enfrentarse el funcionario chino. En muchos casos, la construcción teórica es olvidada y así se asiste a la presencia de numerosas reglas de resolución de problemas con pequeñas variaciones entre sí y que hoy distinguimos como formas de un método más general.
No prestando atención, pues, a los aspectos teóricos más generales que permitiesen construir el conocimiento matemático de forma más abstracta; teniendo por objetivo la resolución de problemas inmediatos dentro de un contexto de formación de funcionarios, queda en la incógnita en la mayoría de los casos el cómo se construyeron esos procedimientos, a partir de qué elementos, qué cadena de razonamientos les permitieron alcanzar esa forma con que se presentaban a los estudiantes.
La relación entre el Suan shu, por ejemplo, y el Jiuzhang, es evidente. Tratan de la misma temática, incluso en la mayoría de los casos coinciden en los tipos de problemas tratados y sus métodos de resolución. Sin embargo, parecen estar separados por más de un siglo de distancia. Resumen el saber aritmético de su época, recogen métodos tradicionales cuyo origen queda así perdido y agrupan tipos de problemas con sus soluciones.
Los comentaristas como Liu Hui trabajan ya sobre materiales que datan de varios siglos antes, tratan de mejorarlos, explicarlos de algún modo, incluso puede decirse que encontrar una demostración aunque se apoye más en lo visual y no en el razonamiento deductivo. De su trabajo se desprenden hipótesis como el posible origen geométrico de la resolución de la raíz cuadrada o la ecuación cuadrática que acabamos de ver. Pero su objetivo fundamental vuelve a ser el presentar una colección de problemas con sus métodos de resolución, no tanto construir un edificio explicativo de las matemáticas de la época.
Esta sensación de que el origen de los procedimientos está perdido se agudiza con procedimientos como el que aquí tratamos. El método de las tablas trabaja de forma matricial y a un nivel abstracto con los coeficientes de las ecuaciones que conforman el problema. No cabe duda de que el Jiuzhang recoge sobre este tema una larga tradición que se apoya en lo visual, como mucho de la matemática china, disponiendo las varillas numéricas de forma ordenada en el suelo. Tratemos un primer problema para observar cómo funciona. Se trata del 8.13:
“Cinco recipientes grandes y uno pequeño tienen una capacidad total de 3 shi. Un recipiente grande y cinco pequeños tienen una capacidad de 2 shi. Hallar la capacidad de un recipiente grande y de uno pequeño”.
En términos actuales, si x es la capacidad del grande e y la del pequeño, se plantean las dos siguientes relaciones en forma de ecuación:
5 x + y =
3
x + 5 y = 2
El método de las tablas empieza por disponer en una columna los coeficientes de la primera ecuación y en otra columna a su izquierda los de la segunda ecuación:
1 5
5 1
2 3
El procedimiento entonces se basa en multiplicar los números de una columna por un número, al objeto de que alguno de los coeficientes se iguale a los de otra columna y, posteriormente, poder restarlos buscando hacer cero alguno de los coeficientes finales. Así, si multiplicamos la columna de la izquierda por 5, el coeficiente superior de la columna de la derecha, tendremos:
5 5
25 1
10 3
A continuación, como segundo paso, se restan de los coeficientes de la columna de la izquierda los respectivos de la derecha:
0 5
24 1
7 3
Con esto sería suficiente para tener el resultado porque se habría dado paso con la primera columna a la ecuación:
24 y = 7
que da la solución: y = 7/24 shi = 2 11/12 dou
y sustituyendo ese valor en la primera ecuación: x + 5 . 7/24 = 2
x = 2 - 35/24 = 13/24 shi = 5 5/12 dou
Sin embargo, el método de las tablas podría continuar multiplicando en la última tabla la columna derecha por 24:
0 120
24 24
7 72
para restarle a continuación los coeficientes respectivos de la columna izquierda:
0 120
24 0
7 65
que permitiera llegar a la solución de la x directamente:
120 x = 65
x = 65/120 = 13/24 shi = 5 5/12 dou
Del modo en que se presenta este procedimiento sólo se pueden hacer hipótesis creíbles. Indudablemente, el apoyo visual era importante. En este sentido, la habitual disposición en cuadrícula de los números según el orden de sus unidades sería un elemento a tener en cuenta.
