Obras y contexto
Simple
falsa posición
Doble
falsa posición
Otros casos
de exceso y déficit
Regla con valores supuestos
Las culturas antiguas eran conocedoras de un método de aproximación que permitía resolver lo que hoy conocemos como ecuaciones de primer grado. El procedimiento tuvo una larga aplicabilidad hasta que la notación algebraica y sus métodos asociados basados en lo simbólico fueron abriéndose paso en Occidente desde los siglos XVI y XVII sobre todo.
Del mundo mesopotámico, por ejemplo, data el siguiente problema:
“Tengo una piedra, no su peso. Un séptimo es añadido. Lo peso, una mina. ¿Cuál es el peso original de la piedra? 52 ½ gin”.
Teniendo en cuenta que una mina son 60 gin, mediante notación algebraica la ecuación se plantearía del siguiente modo:
En vez de nuestros métodos de factor común y compensación en ambos miembros de la igualdad, faltos entonces de todo procedimiento simbólico, se pueden dar valores a la x de manera que el resultado se acerque al deseado:
Para x =
7 8
Para x = 14 16
Para x = 21 24
...........
.....
Ya se puede observar que hay una relación de proporcionalidad directa entre el valor hipotético propuesto y el resultado obtenido. Así, a partir del primero, considerar como x el doble tiene por resultado el doble que el original, al igual que el triple, etc. Ello quiere decir que, bajo esta relación, se puede hallar el valor cierto de x sin más que plantear dicha relación aplicado al caso más sencillo (x = 7) y extendiéndolo al resultado. Así, si x es el valor que resuelve el problema:
de donde se obtiene el valor buscado:
En líneas generales, este método es aplicable a toda ecuación de primer grado de la forma: a x = b a,b conocidos
de manera que se considera un valor hipotético de la x cumpliendo: a x’ = b’
Dividiendo ambas igualdades: 
Los calculistas chinos utilizan métodos más complejos en el Jiuzhang, particularmente en el séptimo de sus capítulos, titulado “Exceso y déficit”, que trata del método de doble falsa posición.
Por ejemplo, el problema más sencillo abordado de esta forma es el 7.1:
“Sea ahora un número (de personas) comprando mercancías. Si cada persona paga 8 existe un exceso (ying) de 3, si cada persona paga 7 existe un déficit (bu zu) de 4. Encontrar el número de personas y el coste de las mercancías”.
Con este planteamiento ya se puede observar que la doble falsa posición se va a aplicar a problemas resolubles como ecuaciones de primer grado pero con dos incógnitas.
De esta forma, si el número de personas compradoras es a, x el coste de cada unidad de mercancía y b el coste total, la ecuación a x = b no tiene ningún valor conocido. Lo que sí nos afirma el problema es que si x = 8 sobran 3 monedas: 8 a = b + 3
y si x = 7 hay un déficit de 4 monedas: 7 a = b – 4
Si restamos ambas ecuaciones: (8 – 7) a = 3 – (-4)
Naturalmente, a partir de este dato es posible calcular el coste total b de las mercancías sin más que sustituir en cualquiera de las ecuaciones anteriores:
8 x 7 = b + 3
b = 53 monedas
Efectivamente, este método es textualmente expresado por el autor de la obra:
“Añadir el exceso y el déficit para tener el dividendo. Sustraer el pequeño del mayor de los valores propuestos y dejar el resto como el divisor. Dividir el dividendo entre el divisor para obtener el número de personas. Multiplicar esto por el valor propuesto y luego restar el exceso o añadir el déficit para obtener el coste de los mercancías”.
Aclarado este primer método de solución, debemos afrontar el hecho de que la obra presenta un procedimiento alternativo de mayor complejidad pero igualmente efectivo.
Para explicarlo recurriremos primero al razonamiento más general a partir de la ecuación original a x = b
Con un valor hipotético x’ se obtiene un exceso d’: a x’ = b + d’
Con otro valor hipotético x” se obtiene un déficit d”: a x” = b - d”
Restando como antes se ha hecho ambas ecuaciones se obtiene el valor de a:
a ( x’ - x” ) = d’ + d”
Ahora bien, es posible obtener el valor de b a partir de estas ecuaciones y no sustituyendo en cualquiera de ellas. Así, si la primera ecuación se multiplica por x”: a x’ x” = b x” + d’ x”
y si la segunda se multiplica por x’: a x’ x” = b x’ – d” x’
restando ambas: 0 = b (x” – x’) + (d’ x” + d” x’)
con lo que se puede entender el método (ying bu zu) tal como expone el Jiuzhang partiendo de una disposición de los valores supuestos, su exceso y déficit como la siguiente:
8 7
3 4
“Poned los valores propuestos encima y debajo los correspondientes exceso y déficit. Multiplicar en cruz (estos últimos, 4 y 3) y los valores propuestos (8 y 7) y añadir los productos para formar el dividendo. Añadir el exceso y el déficit para formar el divisor. Dividir el dividendo entre el divisor”.
Así, para el problema propuesto:
Otros casos de exceso y déficit
Formular dos valores hipotéticos, uno de los cuales origina un exceso y el otro un déficit supone saber entre qué valores debe estar el valor real de la incógnita. No siempre es así, puede que las dos hipótesis establecidas originen ambas un exceso o un déficit. Este hecho, que modifica algunos signos en la resolución del problema, es abordado a través de varios problemas en el Jiuzhang. Por ejemplo, en el 7.5 hay dos excesos:
“Sea ahora un número (de personas) comprando oro. Si cada persona paga 400 existe un exceso de 3400, si cada persona paga 300 hay un exceso de 100. Encontrar el número de personas y el coste del oro”.
