Obras y contexto
El noveno capítulo del Jiuzhang trata, como hemos mencionado, de triángulos rectángulos, casi la única clase de triángulos que consideran los matemáticos chinos. Ya observamos que el origen del interés por ellos podría residir en sus fundamentos religiosos. Sin embargo, su utilidad es inmediata para todo tipo de construcciones donde aparezcan ángulos rectos, descomponer campos y figuras más complejas y, en el caso que vamos a examinar en este capítulo, para situar y medir distancias lejanas. El problema 9.23 en concreto, dice lo siguiente:
“Sea una colina de altura desconocida que se encuentra al oeste de un árbol. La colina está a 53 li del árbol y la altura de éste es de 9 zhang 5 chi. Una persona se sitúa 3 li al este del árbol observando que su extremo superior y la cima de la colina están alineadas. Si la altura de la visión en la persona es de 7 chi, calcular la altura de la colina”.
Aunque no vamos a realizar cálculos numéricos en este capítulo, conviene recordar y ampliar las relaciones métricas de las unidades de longitud utilizadas en el mismo, como elemento fundamental para llegar a los resultados que eventualmente se planteen. Así,
de forma que
1 li = 180 zhang
1 zhang = 10 chi
1 bu = 6 chi
1 chi = 10 cun
Pues bien, la solución de 164 zhang 9 chi 6 2/3 cun, viene dada a
través del método que se enuncia así:
“Tomamos la altura del árbol y sustraemos la altura de la visión en la persona, 7 chi. Multiplicamos el resto por 53 li para formar el dividendo. Sea la distancia de la persona desde el árbol, 3 li, el divisor. Dividir el dividendo entre el divisor y añadir la altura del árbol para que obtengamos así la altura de la colina”.
El método nos viene a afirmar que, si h es la altura de la colina, a la del árbol y p la correspondiente a la persona, siendo d1 la distancia entre la colina y el árbol y d2 la que media entre el árbol y el observador, entonces la altura de la colina viene dada a partir de los datos conocidos del siguiente modo:
Si consideramos los dos triángulos punteados en la figura, la semejanza de triángulos actual nos indica la proporcionalidad de sus lados:
de donde se deduce inmediatamente el método planteado en el Jiuzhang. ¿Quiere ello decir que conocían los procedimientos asociados a la semejanza de triángulos? Hay datos que permiten afirmar que sí aunque de un modo distinto al actual y más acorde con sus formas de demostración.
Esto se observa con más claridad en los comentarios que realiza Zhao Shuang, del que hemos hablado en el capítulo anterior, sobre la obra astronómica del Zhou bi. Antes de abordarla veremos su aplicación al problema planteado.
Si tomamos un rectángulo la diagonal lo divide en dos triángulos iguales.
Pues bien, hay que recordar el principio seguido por los matemáticos chinos
de que si a dos cosas iguales se le quitan partes iguales lo que queda sigue
siendo igual. Si lo aplicamos a los dos triángulos citados veremos que, por
el mismo motivo aducido antes, se pueden separar las dos partes señaladas
con 1 así como los dos triángulos marcados con 2. De este modo, los dos
rectángulos punteados tendrán la misma área.
Dicho en otras palabras, cuando se construyen estos dos rectángulos a partir de cualquier punto de la diagonal de un rectángulo, las áreas son iguales.
Retomemos el problema del Jiuzhang considerando como iguales, a partir de lo anterior, las áreas de los dos rectángulos punteados de la figura.
En ese caso, será: (a – p) d1 = (h – a) d2
de donde se obtiene igualmente el método del Jiuzhang para solucionar este problema. Dada la consideración explícita del mismo en los comentarios de Zhao Shuang se puede concluir que éste sería el método más probable de donde dedujeran los autores del Jiuzhang su método de solución.
Antes de que estos métodos tuvieran usos militares sirvieron en astronomía.