A partir de ello, se podrían haber dado cuenta de que la solución de cualquier ecuación se alcanzaría a través de la manipulación de los coeficientes: 3 x = 24
3 24
1 24/3
1 8
Del mismo modo, una ecuación con dos incógnitas expresa la misma relación si los coeficientes se transforman en otros proporcionales:
3 x + 4 y
= 11
6 x + 8 y = 22
3 6
4 → 8
11 22
y el último paso consistiría en averiguar que, dadas dos ecuaciones simultáneas, se puede restar una de otra de manera que si a dos cosas iguales se le restan cantidades iguales el resultado sigue siendo una igualdad:
3 x + 4 y =
11
x + 2 y = 5
da lugar a: 2 x + 2 y = 6
1
3 2
2 4 → 2
5 11 6
Estos pasos lógicos pueden o no coincidir con el proceso de construcción del método pero, desde una óptica actual, parecen los elementos necesarios para conformarlo, aunque ello suponga hacer la hipótesis de que los procedimientos de tratamiento de ecuaciones de Al Kuwaritzmi en el siglo VIII d.C. ya eran practicados asiduamente por los calculistas chinos casi un milenio antes.
Entre los dieciocho problemas de este tipo propuestos por el Jiuzhang la mayoría son de dos o tres ecuaciones simultáneas aunque hay incluso de cinco ecuaciones. Vamos a considerar el problema 8.1 que corresponde a un sistema de tres ecuaciones con otras tantas incógnitas por cuanto en él se explica el método seguido que, dadas ciertas ambigüedades del texto, se ha completado teniendo en cuenta las explicaciones posteriores de Liu Hui.
“Sean ahora 3 recipientes de cereal de clase alta, 2 recipientes de cereal de clase media y 1 recipiente de cereal de clase baja, que producen 39 dou (de grano) por shi; 2 recipientes de cereal de clase alta, 3 recipientes de cereal de clase media y 1 de cereal de clase baja, que producen 34 dou por shi; 1 recipiente de cereal de clase alta, 2 de cereal de clase media y 3 de cereal de clase baja, que producen 26 dou por shi. Encontrar la medida (de granos) en cada recipiente de cereales de clase alta, media y baja”.
Actualmente se plantearía el sistema:
3 x + 2 y + z =
39
2 x + 3 y + z = 34
x + 2 y + 3 z = 26
Veamos el método de resolución tal como es descrito en el Jiuzhang, paso por paso.
“Poner encima 3 recipientes de cereal de clase alta, 2 recipientes de cereal de clase media y 1 recipiente de cereal de clase baja y 39 dou por shi en la columna de la derecha. Colocar las columnas en el centro y en la izquierda de la misma forma”.
1
2 3
2 3 2
3 1 1
26 34 39
“Tomar el cereal de clase alta de la columna de la derecha para multiplicarlo por todos los números de la columna central y entonces usar las sustracciones directas”.
Ello quiere decir que se toma el número de grano de clase alta en la primera ecuación (el 3) y se multiplica por todos los números de la columna central:
1
6 3
2 9 2
3 3 1
26 102 39
para inmediatamente restar de la columna central los respectivos números de la columna de la derecha:
1
3 3
2 7 2
3 2 1
26 63 39
El procedimiento de resta se puede hacer tantas veces como sea necesario, como explica Liu Hui, y en este caso, a la columna central se le vuelve a restar la columna derecha para obtener un primero coeficiente cero:
1
0 3
2 5 2
3 1 1
26 24 39
“A continuación multiplicar en la siguiente columna (es decir, la izquierda por el número de cereal de clase alta en la de la derecha, o sea, el 3) y entonces usar las sustracciones directas”.
De forma que se multiplican los números de la columna izquierda por 3:
3
0 3
6 5 2
9 1 1
78 24 39
para restar seguidamente a la columna izquierda así obtenida los números respectivos de la derecha:
0
0 3
4 5 2
8 1 1
39 24 39
“A continuación multiplicar toda la columna izquierda por el número representando el cereal de clase media en la columna central, y usar las sustracciones directas”.
Así pues, se multiplica la columna de la izquierda por 5:
0
0 3
20 5 2
40 1 1
195 24 39
para restarle los números correspondientes de la columna central:
0
0 3
15 5 2
39 1 1
171 24 39
y esa resta puede repetirse tres veces más de idéntico modo para obtenerse:
0
0 3
0 5 2
36 1 1
99 24 39
concluyéndose el procedimiento del siguiente modo:
“La columna de la izquierda tiene un número restante (representando) del cereal de clase baja. El divisor está entonces arriba y el dividendo abajo”.