El procedimiento de solución (denominado liang ying), aunque es consecutivo al anterior, se expone como otro distinto. Los calculistas chinos, carentes de la notación simbólica adecuada, con el objetivo de formar a futuros administradores ante problemas con ciertas diferencias entre sí, optan por asignar una categoría de problemas distinta aunque relacionada.
400 300
3400 100
Así, la solución a este problema vendría dada por:
Del mismo modo se plantea el problema 7.6 con la existencia de dos déficit. En este caso se toma como un problema de igual categoría que el de dos excesos, probablemente porque el procedimiento de solución implica las mismas operaciones con idénticos signos, dado que es el caso simétrico:
“Ahora existe un número (de personas) comprando cabras. Si una persona paga 5 existe un déficit de 45, si una persona paga 7 existe un déficit de 3. Encontrar el número de personas y el coste de las cabras”.
5 7
45 3
La solución, como en el problema anterior, viene dada por:
Algunos de los problemas presentados en el capítulo del Jiuzhang dedicado al “exceso y defecto” no son tan sencillos y obligan a realizar por parte del propio resolutor sus propios supuestos. Éste es el caso del problema 7.13, por ejemplo:
“Ahora tenemos vino de buena calidad, 1 dou del cual cuesta 50 monedas, y vino ordinario, 1 dou del cual cuesta 10 monedas. Con 30 monedas podemos comprar 2 dou de vino. ¿Cuánto compraremos de vino bueno y ordinario, respectivamente?”.
Dado que se dispone del coste de cada clase de vino y de lo gastado en total, el resolutor debe hacer sus propios supuestos que serán dos, de acuerdo con el procedimiento de doble falsa posición. Recuérdese que 1 dou equivale a 10 sheng de capacidad:
Caso 1: Si se toman 5 sheng de vino bueno han de comprarse 1 dou 5 sheng del ordinario para completar los 2 dou de vino adquiridos. Pero, dado su precio unitario, ello equivale a gastar
½ x 50 + 1 ½ x 10 = 40 monedas
de manera que hay un exceso de 10 monedas respecto de las 30 gastadas realmente.
Caso 2: Si se toman 2 sheng de vino bueno, serán 1 dou 8 sheng del vino ordinario, completando un precio de
1/5 x 50 + 1 4/5 x 10 = 28 monedas
y se registra un déficit de 2 monedas.
Así el problema se reduce a uno de doble falsa posición. Fijándonos exclusivamente en la cantidad de vino bueno (el ordinario depende de dicha cantidad hasta completar los 2 dou), el esquema sería:
5 sheng
2 sheng
10 -2
En la forma de solución intervienen nuevas relaciones deducibles de las ya conocidas, que vamos a explicar. Del planteamiento general hecho anteriormente, se extraía que
que puede escribirse : b (x’ - x”) = d’ x” + d” x’ (*)
Igualmente se verificaba, en caso de un exceso y un déficit:
a ( x’ - x” ) = d’ + d” (**)
de modo que si dividimos (*) entre (**) miembro a miembro y consideramos que lo que se obtiene en el primer miembro (b/a) es igual al valor de x en la ecuación a x = b:
ésta sería la relación utilizada en estos problemas para obtener el valor de x, cuando los de a y b son dados, como en el problema planteado. Pues bien, en él y a partir del esquema
5 sheng
2 sheng
10 -2
se cumplirá:
cantidad de vino bueno que ha de adquirirse. Por consiguiente, el vino ordinario habrá de ser de 1 dou 7 ½ sheng hasta completar los 2 dou.
El problema 7.18 del Jiuzhang es similar:
“9 piezas de oro pesan lo mismo que 11 piezas de plata. Si se reemplaza una pieza de oro por una de plata e inversamente la diferencia de peso es de 13 liang. ¿Cuánto pesan respectivamente una pieza de oro y una de plata?”.
Si, en nuestros actuales términos, fuera x el peso de una pieza de oro e y el peso de una plata, lo que se afirma en el enunciado de este problema es que se cumple:
9 x = 11 y
D = (10 y + x) – (8x + y) = 13 liang
Hay que recordar que, entre las medidas de peso,
1
jin = 16 liang
1 liang = 24 zhu
Pues bien, nuevamente se han de hacer supuestos sobre uno de los pesos (el de oro) que se considera el básico a partir del cual, dada la equivalencia entre 9 piezas de oro y 11 de plata, se puede deducir el peso de la plata respectiva, que depende de la de oro escogida. Así pues, se hacen dos supuestos:
Caso 1: Sea de 3 jin el peso de una pieza de oro. Eso hace que
11 y = 3 jin x 9 = 27 jin
y = 27/11 = 2 5/11 jin (pieza de plata)
En este caso, la diferencia D = 1 1/11 jin = 17 5/11 liang de manera que, como en realidad es de 13 liang, se registra un exceso de 4 5/11 liang = 49/11 liang = 49 / 16x11 jin
Caso 2: Sea ahora de 2 jin el peso de una pieza de oro, lo que lleva a que
11 y = 18 jin
y = 18/11 jin = 1 7/11 jin
de donde D = 11 7/11 liang
registrándose entonces un déficit de 1 4/11 liang = 15/11 liang = 15 / 16x11 jin
llegándose al esquema:
3 jin
2 jin
49 15
donde se ha prescindido del denominador 16 x 11 que permite la transformación en jin porque, al aparecer en el numerador y denominador en la resolución siguiente, se anularían:
para un total de: 2 15/64 jin = 2 jin 3 liang 18 zhu
de manera que la pieza de plata pesará: 1 jin 13 liang 6 zhu
tal como se indica en la resolución del problema.
