Triángulos rectángulos

  
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         El teorema del gou gu
         Resolución de triángulos rectángulos 
         Círculo inscrito en el triángulo

           

El teorema del gou gu

            Como vimos en el capítulo anterior, el Zhou bi afirmaba la estrecha relación entre Cielo y Tierra, entre el círculo y el cuadrado, con estas palabras:

“El cuadrado pertenece a la Tierra, y el círculo pertenece al Cielo. El Cielo es un círculo y la Tierra es el cuadrado. Los números del cuadrado son básicos y el círculo es producido a partir del cuadrado”.

            Esta afirmación, en términos matemáticos, se traducía en el Jiuzhang como una relación 3 a 4 entre ambas áreas:

En otras palabras: A partir del área del cuadrado se puede deducir la del círculo y viceversa, dado que la relación entre ambos es                                                                           ACirculo / ACuadrado  =  3 / 4

            De esta estrecha relación matemática y espiritual entre los números 3 y 4 surge la relación pitagórica más elemental:

3 2  +  4 2  =  5 2

que deja de ser estrictamente numérica entre los chinos, particularmente en el taoísmo, para transformarse en sagrada, de manera que si el 3 y 4 producen en un triángulo rectángulo el 5, éste viene a representar el producto de la unión entre el Cielo y la Tierra.

            Es por ello que el Zhou bi continúa en su diálogo con cuatro afirmaciones sobre esta relación entre los tres números pitagóricos que ha planteado la cuestión de hasta qué punto constituyen una demostración del llamado teorema de Pitágoras. En China habría que denominarlo teorema del “gou gu” por cuanto gou describe la base del triángulo rectángulo y gu la altura en sus textos. Las afirmaciones, numeradas, son las siguientes:

1. “Así, convertir (los números 3 y 4) en ju (cuadrados) para: el ancho de la base (gou) es 3; la longitud de la altura (gu) es 4; la esquina es una línea oblicua de 5 de longitud”.

2. “Hacer un cuadrado sobre ello, cortar la mitad de otra clase de ju (rectángulo) a partir del otro lado”.

3. “Mover esto (la mitad del rectángulo) alrededor del cuadrado. Entonces (tenemos) la base 3, la altura 4 y (la hipotenusa) 5”.

4. Las longitudes (áreas) de los dos ju (rectángulos) son 25. Esto es llamado (el método de) ji ju (apilamiento de cuadrados)”.

            Es conocido que la forma de demostración china de aquellos tiempos difiere ampliamente de la hipotético-deductiva de los griegos, que adquirió el carácter de primordial en el mundo occidental. En efecto, las demostraciones en China son de naturaleza visual y basadas muchas veces en la disección geométrica de las figuras y su posterior movimiento a otras posiciones. Tal será la que veamos posteriormente como aportación de Liu Hui así como la de Zhao Shuang.

            Éste último ejerce, como comentarista del Zhou bi, un papel similar al efectuado por Liu Hui para el Jiuzhang. Ambos vivieron en el siglo III d.C. dentro del período de los Tres Reinos, aunque trabajando en reinos diferentes.

            Para Zhao la formulación dada en el Zhou bi es sin duda una demostración que él posteriormente tratará de formular de otro modo. Para explicar el por qué sostiene tal cosa, incluye una serie de diagramas que ha quedado como emblemática del teorema del gou gu.

            Lo que el diálogo del Zhou bi viene a indicar para Zhao es una secuencia de acciones que muestran la igualdad entre los cuadrados construidos sobre la base y la altura respecto al construido sobre la hipotenusa.   De sus comentarios se deduce la siguiente relación de acciones correspondientes a cada uno de los puntos del diálogo.

2. “Hacer un cuadrado sobre ello, cortar la mitad de otra clase de ju (rectángulo) a partir del otro lado”.

            Se trata entonces de construir un cuadrado que tenga por lado la suma de la base 3 y la altura 4 de forma que aparezca dividido en dos cuadrados (de lados 3 y 4, respectivamente) y dos rectángulos iguales (de ancho 3 y largo 4). A continuación uno de esos rectángulos se divide en dos partes iguales.

 

3. “Mover esto (la mitad del rectángulo) alrededor del cuadrado. Entonces (tenemos) la base 3, la altura 4 y (la hipotenusa) 5”.

