Fracciones

  
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             La noción de fracción   
            Simplificación de fracciones 
            Suma y resta de fracciones

       
    Multiplicación de fracciones
       
    División de fracciones 
           

La noción de fracción

            El avanzado tratamiento aritmético que se encuentra en los cálculos de las principales y tempranas obras dedicadas a este conocimiento, había de continuarse con el uso de fracciones. La razón fundamental es la de alcanzar una mayor exactitud en el cálculo. Así, la unidad de medida de longitud más habitual para medir un campo era el zhang, equivalente a unos 2,3 metros. Entre las unidades de masa utilizadas para medir la cantidad de bronce utilizado la medida del shi equivalía a casi treinta kg., mientras que otra subunidad, el jin, venía a corresponder a un cuarto de kg. Una mera aproximación en este tipo de medidas conducía a una acumulación de errores, sobrecostes, pérdidas en las ventas y recaudación de impuestos, etc.

            Naturalmente, siempre cabía utilizar la expresión de una cantidad mediante las subunidades. Por ejemplo, las unidades de longitud en el período Han eran:

cun ---> x 10 ---->  chi  ---> x 10  ---->  zhang

es decir,           1 zhang  =  10 chi
                         1 chi       =  10 cun

            Pues bien, supongamos la cantidad de   1 zhang y  ¾ de zhang

¾  de zhang se puede transformar en chi sin más que multiplicar por diez:      ¾  zhang  x  10  =  30/4  chi  =  7 chi y 2/4 de chi

que a su vez se puede transformar en cun :                 2/4 de chi  x  10  =  20/4  cun  =  5 cun

de manera que la cantidad inicial se pueda expresar como

1 zhang y  ¾ de zhang  =  1 zhang  7 chi  5 cun

            Pese a esta posibilidad, que no es ignorada por los calculistas chinos en el momento de dar el resultado de las operaciones, la utilización de las fracciones también es constante cuando se desea alcanzar una precisión en las medidas de longitud, superficie, masa, capacidad, etc. En ello demuestran una marcada superioridad sobre otras culturas de la Antigüedad que limitaban el uso de fracciones a las unitarias o buscaban insistentemente realizar sus cálculos sobre un conjunto de unidades y subunidades. A ello colabora su noción de fracción y la necesidad de cálculos complejos.

            Respecto a lo primero, parece que los calculistas chinos llegaron a la fracción, como se ha indicado en el apartado anterior, a través de la división y de la acción de repartir. Así, el reparto de 8 cosas entre cinco personas puede expresarse como  1  3/5. De esta manera las fracciones siempre son entendidas en origen como el resultado de un reparto. El Sun Zi suan jin afirma:

“Cuando el dividendo tiene un resto, con la ayuda del divisor se dice: el divisor es tomado como denominador, el resto del dividendo como numerador”.

            A partir de esto se entiende que la fracción más usual es aquella cuyo numerador (denominado zhi, el hijo) es menor que el denominador (mu, la madre), bajo la óptica de que el segundo, al dividir el todo en partes iguales, origina al primero por reunión de un grupo de esas partes llegándose a la usual descripción lingüística de “y fen zhi x”, es decir, x de y partes iguales, en términos actuales  x/y.

            Esto podría haber sido un obstáculo para la utilización de las fracciones impropias pero el hecho de que los calculistas chinos utilicen las fracciones dentro de un contexto de medida amplía constantemente los límites de este concepto con la sistemática utilización de números mixtos, como hemos visto en el ejemplo inicial, lo que no excluye la eventual presencia de fracciones donde el numerador es mayor que el denominador, eso sí, considerados como herramientas o expresiones fraccionarias que terminan por adquirir, en la mayor parte de las ocasiones, la forma de número mixto o conjunto de unidades y subunidades.

            Es necesario notar que determinadas fracciones, de uso muy frecuente, reciben nombres especiales. De este modo, 1/3 es nombrado como “menos de la mitad” y 2/3 como “más de la mitad”.

