Operaciones aritméticas

  
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Sumar y restar con varillas 

            En las primeras obras aritméticas conservadas, particularmente el Suan shu shu y el Jiuzhang, se utilizan las operaciones elementales de la Aritmética como un conocimiento consabido sin hacerlas explícitas como tales en ningún momento. Sí queda claro que se efectúan con varillas de un modo habitual pero explicar su funcionamiento parece estar fuera del interés de obras destinadas al conocimiento de funcionarios de la administración china.

            Hay que esperar al siglo III d.C. para que otros textos, como el Su Zi suan jing (Manual matemático de Sun zi) o el Xiahou Yang Suan jing (Manual matemático de Xiahou Yang) se encargasen de transmitir a sus lectores las reglas fundamentales para realizar paso a paso estas operaciones.

            Aunque su realización se llevaba a cabo con varillas, como veremos luego, vamos a presentar inicialmente estas reglas con nuestros números indo arábigos.

            Supongamos que hemos de realizar la suma                     378 + 296

            En primer lugar, se colocan como actualmente uno sobre el otro de manera que coincidan las unidades del mismo orden (unidades con unidades, decenas con decenas, etc.).

                                               3  7  8
                                               2  9  6

            A continuación se comienza la suma por las unidades más altas, en este caso las centenas. El resultado así de sumar 3 y 2 centenas (5) sustituye a las centenas del sumando superior desapareciendo las del inferior por haber sido realizado.

                                                           5  7  8
                                                               9  6

            Seguidamente, se suman las decenas (7 y 9) pero como el resultado excede a diez, la centena que resulta se añade a las 5 que se tenían como resultado.

                                               6  6  8
                                                       6

que da paso a                        6  7  4                         como resultado final.

            Estos mismos pasos, realizados con varillas, instrumento fundamental de cálculo hasta la llegada del ábaco en el siglo XV, muestran una apariencia distinta.

            El sucesivo “borrado” de cifras del primer sumando para ser sustituidas por las del resultado final y la desaparición de cifras del segundo sumando ya operadas debían dar lugar a un manejo rápido de las varillas que consistiría en disponerlas de modos diferentes para expresar las distintas cifras.

            La operación de sustracción tiene la misma disposición que la de la suma, como se ha inferido a partir del estudio de la división, donde han de realizarse sistemáticamente. La disposición de las cantidades es igual y el comienzo de las operaciones parciales también comienza por las unidades más altas. Cuando no es posible realizar la resta porque la cifra del minuendo es menor que la correspondiente del sustraendo, se detrae una unidad del orden superior del minuendo.

            Así, en el caso de restar 536 – 389 los pasos a realizar serían los siguientes:

                                               5  3  6
                                               3  8  9

Se restan las centenas:

                                               2  3  6
                                                   8  9

Luego las decenas, tomando una centena del resultado que ha quedado en el minuendo o bien realizando directamente 23 – 8:

                                               1  5  6
                                                       9

para terminar con las unidades del mismo modo:

                                               1  4  7

 


Multiplicación

            El primer capítulo del Jiuzhang está dedicado al cálculo de áreas de campos, labor inicial para el cálculo de la productividad del mismo, las tasas oportunas a recibir por el Estado, etc. Pues bien, el problema 1.1 (según notación de sus traductores al inglés) dice:

“Existe un campo, ancho de 15 bu y longitud 16 bu. Encontrar [el área] del campo.   Respuesta es: 1 mu.
El método dice: El ancho y el largo se multiplican (xian cheng) para dar el área en bu. Con un mu como divisor (fa) dividir (chu) por 240 bu para obtener la cantidad en mu. 100 mu son equivalentes a 1 qing”.

            Vamos a explicar lo realizado en este problema. En primer lugar, adopta el clásico esquema de los “Nueve capítulos” así como de otras obras que presentan un compendio agrupado de problemas. Se enuncia el problema, se da la solución y, tras unos cuantos problemas similares, se presenta un método general que los resuelve.

