Obras y contexto
Cálculo
primitivo
El procedimiento básico
Una
raíz de tres cifras
Raíz inexacta
La ecuación cuadrática
En el Suan shu se encuentra un problema cuya resolución implica el cálculo de una raíz cuadrada. Consiste en calcular el lado de un campo cuadrado cuando se conoce su superficie, que en el caso concreto de la varilla 185, es de 1 mu. Hay que recordar que 1 mu = 240 bu2
Pues bien, en el tiempo de redacción de este texto parece que el cálculo de la raíz cuadrada no era conocido, hecho que sí es constatable en la redacción del Jiuzhang, que debió escribirse en un tiempo posterior. El autor o autores del Suan shu, a falta de un procedimiento específico, aplican a la resolución de este problema el mismo método de doble falsa posición visto en el capítulo anterior. Así, se plantean dos casos hipotéticos:
Caso 1: Si el lado es 15 bu, la superficie del campo sería 152 = 225 bu2 registrándose por tanto un déficit de 15 bu2.
Caso 2: Si el lado fuera de 16 bu, 162 = 256 bu2 habiendo por tanto un exceso de 16 bu2.
Por consiguiente, puede establecerse el siguiente esquema:
15 16
15 16
y así:
que puede comprobarse que es una buena aproximación: ( 15 15/31 )2 = 239 761/931 ≈ 240
El mismo tipo de problemas se plantea en la obra posterior, el Jiuzhang, es decir, calcular el lado del campo cuadrado dada su superficie. Es muy probable que la insistencia en estos problemas se deba a una actividad administrativa importante en aquellos tiempos. No era infrecuente el traslado de poblaciones hacia zonas del norte tanto para castigarlas o evitar insurrecciones como por el deseo de poblar tierras desocupadas por las que las tribus mongolas solían atacar a los distritos chinos del norte.
En ese contexto, resulta probable que la asignación a cada familia de una cantidad determinada de superficie a cultivar obligara a calcular qué dimensiones habrían de tener esos campos en el momento de su delimitación concreta.
El Jiuzhang dedica parte del cuarto capítulo a estos problemas cuya resolución denomina expresivamente “kai fang”, o “abriendo el cuadrado”. Sin embargo, la descripción de cómo hallar la raíz cuadrada de un número dado apenas merece unas pocas instrucciones que no desvelan los fundamentos de su método. Hasta los comentarios de Liu Hui en el siglo III d.C. no se puede encontrar una explicación detallada que se apoya visualmente en razonamientos sobre figuras geométricas.
Intentemos en primer lugar desarrollar la explicación de Liu Hui sobre un ejemplo hipotético: un campo de 7396 bu2.
En primer lugar es necesario averiguar cuántas cifras tendrá el número de bu solución del problema. Teniendo en cuenta:
92
= 81 < 100
992 = 9.801 < 10.000
9992 = 998.001 < 1.000.000
se puede concluir que un número de cuatro cifras tendrá por raíz un número de dos cifras ab, que tendría por expresión polinómica 10 a + b.
Se considera ahora el número original dividido en dos partes sobre las que se trabaja consecutivamente:
N = 7396 = 7300 + 96
es decir, se divide el número en grupos de dos cifras empezando por la derecha.
Paso 1: Se busca un número a, cuyo cuadrado se aproxime a 73 de manera que, consiguientemente, 100 a2 esté próximo a 7300. Esto se puede hacer considerando solamente el número de centenas, 73. El número a, que más se aproximaría en su cuadrado a este número sería 8 puesto que 82 = 64, lo que implicaría que en realidad se está tomando el número a = 8 siendo su cuadrado a2 = 64 y por tanto 100 a2 = 6400
De esta manera se puede concluir del primer paso dos cosas:
Que el número buscado es mayor que 8.
Que considerando el cuadrado de 10 a = 80, aún queda por justificar una diferencia de 7396 - 6400 = 996
Ahora entra en juego la interpretación geométrica que hace Liu Hui de este procedimiento. Considerando la figura, se puede observar que al cuadrado cuya superficie es de 7396 bu2 se le ha superpuesto un cuadrado de lado 80 y superficie 6400. El resto (la diferencia: 996) se puede descomponer en dos rectángulos de 80 x b y un cuadrado extremo de superficie b2.
Paso 2: Esta forma geométrica nos recuerda que (10 a + b)2 = 100 a2 + 2 (10 a b) + b2
de donde tenemos que buscar una longitud b que complete el cuadrado de lado a de modo que cumpla 2 (10 a b) ≤ 996
despreciando por ahora el valor de b2. En este caso, siendo a = 8
160 b ≤ 996
b ≤ 996/160 ≈ 6
Ahora si se considera el valor de b2 a la hora de comprobar que este número sea adecuado:
2 (10 a b) + b2 = 2 x 80 x 6 + 36 = 996
de manera que, efectivamente, es el número de unidades buscado de manera que la solución es
El caso planteado por el Jiuzhang es más complejo tanto en su cálculo como en la interpretación geométrica subsiguiente. El problema 4.12 afirma:
“Sea ahora un área de 55.225 bu. Encontrar (el lado) del cuadrado”.
En este caso, según hemos visto antes, la raíz debe ser un número de tres cifras. Dividiendo el radicando en grupos de dos cifras empezando por las unidades, se dispondrán tres grupos: 5 52 25
Como la raíz será de la forma a b c de expresión polinómica 100 a + 10 b + c
ha de acudirse al cuadrado de un trinomio para encontrar la interpretación algebraica y geométrica precisa. En efecto:
(100 a + 10 b + c)2 = (100 a)2 + 2(100a)(10b + c) + (10b + c)2
interpretable como que al cuadrado original se le superpone un cuadrado de lado (100 a) de modo que la diferencia estará compuesta por dos rectángulos de (100 a) (10 b + c) y un cuadrado menor de lado (10 b + c), tal como se muestra en la figura.
Paso 1: El valor escogido
inicialmente será a = 2 de manera que (100 a)2
= 10.000 x 4 = 40.000
y la diferencia a cubrir será:
55.225 - 40.000 = 15.225
Dentro de la interpretación del trinomio antes enunciada y despreciando inicialmente el valor del cuadrado final, debe ser:
2(100a)(10b + c) = 2 x 200 x (10 b + c) ≤
15.225
(10 b + c) ≤ 38
Paso 2: Tomemos entonces b = 3 y comprobemos si es un valor factible incluyendo ahora el cuadrado final:
2(100a)(10b + c) + (10b + c)2 = 12.900
Considerando en total el número 230 queda sin justificar una cantidad de 15.225 - 12.900 = 2.325 bu2
Paso 3: Para hacer una hipótesis sobre el valor de c, expresaremos el trinomio de otro modo en función de lo que ya conocemos: (100 a + 10 b + c)2 = (100 a + 10b)2 + 2(100a + 10b) c + c2 de manera que habrá de resultar, dejando a un lado el último cuadrado:
2(100a + 10b) c ≤ 2.325
2 x 230 x c ≤ 2.325
c ≤ 2.325/460 ≈ 5
que se pasa a comprobar considerando ahora el c2: 2(100a + 10b) c + c2 = 2 x 230 x 5 + 25 = 2.325
de manera que nos da la solución
Dada la inexistencia de este método en el Suan shu y en la obra clásica del Jiuzhang, es necesario acudir para su comprensión tanto a los comentarios de Liu Hui, que han guiado las páginas anteriores, como al Sun Zi suan jing, o Manual matemático de Sun zi.
En él se expone el caso del número N = 234.567 detallando los pasos de su resolución con varillas de bambú. No es nuestra intención hacer aún más complejo este contenido detallando las manipulaciones necesarias y disposiciones de los números hasta en cuatro líneas que se van modificando (una para el radicando, otra para la raíz que resulta y dos para operaciones intermedias). En cambio, este número servirá para plantear, bajo el mismo método de resolución, el caso de una raíz inexacta.
En primer lugar, dividimos el número en grupos de dos: 23 45 67
Paso 1: Buscamos un número a cuyo cuadrado se aproxime a 23. Será entonces a = 4 de manera que (100 a)2 = 160.000 y la diferencia a justificar en el siguiente paso sea: 234.567 - 160.000 = 74.567
Paso 2: Con la misma descomposición del trinomio efectuada en el ejemplo anterior, resultará que esa diferencia debe ser aproximada por 2(100a)(10b + c) + (10b + c)2 pero, dejando a un lado el cuadrado pequeño para conseguir aproximar un valor de b, habría de ser:
2(100a)(10b + c) ≤ 74.567
(10 b + c) ≤ 74.567/800 ≈ 90
donde b = 9. Pero si fuera así, considerando ahora el cuadrado que antes despreciamos:
2(100a)(10b + c) + (10b + c)2 = 80.100 > 74.567
de manera que tomaremos b = 8 con lo que la diferencia sería: 2(100a)(10b + c) + (10b + c)2 = 70.400
y así, con el número 480, aún quedaría por justificar: 74.567 - 70.400 = 4.167
Paso 3: Dentro de la expresión del trinomio 2(100a + 10b) c + c2 despreciamos por ahora el valor del último cuadrado, estableciendo:
2(100a + 10b) c ≤ 4167
c ≤ 4.167/960 ≈ 4
y para el valor de c = 4, sería: 2(100a + 10b) c + c2 = 3856
quedando sin justificar 4.167 - 3.856 = 311
que el Sun Zi toma para dar como solución del problema la raíz hasta ahora obtenida más una fracción obtenida tomando como numerador esta diferencia y como denominador el doble de la raíz que iba resultando, es decir:
En los textos antiguos de la matemática china no aparecen muchos casos de ecuaciones cuadráticas y su tratamiento no se explicita, de manera que resulta imposible tener la seguridad de cuál fuera su forma de cálculo. Sin embargo, conociendo el caso de la raíz cuadrada es lógico que ambos problemas estuvieran relacionados, a fin de cuentas hallar la raíz cuadrada de un número es también una ecuación cuadrática donde falta el término en la incógnita y el independiente.
La interpretación geométrica de Liu Hui puede extenderse con relativa facilidad al caso de una ecuación cuadrática con todos sus términos. Tanto el problema 9.20 del Jiuzhang (que ya examinaremos más adelante) como el 3.9 del Zhang Qiujian, ambos de tipo geométrico, conducen a la formulación de una ecuación de segundo grado que, en el caso de este último, sería:
x2 + 15 x = 594
La representación geométrica de esta ecuación viene expuesta en la figura. En ella se puede apreciar que si la solución a este problema viene dada por x = 10 a + b entonces x2 vendrá representada por el cuadrado blanco de la izquierda en dicha figura, un cuadrado de lado 10 a + b que, al modo de los esquemas de la raíz cuadrada, viene dividido en dos cuadrados de superficies (10 a)2 y b2 y dos rectángulos de áreas 10 a b cada uno.
Pues bien, a ello habría que unirle el término 15 x que estaría formado por dos rectángulos de superficies:
15 (10 a + b) = 15.10 a + 15 b
todo lo cual totaliza 594, tal como se indica en la ecuación. Por tanto, el cálculo de la solución de una ecuación cuadrática como ésta habrá de desarrollarse como el de la raíz cuadrada de un número, con la salvedad de que, al estar afectado el término independiente (594) por la cantidad 15 x habrá que deducir en cada paso los dos rectángulos rallados que aparecen en la figura.
Así, 594 se divide en dos grupos: 5 94
Paso 1: Se toma a = 2 cuyo cuadrado se aproxima a 5. Entonces habrá que formar la diferencia:
594 - (10 a)2 - 15 . 10 a = 594 - 400 - 300 = - 106
que da un número negativo y, por tanto, no satisface la condición requerida. Por ello tomaremos a = 1 de manera que
594 - (10 a)2 - 15 . 10 a = 594 - 100 - 150 = 344
Paso 2: Si despreciamos por ahora b2 por simplicidad de cálculo, habremos de imponer
2 (10 a b) + 15 b ≤ 344
35 b ≤ 344
b ≤ 344/35 ≈ 9
En este caso, tendríamos que restar: 2 (10 a b) + 15 b + b2 = 396
que es una cantidad que excede a 344. Por tanto, deberemos tomar otro valor inferior para b, en concreto, b = 8
La cantidad así sustraída sería: 2 (10 a b) + 15 b + b2 = 344
lo que nos confirma la solución de la ecuación cuadrática, que tiene por raíz x = 18