 


Simplificación de fracciones

            La necesidad de simplificar las fracciones al objeto de hacerlas comprensibles y manejables en subsiguientes cálculos es inmediata al realizar operaciones con fracciones, tanto en el contexto de reparto como de medida.  El Jiuzhang tiene una regla para ello:

“Lo que sea divisible por dos, se divide entre dos, lo que no lo sea: disponer los números de la madre y del hijo, disminuir lo mucho por medio de lo poco y así se sigue alternativamente a fin de determinar lo igual (deng shu). Simplificar la fracción por medio de este igual”.

            Es indudable que el cálculo con fracciones venía a ser una importante dificultad de aprendizaje en aquellos tiempos que, no obstante, era indispensable superar. Esta obra no explica en ningún momento los mecanismos de las operaciones básicas con números naturales y, en cambio, dedica el primer capítulo y diversidad de problemas a mostrar las diversas reglas existentes para el trabajo con fracciones. La primera es ésta, la más básica.

            El problema 1.5 presenta la fracción 12/18 con el propósito de reducirla. La división por dos de ambos términos nos conduce a  6/9. Resulta curioso observar que no se plantea en esta regla dividir por otro número que no sea el dos, quizá por razones de simplicidad. El caso es que la segunda parte de la regla propone sustraer en 6/9 del mayor el término más pequeño:

9 – 6  =  3

de manera que se compare a continuación el término más pequeño y el que acabamos de obtener:

6 – 3  =  3

            Este es el “deng shu” (nuestro máximo común divisor), el número que aparece igual al anterior, por el que debemos dividir numerador y denominador de la fracción original para obtener la más simplificada: 

            En el problema 1.6 se plantea un caso algo más complejo al considerar inicialmente la fracción 49/91  que no se puede dividir por dos. Por ello, se procede a realizar la segunda parte de la regla:

  91 – 49  =  42
49 – 42  =  7
42 – 7  =  35
35 – 7  =  28
28 – 7  =  21
21 – 7  =  14
14 – 7  =  7

            Finalmente, el número repetido es 7, por el que hay que dividir los términos de la fracción original:

            Esta regla de simplificación, conocida en Occidente como algoritmo de Euclides, ¿qué razón de ser tiene? Porque se da el caso de que los textos chinos son eminentemente pedagógicos y reúnen el saber de la época por medio de reglas que deben aplicarse en los problemas oportunos. Se puede entonces seguir la estructura matemática de sus procedimientos pero resulta difícil preguntarse el cómo y por qué se construyeron de esa forma.

            Liu Hui, en sus Comentarios, explica la utilización  del deng shu para reducir una fracción.

“Reducir utilizando el deng shu significa dividir (numerador y denominador) por el deng shu. Como cada par de números que es sustraído es un múltiplo del deng shu, ésta es la razón de por qué es reducido por el deng shu”.

            Fijémonos en la última resta:  14 – 7  =  7    donde el número 7 se repite tras todo el proceso de restas sucesivas. Ello garantiza que 14 también es múltiplo de 7. Siendo:                21 – 7  =  14

si 14 y 7 son múltiplos de 7, también lo es 21. Remontándonos de esa forma hacia arriba se llega a la conclusión de que 49 y 91 son ambos múltiplos de 7, el primer número repetido en el procedimiento. Todos los pares de números sustraídos, entonces, son múltiplos de 7, el deng shu tal como lo denominaban los chinos, o máximo común divisor como lo denominamos actualmente.

 


Suma y resta de fracciones

            Los procedimientos sobre fracciones que estos textos muestran prosiguen con la realización de las primeras operaciones, en concreto la suma y la resta. Se observa que el método propuesto se basa en encontrar fracciones equivalentes a las dadas por medio de la multiplicación de los denominadores. No hay, pues, una presencia del mínimo común múltiplo ni concepto análogo. Si la fracción resultante de la operación puede reducirse siempre se puede hacer posteriormente evitando así realizar dos procedimientos simultáneos.