En efecto, al haber hecho dos coeficientes cero en la columna izquierda tenemos la ecuación:
36 z = 99
z = 99/36 = 2 27/36 dou = 2 ¾ dou
lo que permite obtener las incógnitas restantes:
5 y + 99/36 = 24
y = 153/36 = 4 ¼ dou
3 x + 405/36 = 39
x = 324/36 = 9 ¼ dou
El método de fang cheng incluye, como hemos visto, una o más sustracciones entre columnas con el objetivo de transformar en ceros algunos de los coeficientes. Ello implica en algunas ocasiones la aparición de números negativos, cosa que los calculistas chinos tuvieron en cuenta sin mayores obstáculos, quizá por la naturaleza abstracta del procedimiento.
A partir de esa admisión y al objeto de realizar posteriores operaciones entre columnas, resultaba necesario operar números negativos (fu) y números positivos (zheng) entre sí lo que les conduce a formular el llamado “método zheng fu”:
“Cuando los nombres sean los mismos sustraer mutuamente, cuando los nombres sean diferentes añadir mutuamente. Positivo a partir de nada se vuelve negativo [ - (+ 3) = - 3 ], negativo a partir de nada se vuelve positivo [ - (- 3) = + 3 ]. Cuando los nombres sea diferentes sustraer mutuamente, cuando los nombres sean los mismos añadir mutuamente. Positivo y nada se vuelve positivo, negativo y nada se vuelve negativo”.
Este tratamiento de signos (nombres) puede comprobarse en el problema 8.3 del Jiuzhang:
“Sean ahora 2 recipientes de cereal de clase alta, 3 recipientes de cereal de clase media y 4 de cereal de clase baja, y todos ellos producen menos de 1 dou (de grano) por shi. Si añadimos un recipiente de cereal medio a los de clase alta o si añadimos 1 recipiente de clase baja a los de clase media, o si añadimos 1 recipiente de clase alta a los de baja, entonces cada grupo produce 1 dou por shi. Encontrar la medida de granos en cada recipiente de cereales de clases alta, media y baja”.
El planteamiento nos lleva al sistema de ecuaciones:
2 x +
y = 1
3 y + z = 1
x + + 4 z = 1
que, en forma de tabla, resulta:
1
0 2
0 3 1
4 1 0
1 1 1
Multiplicamos la columna izquierda por 2 y le restamos la columna de la derecha:
0
0 2
-1 3 1
8 1 0
1 1 1
Continuamos multiplicando la nueva columna izquierda por 3 y, para que se anule el coeficiente negativo, habrá que sumarle la correspondiente columna central:
0
0 2
0 3 1
25 1 0
4 1 1
que permite, considerando la columna de la izquierda, tener la primera incógnita correspondiente al grano de baja calidad:
25 z = 4 dou
z = 4/25 dou
y consiguientemente, las restantes incógnitas sustituyendo en las demás ecuaciones:
3 y + 4/25 = 1
3 y = 21/25
y = 7/25 dou
2 x + 7/25 = 1
2 x = 18/25
x = 9/25 dou
En sus comentarios posteriores Liu Hui no sólo explicó la naturaleza de este procedimiento sino que propuso modificarlo para hacerlo más eficiente. Habitualmente, el método de fang cheng consistía, tras la construcción de la tabla inicial, en la multiplicación de una de las columnas por un número de la otra al objeto de que luego, mediante restas sucesivas de la segunda, se consiguiera anular uno de los coeficientes de la primera.
Liu Hui propone que, puesto que se trata de anular dicho coeficiente a base de igualar lo sustraído a lo obtenido en la columna correspondiente, resultaba más eficaz trabajar con las dos columnas a la vez multiplicando cada una por un número dado de la otra de modo que, finalmente, quedasen los dos coeficientes iguales en cada columna y se pudiera proceder directamente a una sola resta.
Por ejemplo, supongamos la siguiente tabla que resulta en el problema 8.7 del Jiuzhang:
2 5
5 2
8 10
Deseamos que alguno de los coeficientes superiores se convierta en cero. Para ello, el primer paso consiste en igualarlos en ambas columnas, hecho que se garantiza si se multiplica la columna de la derecha por 2 y la de la izquierda por 5:
10 10
25 4
40 20
Ahora ya es posible hacer la resta directamente y sólo una:
0 10
21 4
20 20
Se repite el procedimiento multiplicando la de la izquierda por 4 y la columna derecha por 21:
0 210
84 84
80 420
procediéndose a restar ambas:
0 210
84 0
80 340
que permite encontrar las soluciones directamente:
84 y = 80 210 x = 340
y = 20/21
x = 34/21