El Zhou bi aborda con este motivo el cálculo de la altura del sol mediante
el uso del gnomon, una simple escuadra cuyo mástil vertical produce una
sombra sobre el terreno cuya longitud se puede medir.
“El zhou bi (gnomon) es de ocho chi de longitud. Un día del solsticio de verano su sombra (a mediodía) es de un chi y seis cun. El bi es la altura (del triángulo rectángulo) y la sombra exacta es la base. 1000 li al sur la base es de un chi y cinco cun, y 1000 li al norte la base es de un chi y siete cun”.
Tanto este párrafo, donde el autor del Zhou bi plantea la realización de dos observaciones, como en los siguientes, se comentan una serie de cálculos que conducen a defender para el sol una altura de 80.000 li. El proceso es algo complejo de entender y el posterior comentario de Zhao Shuang no está exento de ambigüedades, si bien lo expondremos simplificado por ser la primera constancia del cálculo con rectángulos tal como se ha visto antes.
Siguiendo el procedimiento de igualar rectángulos, si h es la altura de los dos gnomon, H la altura del sol desde el punto superior de los mismos, d1 y d2 las sombras producidas y MN la distancia conocida entre los dos gnomon, entonces:
h x OM = d1 x H
en los rectángulos definidos por la primera observación, mientras que a partir de la segunda sombra producida:
h x (OM + MN) = d2 x H
Sustituyendo la primera igualdad en la segunda:
d1 x H + h x MN =
d2 x H
h x MN = (d2 – d1) x H
de modo que son iguales los dos rectángulos de estas dimensiones, lo que lleva a Zhao a construir el rectángulo con la diferencia de ambas sombras como base.
Desde tiempos bastante remotos se menciona la construcción de mapas, la mayoría de las veces con propósitos militares. Fue un período de contiendas interminables por el predominio del territorio, el curso de los ríos o los yacimientos minerales. Durante ese tiempo se trasladaron poblaciones que hubieron de asentarse en otras tierras, se drenaron ríos y se construyeron carreteras para que las fuerzas militares pudieran trasladarse con facilidad de un punto a otro.
Clásicos militares como los de Sun Tzu o Sun Bin manifiestan la necesidad de conocer el territorio en el que se combate, tender líneas de aprovisionamiento y pertrechos militares, contar con los recursos económicos. Según afirma el primero:
“Cuando un país se empobrece a causa de operaciones militares, es debido al transporte distante; llevar suministros a largas distancias deja al pueblo desamparado. Mientras las tropas están reunidas, los precios suben. Cuando los precios suben, la riqueza del pueblo baja. Cuando la riqueza baja, el pueblo sufre duras exigencias. Con esta pérdida de riqueza y fuerzas, los que tienen recursos se ven extremadamente empobrecidos, y siete décimas partes de sus recursos se disipan”.
Esta serie de cálculos sobre costes en la recaudación de tasas con las que sufragar gastos militares, distancias a recorrer por los soldados, lugares de aprovisionamiento, etc., conducían a la realización de mapas y cálculo de distancias. En este sentido, el considerado padre de la cartografía china es Pei Xiu, estudioso de este tema en el siglo III d.C., el mismo en que vivieron Liu Hui y Zhang Shuang.
Pei, tras examinar los mapas existentes, llegó a la conclusión de que los que se realizaran para uso militar debían dibujarse a una escala adecuada, emplear un sistema de reticulado rectangular y mostrar las distancias exactas entre las principales marcas del terreno, lo que significaba determinar las principales elevaciones sobre el terreno así como la altura que presentaban. Como en otras ocasiones, las herramientas que se construyeran para responder a estas cuestiones, inicialmente de aplicabilidad militar, fueron luego utilizadas en otros usos civiles y de ingeniería, en particular la construcción de diques y canales.