            Parece que se realiza un movimiento rígido del triángulo que ha surgido de la división anterior colocándolo en las cuatro esquinas del cuadrado original, de manera que con ello surja un nuevo cuadrado interior: el construido sobre la hipotenusa (figura 10.3).

            Si se compara las figuras mostradas se puede comprobar que si al cuadrado grande se le quitan los cuatro triángulos rayados de catetos 3 y 4 se obtiene los dos cuadrados sobre la base y la altura o el levantado sobre la hipotenusa. Es en este sentido como entiende Zhao Shuang que lo dicho en el texto constituye una demostración.

 

            Sin embargo, no se contenta con esta interpretación del diálogo en el Zhou bi sino que construye otro “xian tu” o diagrama de la hipotenusa (xian) a través de la siguiente exposición:

“El diagrama de la hipotenusa puede también ser (dibujado como sigue): multiplicar la base (gou) por la altura (gu) para hacer las áreas de dos triángulos rectángulos rojos; doblarlas para hacer las áreas de cuatro triángulos rectángulos rojos. Multiplicar la diferencia entre la base y la altura por sí misma para hacer el cuadrado central amarillo. Añadir el cuadrado central amarillo (a los cuatro triángulos rojos) también produce el área del cuadrado sobre la hipotenusa”.

            Esta disposición no es visualmente tan evidente por cuanto, a pesar de tener una apariencia similar, remite a una descomposición distinta que incluye el pequeño cuadrado central.

            Desde el lenguaje algebraico actual y considerando a, b los catetos y c la hipotenusa, las acciones efectuadas en la propuesta de Zhao consisten en:

Considerar cuatro rectángulos rojos de dimensiones a y b y sus mitades que totalizan un área de  2 a b.

Construir el cuadrado central de área  (a – b)2.

Sumar ambas cantidades  (a – b)2  +  2 a b.

            Como sabemos                  (a – b)2  +  2 a b  =  a2  +  b2  - 2 a b + 2 a b  =  a2  +  b2  =  c2

            La intención de Zhao, además de proporcionar una “demostración visual” parece ser la de proporcionar los métodos adecuados para resolver todo tipo de problemas relacionados con triángulos rectángulos, dependiendo de los datos proporcionados. Este objetivo, que se hace evidente en el capítulo nueve del Jiuzhang, encuentra varias manifestaciones en los comentarios de Zhao que lo confirman.

 

            Así, por ejemplo, plantea calcular la base a del triángulo rectángulo a partir del cuadrado de la hipotenusa c. Para conseguirlo se considera dicho cuadrado del que se resta el tricuadrado que tiene por anchura la diferencia entre la hipotenusa y la base (c – a) de forma que, en la superficie resultante, se halla la raíz cuadrada para obtener la base a.

            Dado que el área del tricuadrado es:

ATricuadrado  =  c (c – a) + a (c – a)  =  c2  -  a2

si realizamos las operaciones prescritas por Zhao, el resultado será el buscado. Lo expuesto se constituye en una apoyatura visual para el cálculo necesario en la resolución de un problema rectángulo donde se proporcionen como datos la hipotenusa y su diferencia respecto de la base, un caso que veremos al examinar a continuación los problemas del Jiuzhang.

            Sin embargo, no podemos abandonar las demostraciones que la China antigua proporcionó de este teorema del gou gu sin mencionar la aportación de Liu Hui, que va más allá en el llamado “apilamiento de cuadrados” y la división y recomposición de las figuras de lo que probablemente alcanzó Zhao Shuang.

            En efecto, la matemática china tenía entre sus métodos preferidos de demostración el de la disección y reagrupamiento de partes de una figura. Se basa este método en el hecho de que una figura conserva su superficie (o volumen en el caso de un sólido) si se divide en partes, éstas se someten a un movimiento rígido que no las deforme, y luego son reagrupadas bajo otra disposición. Pues bien, Liu Hui se apoya en este principio para proponer una “resta y suma mutuas” entre los cuadrados que surgen al tratar ternas pitagóricas, en los siguientes términos:

“Sea rojo el cuadrado sobre el gou y azul el cuadrado sobre el gu. Utilizar la resta y suma mutuas de cosas semejantes para que cuadre con los restos, de manera que no haya cambio en el cuadrado sobre la hipotenusa”.

            Aparte de las discusiones que mantienen los traductores de los textos originales sobre el sentido de determinadas palabras y frases, parece que esta afirmación propone partir de los cuadrados construidos sobre la base y altura para, mediante la disección de parte de los mismos, reagrupar dichas partes formando el cuadrado sobre la hipotenusa.