            En este caso el problema incorpora unas unidades de medida que son las utilizadas en la antigua China para la medida de terrenos. Se tomaba como unidad básica de longitud el bu, equivalente aproximadamente a 1,3 metros. De esta forma se tenía como unidad elemental de superficie un bu2, equivalente a unos 1,68 m2 actuales. Hay que hacer notar que los calculistas chinos tenían alguna dificultad con las dimensiones o bien simplificaban las unidades a emplear, de manera que el bu representaba tanto la longitud como la superficie. Este hecho lo veremos en otros casos sin mayor comentario.

            Pues bien, se tenían entonces las siguientes unidades de superficie:

                                               1 bu2
                                               1 mu  =  240  bu2
                                               1 qing = 100  mu

            El método que plantea el libro para el cálculo de superficies es inmediato. Para resolver el problema se multiplican las medidas de los lados del campo rectangular (15 x 16) obteniéndose 240 bu2 como superficie, de manera que el cambio de unidades es inmediato:  240 bu2  =  1 mu.

            Sin embargo, el método va más allá (los sucesivos problemas de este capítulo incluyen el uso de fracciones, por ejemplo) para enunciar un método general, sean cuales sean las medidas en bu2 que se obtengan.   Así, por ejemplo, si nos enfrentáramos a un campo rectangular de                          50 bu x 24 bu  =  1200 bu2

bastaría dividir este resultado entre 240 bu2  para obtenerlo en mu:         1200 bu2  :  240 bu2/mu  =  5 mu

aunque esta segunda operación será abordada en el siguiente párrafo. Ahora nos interesa averiguar cómo realizaban la primera operación, la multiplicación de 15 por 16 bu.

            La descripción realizada, por ejemplo, por Sun Zi es retórica y resulta fatigosa en su lectura actual:

“En el método de multiplicación colocar en dos posiciones, la superior y la inferior una frente a otra. Si existen decenas en la posición superior entonces la correspondencia es con las decenas (es decir, las unidades del número inferior estarán bajo las decenas del número superior). Si existen centenas en la posición superior entonces la correspondencia es con las centenas y si existen millares en la posición superior entonces la correspondencia es con los millares. El (dígito) de abajo es multiplicado por la posición superior y el resultado se dispone en la posición intermedia; cuando el producto tenga decenas pasarlas hacia delante (a la izquierda); como resto se deja puesto (en la misma columna como dígito del número inferior). Después de la multiplicación, el dígito multiplicador de la posición superior es quitado y el número de la posición inferior se mueve hacia atrás (a la derecha un lugar)".

            Realmente, la explicación resulta complicada para una disposición que es fácil mostrar a través de un ejemplo. En efecto, supongamos que hemos de multiplicar 346 x 8. Se disponen el multiplicando (shang) sobre el multiplicador (xia) de manera que la cifra de las unidades de éste (en este caso no hay más que unidades) se coloque bajo la unidad superior del multiplicando: 

                                               3  4  6

                                               8

Entonces se multiplica 8 x 3, la cifra colocada encima, de manera que el resultado se disponga en medio como resultado parcial (zhong).

                                               3  4  6
                                           2  4
                                               8

            Hecho esto, desaparece la cifra del multiplicando ya operada (3 centenas) y el multiplicador (8) se traslada un lugar a la derecha para operar ahora las decenas del primero.

                                                     4  6
                                            2  4
                                                     8

Realizada esta operación (8 x 4 = 32) el resultado se añade a la cantidad intermedia:

                                                               6
                                                   2  7  2
                                                               8

            Tras el consabido traslado a la derecha del multiplicador, se realiza la última multiplicación parcial (6 x 8  =  48) procediéndose del mismo modo y desapareciendo el multiplicando y multiplicador.

                                                    2  7  6  8

            La multiplicación por un número de dos cifras, por ejemplo, implica que en cada paso antes de trasladar el multiplicador a la derecha se realizan las dos operaciones parciales consiguientes. Veámoslo brevemente en el caso de multiplicar  65 x 23:

                                                           6  5

                                                       2  3 

Primero se realiza  2 x 6   y luego   3 x 6: 

                                                           6  5
                                                   1  2 
                                                       2  3

                                                           6  5
                                                   1  3  8
                                                       2  3

Se mueve a la derecha el multiplicador:

                                                                5
                                                    1  3  8 
                                                            2  3

haciéndose las mismas operaciones parciales:

                                                5
                                    1  4  8  0
                                            2  3

                                     1  4  9  5

            Como operación aritmética básica, la multiplicación será una herramienta imprescindible en el resto de los capítulos aquí tratados, al mismo nivel que la siguiente operación elemental a considerar.

 


División

            La disposición y naturaleza de esta operación deja en evidencia desde el principio que resulta inversa de la multiplicación, tal como defendía el propio Sun Zi en sus ejemplos. Así, plantea en su obra la división de 6561 entre 9 personas describiendo del siguiente modo en extenso las operaciones parciales necesarias:

     “Primero, colocar 6561 en posición intermedia por ser el dividendo. Debajo, colocar 9 personas como el divisor”.                    

                                               6  5  6  1
                                                   9

            “En la posición superior colocar 700”

                                                   7 
                                               6  5  6  1
                                                   9 

            “El 7 superior llama al 9 inferior; 7 veces 9 son 63, lo que significa quitar 6300 de la posición intermedia”.

                                                   7
                                                   2   6   1
                                                   9

            “Mover el número de la posición inferior un lugar y entonces colocar 20 en la posición superior”.

                                                   7   2
                                                   2   6   1
                                                        9

            “El 2 superior llama al 9 inferior; 2 veces 9 son 18, lo que significa quitar 180 de la posición intermedia”.

                                                    7   2
                                                         8   1
                                                         9

            “De nuevo, mover el número en la posición inferior un lugar y entonces colocar 9 en la posición superior”.

                                                     7   2   9
                                                          8   1
                                                               9

“El 9 superior llama al 9 inferior; 9 veces 9 son 81, que significa quitar 81 de la posición intermedia. Ésta queda entonces vacía”.

                                                     7   2   9

                                                               9

            “Desechar el número en la posición inferior. El resultado en la posición superior es lo que cada persona recibe”.

                                                     7   2   9

            En líneas generales la disposición en tres filas se conserva mostrando las similitudes entre ambas operaciones. Su carácter de inversas la una de la otra se manifiesta en el hecho de que, aunque la fila inferior siempre es móvil, en la multiplicación la superior queda fija aunque se va haciendo desaparecer desde las unidades más altas. Ese papel lo cumple la fila intermedia en la división.

            Hay que aclarar que ambas operaciones se basan en un adecuado conocimiento de las tablas de multiplicar números de una cifra entre sí, las que en la antigua China se denominaban tablas “nueve-nueves”. Aunque se han conservado algunos ejemplares lo cierto es que, como en la actualidad, estos resultados parciales habían de memorizarse para su aplicación a operaciones más complejas como las ahora presentadas.

            Aunque las divisiones podían ser más complicadas, claro está, hay un aspecto de las mismas que conviene resaltar como preludio al estudio posterior del empleo de fracciones. Es conocido que si la división  D : d   proporciona un cociente C y un resto r, entonces   D  =  d x C + r       o bien

            Pues bien, esta regla que forma parte de la misma definición de división por la relación de sus elementos, era algo conocido por los chinos con la particularidad de que la disposición típica de la división facilitaba la consecución de la fracción  r/d  en el último paso.

            Supongamos entonces que hemos de proceder a la división 459 : 8, operación que haríamos con los siguientes pasos, presentados de forma simplificada:

                                               4   5   9
                                                    8 

                                                    5
                                                    5   9
                                                         8

                                                    5   7
                                                         3
                                                         8

dándose un cociente expresado como    57 + 3/8

            De esta manera la fracción surgía a partir del resto de los problemas de la división inexacta, conduciendo a que su notación en vertical siguiera el modo en que surgía a partir de la disposición que acabamos de comprobar.

                                                                                    
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