            Esto se observa, por ejemplo, en el problema 1.7, que presenta las fracciones 1/3 y 2/5 dando como resultado 11/15. El denominador se ha obtenido multiplicando los dos denominadores dados:

            El método, tal como se enuncia en el Jiuzhang, es el que acabamos de mostrar:

“Multiplicar mutuamente cada numerador y los otros denominadores y hacer la suma para obtener el dividendo. Multiplicar los denominadores y hacer (el producto) para tener el divisor. Dividir el dividendo entre el divisor”.

            Su aplicación al caso anterior muestra que los calculistas chinos adoptaban con sus varillas una disposición determinada: Colocaban los numeradores a la izquierda y los denominadores a la derecha frente a los anteriores:

                                               1          3
                                               2          5

y luego obtenían el denominador multiplicando las dos cifras de la derecha y el numerador multiplicando en cruz y sumando los resultados habidos.

            El procedimiento puede aplicarse sistemáticamente a la suma de varias fracciones, como es el caso del problema 1.9 donde se plantea añadir ½ , 2/3 , ¾ y 4/5. El denominador se obtendría multiplicando todos los denominadores del siguiente modo:

que puede reducirse dividiendo primero por 2 para obtener:             163 / 60

y luego expresándolo como el número mixto:     2  43/60     , la respuesta dada en el Jiuzhang.

            Liu Hui explica todo lo realizado asignando nombres específicos a las operaciones parciales realizadas:

“Multiplicar cada numerador por los otros denominadores es llamado qi y multiplicar juntos los denominadores es llamado tong. El propósito del proceso tong es obtener un denominador común, mientras que el proceso qi de tomar el producto de cada numerador por los demás denominadores es preservar el valor original de cada fracción”.

            La sustracción de fracciones obedece exactamente a las mismas operaciones. Así el problema 1.10 plantea disponer de 8/9 para sustraer 1/5:

            Estas operaciones iniciales les permiten comparar dos fracciones determinando cuál es mayor y por cuánto, es decir, establecer un orden entre las fracciones. Es el procedimiento que denominan de comparación (ke fen). De esta manera, el problema 1.13, por ejemplo, propone comparar 8/9 y 6/7 para determinar cuál es el mayor y por cuánto. La respuesta indica que lo que se realiza simplemente es una sustracción entre ambas:

            El Suan shu shu ofrece algunos problemas de resta de fracciones también, observándose su utilidad en contextos cotidianos de compra y venta. Por ejemplo, en la varilla 28 se presenta:

“Tengo 3 zhu y 5/9 de zhu de oro. Ahora deseo pagar 6/7 de zhu con ello. ¿Cuánto oro quedará?

            La primera tarea del calculista es la de multiplicar los denominadores (9 x 7 = 63) para obtener el deng shu. A continuación se transforma la primera fracción en impropia      3 x 9 + 5 = 32       multiplicándose en cruz numeradores y denominadores:

                                               32        6
                                                 9        7

de manera que finalmente se resta del mayor (32 x 7 = 224) el menor (9 x 6 = 54) resultando la fracción  170/63 que procede a dividirse normalmente para obtener                      2  44/63 zhu

                        Como un nuevo procedimiento entre fracciones se presenta a continuación el llamado “ping fen” o cálculo del promedio de fracciones. Se trata de determinar qué fracción debe añadirse a la más pequeña de dos o más dadas y restarse de las más grande para obtener el mismo valor intermedio. Se enuncia de esta forma el objetivo de la nueva regla en el problema 1.15:

“Sean 1/3, 2/3 y ¾. Encontrar las cantidades que deben ser sustraídas de las (fracciones) mayores y ser añadida a la más pequeña (para obtener el valor medio) y encontrar este valor”.

            El método aducido no deja lugar a dudas de que lo realizado consiste en disponer con el mismo denominador las tres fracciones calculando qué cantidades deben ser restadas a las dos mayores (2/3 y ¾) para que el total sustraído pueda añadirse a la más pequeña obteniendo el valor medio de las tres:

“Sustraer 2 (doceavos) de ¾ y 1 (doceavo) de 2/3; la suma (de los sustraendos) es añadido a 1/3. Ello da el valor medio de 7/12”.

            En efecto, tomando como denominador el producto de 3 x 4 = 12, se disponen las tres fracciones

¾         2/3       1/3
9/12     8/12     4/12

Se calcula entonces qué cantidades quitar en los dos numeradores más altos para añadirlas al más pequeño. La respuesta será que restando 2/12 al primero y 1/12 al segundo, los 3/12 pueden añadirse al más pequeño para llegar al mismo valor intermedio de 7/12.

 


Multiplicación de fracciones

            En el prefacio del Zhang Qiujian suan jing, su autor afirma: “En el aprendizaje de las matemáticas, uno no está afectado por las dificultades en la multiplicación y división de enteros sino por las complejidades de las fracciones”. 

            Es por ello que las tres obras fundamentales a que estamos haciendo referencia en estos capítulos prestan una atención especial al cálculo con fracciones, al enunciado y práctica de sus reglas, todo ello desde una perspectiva pedagógica dedicada a los futuros oficiales administrativos del imperio Han y siguientes.

            Anteriormente hemos comprobado que la multiplicación tiene una aplicación inmediata en el cálculo de superficies de campos rectangulares. Naturalmente, esto conducirá a multiplicar números mixtos y por ello fracciones cuando se tomen medidas más exactas de sus dimensiones. El Suan shu shu precisamente comienza su primera varilla, la más elemental, con la multiplicación de distintas unidades de longitud y sus fracciones.

            Recordemos que, a partir de la unidad más elemental, el cun, es:

                                               10 cun  =  1 chi
                                               10 chi   =  1 zhang

            El texto empieza entonces por los siguientes ejemplos:

1 cun  x  1 cun  =  1 cun 2

1 cun  x  1 chi  =  1/10  chi 2

1 cun  x  100 chi  =  10 chi 2

½  cun  x  1 chi  =  1/20  chi 2

lo que sirve para tratamientos más abstractos referidos a la multiplicación elemental de fracciones en la tercera varilla: 

½  x  1  =  ½

½  x  ½  =  ¼

1/3  x  1  =  1/3

1/3  x  ½  =  1/6

1/3  x  1/3  =  1/9

            Todo esto hace pensar que no sólo es un recurso para la enseñanza de la multiplicación de fracciones, sino que puede ser el modo el que fue sistematizada la regla que luego será conocida. Una acertada comprensión multiplicativa de la relación que une numeradores (cuanto más grande mayor es la fracción) y denominadores (cuanto más grande menor es la fracción) puede conducir a la conclusión de que la mitad de una tercera parte es una sexta parte (1/3  x  ½  =  1/6). Del mismo modo, la mitad de ¾  resulta ser 3/8  de manera que se va descubriendo que el resultado se obtiene multiplicando los denominadores. Para el caso más general de hallar 2/3 de ¾, por ejemplo, se calcula 1/3 por la regla deducida antes: 

1/3  x  ¾  =  3/12

pero al tratarse de 2/3 será el doble de este resultado:

2/3  x  ¾  =  6/12

que se puede obtener más rápidamente con la regla general de multiplicar numeradores y denominadores.

            De esta manera, el Jiuzhang plantea en el problema 1.19 una extensión del cálculo de superficies ya vista con dimensiones enteras:

“Sea un campo, ancho 4/7 de bu y largo 3/5 de bu. Encontrar (el área) del campo”.

            Así, el método para multiplicar fracciones (cheng fen) consiste en:

“Multiplicar los denominadores para obtener el divisor. Multiplicar los numeradores para obtener el dividendo. Dividir el dividendo entre el divisor”.

            Sin embargo, como el tratamiento más usual era el de encontrar campos cuyas dimensiones se dieran en números mixtos, los calculistas enuncian una regla especial para la multiplicación en este caso (da guang tian), por ejemplo, en el problema 1.22:

“Sea un campo, ancho  3  1/3  bu y largo 5  2/5 bu. Encontrar (la superficie) del campo”.

            El método planteado consiste en transformar los números mixtos en fracciones impropias al objeto de aplicar la regla anterior. Así, lo enuncian del modo siguiente:

            “Para cada (número mixto), multiplicar el entero por el denominador y añadir (dicho producto) al numerador. Multiplicar (los numeradores) para obtener el dividendo. Multiplicar los denominadores para obtener el divisor. Dividir el dividendo entre el divisor”.

            Es decir, 3  1/3  se transforma mediante  3 x 3 + 1 = 10 en  10/3, y 5  2/5 mediante  5 x 5 + 2 = 27  en  27/5, de modo que

 


División de fracciones

            El grupo de problemas de reparto en el Suan shu empieza precisamente con uno donde se plantea distribuir equitativamente una cantidad de 3  ½  1/3  entre 5 hombres. El método (jing fen) que ante estos problemas plantea el Jiuzhang es bastante claro:

“Sea el número de personas el divisor y la cantidad de dinero el dividendo. Dividir el dividendo entre el divisor. Si (un número) tiene una parte fraccional ha de ser ‘generalizada’ (a una fracción impropia). Si ambos tienen partes fraccionales, ambos deben ser ‘generalizados’ (a fracciones impropias)”.

            Así pues, el problema anterior se resolvería, en primer lugar, transformando  3  ½  1/3  en una fracción impropia:

½  +  1/3  =  5/6

3 + 5/6  =  18 + 5 / 6  =  23/6

para a continuación dividir entre el número de hombres, lo cual se consigue multiplicando el denominador por 5: 

23 / 6 x 5  =  23/30

que es lo que recibiría cada uno.

            El problema puede presentar datos algo más complejos, como el 1.18 del Jiuzhang, donde  3 1/3  personas han de repartirse  6 1/3  ¾  qian (un tipo de moneda). Aplicando el mismo procedimiento se transformarían ambos números en fracciones impropias:

3  1/3  =  10/3  personas

6  1/3  ¾  =  85/12  qian

            Ahora bien, ahora se ha de dividir el número de qian entre el número de personas. El texto se limita a dar la solución (2 1/8 qian) apelando a la regla tal como se ha enunciado antes. ¿Pero cómo se aplica para dar el resultado deseado?

            El comentarista Liu Hui, varios siglos después, es más explícito en cuanto a dicha aplicación para este caso. Afirma:

“Cada fracción del divisor y el dividendo es ‘expandida’ cuando (el numerador y denominador de) cada uno es multiplicado por el denominador del otro”.

            Esto sugiere que la regla pase por encontrar un denominador común a las dos fracciones impropias obtenidas: 

con lo que, para este problema concreto: 

lo que transforma la división de dos fracciones en otra entre enteros

            Pero Liu Hui aún añade:

“Alternativamente, multiplicar (el numerador del) dividendo por el denominador del divisor y multiplicar (el numerador del) divisor por el denominador del dividendo”.

dando paso a la regla más conocida y que se deduce de la anterior:

            Con ello los calculistas chinos estaban preparados para cualquier división, por complicados que fueran los números tratados. Así, Zhan Qiujian plantea la división de 6587 2/3  ¾  entre 58 ½ . La secuencia de pasos con que resuelve esta división es una muestra del método descrito por Liu Hui:

6587  2/3  ¾  :  58  ½ 

Se reduce el dividendo a fracción impropia:

6587 + 1  5/12

6588  5/12

79061/12

que se multiplica por el denominador 2 de la otra fracción:

158.122 /  24

            Se repite el mismo tratamiento con la fracción divisor:

58  ½   =  117/2

multiplicándose por el denominador 12 original del dividendo:

1404/24

            Así, el resultado de dividir ambas fracciones vendrá dado por:

                                                                             
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