            Se ignora si esta propuesta estaba acompañada en origen por algún gráfico pero al efecto se han hecho varias hipótesis, dos de las cuales expondremos a continuación.

            Consideremos el triángulo rectángulo HSL. Se construyen cuadrados sobre su base y su altura. Este último se desplaza hasta la posición PTCH.

            A continuación restamos del área de ambos cuadrados el triángulo LDR para situarlo en la posición HSL. De igual modo, el triángulo RCT lo quitamos de los dos cuadrados para colocarlo en la posición HPT.

            De este modo, la suma de los dos cuadrados originales se ha transformado en el cuadrado LRTH que coincide con el construido sobre la hipotenusa LH del triángulo original.

            Una disposición no tan evidente se puede observar en la figura adjunta. En ella se considera el triángulo rectángulo GBC y el cuadrado ABCD construido sobre la hipotenusa.

            Si a distintas partes de dicho cuadrado las vamos restando del mismo y añadiendo en los lugares que se señalan en la figura se obtienen finalmente los cuadrados construidos sobre la base y la altura, conforme al principio enunciado por Liu Hui.

  

 


Resolución de triángulos rectángulos

            El noveno capítulo del Jiuzhang se dedica, a través de 24 problemas, a la resolución de triángulos rectángulos. Conocida la relación entre el gou (base), el gu (altura) y el xian (hipotenusa) se trata de practicar inicialmente la misma para luego plantearse su aplicabilidad a algunas situaciones cotidianas que permitan trabajar con otras relaciones similares.

            Por ejemplo, el problema 9.7 propone lo siguiente:

“De lo alto de un árbol cuelga una soga con 3 chi de la misma extendidos por el suelo. Cuando la soga se tensa de manera que su punta toque exactamente el suelo alcanza un punto a 8 chi de la base del árbol. ¿Cómo de larga es la soga?”.

            La situación puede representarse mediante un triángulo rectángulo de hipotenusa c y catetos a y b, de manera que la longitud d = c - b se extienda a lo largo del cateto a. 

            La solución que aporta el problema es la de hallar la mitad de la suma entre la distancia a, elevada al cuadrado, dividida por la diferencia d más la propia d, es decir,

            A esta expresión, en notación moderna, se puede llegar por el siguiente camino:

c2  =  a2  +  (c – d)2
c2  =  a2  +  c2  +  d2  -  2 c d
0  =  a2  +  d2  -  2 c d
2 c d  =  a2  +  d2

desde donde se infiere el resultado, ignorándose sin embargo si este razonamiento tendría un planteamiento análogo desde un punto de vista visual.   Examinemos entonces el problema 11, que tiene unos datos similares:

“La altura de una puerta es más que su ancho por 6 chi 8 cun. La distancia entre las esquinas opuestas es de 1 zhang. Encontrar la altura y la anchura de la puerta”.

            Según los datos del problema encontramos que:

                                   c  =  1 zhang  =  10 chi  =  100 cun
                                   b – a  =  6 chi  8 cun

            La forma de resolución propugnada para este problema es difícil de interpretar. En concreto, afirma:

“Sea el cuadrado de 1 zhang como dividendo. Dividimos la diferencia (dada), cuadrado y doble; sustraemos esto del dividendo y partimos el resto. Cuando el resultado de la raíz cuadrada (de este número) se sustrae a la mitad de la diferencia (dada), se obtiene el ancho de la puerta; cuando se añade una mitad de la diferencia (dada), se obtiene la altura de la puerta”.

            Parece que el método pasa por encontrar una expresión de la suma del largo y ancho de la puerta (a + b) como la siguiente:

que al unirla al valor de  a – b  permite hallar la base a y la altura b de la puerta.   En efecto, se obtendría:

c2  =  10.000 cun2
2 c2  =  20.000  cun2
2 c2  -  (b – a)2  =  20.000 – 4.624  =  15.376

de forma que su raíz cuadrada sea:

a + b  =  124  cun
b – a  =  68  cun

Sumando se llega a:                                                     2 b  =  124 + 68  =  192
                                                                                      b  =  96  cun  =  9 chi  6 cun

Restando las dos igualdades:                                       2 a  =  124 – 68  =  56
                                                                                    a  =  28 cun  =  2 chi  8 cun

tal como da por solución el problema en el Jiuzhang.