Liu Hui, en su comentario al Jiuzhang, retoma esta tradición que ya hemos visto presente en el terreno astronómico dentro del Zhou bi. En su examen del capítulo nueve del Jiuzhang sobre triángulos rectángulos presenta hasta nueve problemas resolubles mediante observación con el gnomon. Además, da la solución y, al modo de la obra más antigua examinada, expone el método para alcanzarla en cada caso.
Al comienzo de la dinastía Tang, en el siglo VII d.C., los nueve problemas
resueltos con el método expuesto por Liu Hui, se separan del resto de
comentarios y toma un título propio: Haidao Suanjing, traducible como
“Manual Matemático de la Isla en el Mar”, en referencia al contenido del
primer problema de la serie. Cuando en el 656 las necesidades de la nueva
Administración china aconsejan la normalización de los estudios, este manual
ya formará parte de las diez obras clásicas de matemáticas.
Vamos a examinar entonces algunos de estos problemas para precisar cuál es la aportación de Liu Hui que, descontento con el planteamiento de Zhao Shuang, pretende normalizarlo a través de lo que denomina método de “chong cha”, o de “dobles diferencias”. El problema que da título a la obra, el primero, dice lo siguiente:
“Para descubrir (la altura) de una isla en el mar, levantar dos palos de la misma altura, 3 zhang, tales que la distancia entre el palo delantero y trasero sea de 1000 bu y que estén alineados con la vista (de la isla). A una distancia de 123 bu del palo delantero y visto desde el suelo, se observa que la cima de la isla coincide con lo alto del palo. A una distancia de 127 bu del palo trasero y visto desde el suelo, se observa que la cima de la isla también coincide con lo alto del palo. ¿Cuál es la altura de la isla y su distancia desde el palo (delantero)?”.
En la figura se representan los elementos fundamentales del problema. Los
palos tienen de longitud AS y CN, siendo SN la distancia entre ellos, y
produciendo respectivamente unas proyecciones de visión SB y ND. Todos estos
datos son medibles y se suponen conocidos. Lo que es necesario determinar es
la distancia a la isla QS y la altura PQ de la isla en el mar.
Liu Hui presenta el siguiente método para ello:
“Multiplicar la distancia entre los palos por la altura del palo, dando el dividendo. Tomar la diferencia en distancia entre los puntos de observación como el divisor para dividir (el dividendo), y añadir lo así obtenido la altura del palo. El resultado es la altura de la isla.
Para encontrar la distancia de la isla desde el palo delantero, multiplicar (la distancia) del movimiento hacia atrás desde el palo delantero por la distancia entre los palos, dando el dividendo. Tomar la diferencia en distancia entre los puntos de observación como el divisor para dividir el dividendo. El resultado es la distancia de la isla desde el palo en li”.
Veamos cómo pudo deducirlo por medio de la igualdad de rectángulos expuesta en el apartado anterior y la doble observación realizada. Dentro del rectángulo mayor determinado por la observación con el palo trasero:
Área rectángulo QC = Área rectángulo CF
Del mismo modo con la observación sobre el palo delantero:
Área rectángulo QA = Área rectángulo AJ
pero este último lo trasladamos a una posición trasera, de manera que:
Área rectángulo QA = Área rectángulo CI
Si nos fijamos en el rectángulo SC que tiene por base la distancia entre palos y altura la de cada uno de ellos, por los resultados anteriores será:
Área rect. SC = Área rect. QC – Área rect. QA = Área rect. CF - Área rect. CI
que nos conduce a Área rectángulo SC = Área rectángulo MF
y en términos del producto de sus dimensiones: AS x SN = PR x ME = PR x (ND – SB)
de donde :
lo que permite deducir la altura de la isla añadiendo la altura de los palos, tal como se afirma en el párrafo de Liu Hui dedicado al método:
La distancia QS desde el primer palo a la isla partiría de considerar, tal como se ha visto antes:
Área rectángulo QA = Área rectángulo CI
y en términos de sus dimensiones: QS x AS = SB x PR
Las aplicaciones militares de estos problemas son obvias en el segundo de los problemas presentados por Liu Hui, la determinación a distancia de una elevación sobre una colina que, aunque en su caso sea un árbol, bien puede ser la muralla de una ciudad.
“Ahora para observar el tronco de un pino de altura desconocida creciendo sobre una colina, levantar dos palos de la misma altura 2 zhang (sobre el suelo), siendo la distancia entre el palo delantero y el trasero de 50 bu. Suponer que el palo trasero está alineado con el palo delantero. Mover hacia atrás 7 bu 4 chi desde el palo delantero y observar que lo alto del palo coincide con la parte superior del árbol. Ver de nuevo el pie del árbol, su base se observa en un punto 2 chi 8 cun desde lo alto del palo. Una vez más, nos movemos 8 bu 5 chi desde el palo trasero y observamos la parte superior del pino a partir del nivel del suelo; se ve que lo alto del palo también coincide con la parte superior del pino. ¿Cuál es la altura del pino y cuál es la distancia de la colina desde el palo?”.
La figura describe la situación del problema. Se tiene un árbol AB que se
levanta sobre una colina que dista DK del primer palo DC cuya altura
determina una observación desde el punto G que se alinea con el extremo
superior del palo hasta la copa del árbol y con el punto L a la base del
árbol. Así, tanto la altura DC como las longitudes DG y CD quedan
determinadas. A una distancia DF se levanta el segundo palo de manera que a
la distancia FH se observa alineado con su extremo superior la copa del
árbol. Quedan por calcular la altura del mismo, AB, y la distancia de la
colina al primer palo, KD.
A este respecto, el método planteado por Liu Hui es el siguiente:
“Multiplicar la distancia entre los palos por la observación entrada en el palo, dando el dividendo. Tomar la diferencia en distancia entre los puntos de observación como el divisor para dividir (el dividendo) y añadir a esto la medida de observación a lo largo del palo. El resultado es la altura del pino.
Para encontrar la distancia de la colina desde el palo, colocar la distancia entre los palos (sobre el tablero de contar) y multiplicar esto por la distancia del movimiento hacia atrás desde el palo delantero, dando el dividendo. Tomar la diferencia en distancia desde los puntos de observación como el divisor para dividir (el dividendo). El resultado es la distancia desde la colina hasta el palo”.
Vamos a interpretar el por qué de su método en base a las relaciones de la figura. La distancia DK entre la colina y el primer palo es una aplicación del problema de la isla del mar, de manera que se puede concluir:
La determinación de la altura del árbol requiere algunos cálculos más. En concreto, a partir de la igualdad de rectángulos dada por una diagonal a cualquier rectángulo, en concreto al determinado por la primera observación de la copa del árbol:
Área rectángulo CQ = Área rectángulo KC
y cuando se considera la observación por el primer palo de la base del árbol:
Área rectángulo LN = Área rectángulo KL
Pero: Área rect. IC = Área rect. KC - Área rect. KL
de forma que sustituyendo: Área rect. IC = Área rect. CQ - Área rect. LN
Considerando entonces cada área rectangular como el producto de sus dimensiones:
CL x DK = CM x QM - CM x OL = CM x (QM – OL)
Ahora bien, se cumple que
QM - OL = QN - CL
QN = AB
CM = GD
por lo que la igualdad de áreas rectangulares podrá escribirse como CL x DK = GD x (AB – CL)
Pero teníamos la expresión de la distancia DK que, sustituida en esta expresión, nos dice que:
coincidiendo con la expresión dada en el método aportado por Liu Hui:
“Multiplicar la distancia entre los palos (FD) por la observación entrada en el palo (CL), dando el dividendo. Tomar la diferencia en distancia entre los puntos de observación (HF – GD) como el divisor para dividir (el dividendo) y añadir a esto la medida de observación a lo largo del palo (CL). El resultado es la altura del pino”.