 

            Realmente, las complejidades de cálculo alcanzadas por los matemáticos chinos en torno a las relaciones pitagóricas son, en general, notables. Un nuevo ejemplo se puede comprobar en el problema 9.12:

“Una puerta y un bambú tienen dimensiones desconocidas. El bambú excede el ancho de la puerta mide con exactitud la diagonal de la puerta. ¿Cuál es la anchura y cuál la altura de la puerta?”.

            Este problema presenta una situación similar a la presentada en la figura 10.10. Sin embargo, ahora los datos son otros: las diferencias entre la hipotenusa y cada uno de los catetos, o sea,  c – a  y  c – b.

            La relación general que se utiliza es:

2 (c – a)(c – b)  =  (a + b – c)2

de manera que los resultados vienen dados por:

Pero ¿en qué se basan para alcanzar la primera igualdad sin disponer de lenguaje algebraico? Podemos llegar a responder a esta pregunta por medio del comentario realizado por Liu Hui a este problema.

            Consideremos el cuadrado de la figura que tiene por lado la hipotenusa c. Dibujamos dentro del mismo (esquina inferior izquierda) el cuadrado de la base y sobre el vértice contrario, el cuadrado de la altura. Ambos tendrán un cuadrado coincidente en el interior (punteado) de área AP.

            Así, el área del tricuadrado inferior izquierda correspondiente al cuadrado de la base a será:

ALa  =  a2  -  AP

y el área del tricuadrado opuesto será:

ALb  =  b2  -  AP

De forma que, considerando el área AR de los rectángulos punteados en los dos vértices, el cuadrado general cumplirá:

                      c2  -  2 AR  -  AP  =  a2  +  b2  - 2  AP

es decir:              c2  -  2 AR  =  a2  +  b2  -  AP

Pero como sabemos que   c2  =  a2  +  b2  será entonces:                             2  AR  =  AP

Cada rectángulo tiene por lados, según la figura, c – a  y  c – b, mientras que el cuadrado punteado tiene por lado  a + b – c  de modo que la última igualdad quiere decir:

2 (c – a)(c – b)  =  (a + b – c)2

            Éste es el tipo de demostración geométrica visual que aparece en los distintos comentarios de los matemáticos chinos de la época, particularmente en la obra de Liu Hui del que aún tenemos que mostrar un último ejemplo.

 


Círculo inscrito en el triángulo

            El problema 9.16 del Jiuzhang dice:

“Un triángulo rectángulo tiene una base de 8 pasos y una altura de 15 pasos. ¿Cuál es el diámetro de su círculo inscrito?”.

            El problema es peculiar. Liu Hui lo explica con gran brillantez gracias al método de disección y recomposición.   En primer lugar, hay que examinar el método que dicta escuetamente el texto original:

“Calcular la hipotenusa a partir de la base y la altura, entonces añadir las tres juntas y que esta suma divida al doble del producto de la base y la altura”.

Lo que el método afirma es la relación:

siendo d el diámetro del círculo inscrito.

            Liu Hui se propone de manera visual demostrar la veracidad de esta afirmación y para ello descompone el triángulo rectángulo en distintas partes en función del radio r de dicho círculo:

-          Un cuadrado puntuado  de lado r.

-          Dos triángulos rectángulos rayados en horizontal cuya base se denominará a1  y tienen de altura r.

-          Dos triángulos rectángulos en blanco de base llamada b1  y de altura r.

            Pues bien, se verificarán:           a  =  a1  +  r
                                                                 b  =  b1  +  r
                                                                 c  =  a1  +  b1  

Para demostrar la igualdad dispone ahora cuatro de estos triángulos rectángulos originales en dos disposiciones:

En la primera de las disposiciones obtenemos un rectángulo de lados a y 2b, de manera que su superficie es      2 a b

 En la segunda de las disposiciones con los mismos elementos, se obtiene un rectángulo de lados 2r  =  d  y    2 r  +  2 a1  +  2 b1  que si sumamos las tres igualdades anteriores resulta ser igual a:

2 r  +  2 a1  +  2 b1  =  a  +  b  +  c

de modo que se cumple:                                                  2 a b  =  d (a + b + c)

y se puede obtener el valor del diámetro a partir del método expuesto en el Jiuzhang.

 

                                                                        
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       Dado que el área del tricuadrado es: