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   Volúmenes


          Construcciones  
          Aplicación de triángulos semejantes 
          El tronco de pirámide

           

Construcciones

            Las actividades de construcción en la Antigua China fueron constantes, tanto para levantar las murallas que defendían una ciudad, templos y otros edificios, excavar fosos que protegieran dichas ciudades, tender carreteras por donde circularan las tropas, como para múltiples actividades económicas relacionadas con la principal fuente de producción: la agricultura. Así, era necesario realizar excavaciones de canales o  construir diques para contener las aguas.

            En muchas de estas tareas venía implicado el cálculo de volúmenes, sea de tierras excavadas o de muros levantados. A este respecto, el sólido que era objeto de mayor atención en las obras que han llegado hasta la actualidad era el prisma de sección trapezoidal, sea de la forma mostrada como dique o muro o bien invertida, en el caso de los canales.

 

            El método para hallar su volumen era sencillo:

“Añadir las anchuras superior e inferior y hallar su mitad; multiplicar por la altura o profundidad y a continuación multiplicar por la longitud para obtener el volumen en chi”.

Es decir:                     

            De esta forma se plantean diversos problemas en el Jiuzhang como el 5.4:

“Sea un dique de anchura inferior 2 zhang, anchura superior 8 chi, altura 4 chi, lengitud 12 zhang 7 chi. Encontrar el volumen”.

            Aplicando la regla dada anteriormente se encuentra de manera inmediata que dicho volumen es de 7112 chi, pero ahora el problema se amplía con el cálculo de trabajadores necesarios para realizar tal obra:

“La capacidad de trabajo de una persona en invierno es de 444 chi. Encontrar el número de trabajadores”.

que se resuelve con una sencilla división:

            Resulta interesante constatar que las capacidades por trabajador variaban considerablemente según la estación. Así, hemos visto que era de 444 chi en invierno; en primavera ascendía a 766, aún más en verano, 871 chi para decaer en otoño a 300 chi. Indudablemente, las lluvias y riadas del otoño así como las nieves del invierno condicionaban fuertemente dicho índice que probablemente se obtuviera considerando globalmente las obras, es decir, dividiendo el volumen conseguido entre el número de trabajadores empleados. Es probable que también tuvieran en cuenta el número de días empleado para otro tipo de cálculos. De lo que no cabe duda es de que estas auténticas obras públicas que eran los diques, canales, muros y demás edificaciones, suponían la realización de cálculos para determinar el número de hombres que habrían de ser reclutados y, ya en el lugar de trabajo, alimentados y alojados.

            Así, el problema 5.6 presenta el dato ya enunciado de que el trabajador en verano alcanza los 871 chi pero, en concreto, se indica que 1/5 de ese trabajo se dedica a la extracción de tierra y 2/3 del resto es un trabajo relacionado con el acarreo de arena, gravilla, agua y rocas. Ello obligaba por tanto a detallar el tipo de tareas a realizar al objeto de aplicar subíndices a cada una de ellas.

           


Aplicación de triángulos semejantes

            Evidentemente, el cálculo de volúmenes sobre sólidos de caras poligonales implica el cálculo de dichas superficies. En ese sentido se encuentran en el Qiujian algunos problemas que remiten a los triángulos semejantes que se han tratado en el capítulo anterior y, en particular, al método de igualar áreas de rectángulos definidos por un punto de la diagonal a otro rectángulo mayor.   Por ejemplo, en el problema 2.7 de esta obra se enuncia:

“Sea la construcción del muro de una ciudad donde la anchura superior es de 1 zhang, la anchura inferior 3 zhang y la altura de 4 zhang. Encontrar la anchura superior cuando la construcción ha alcanzado una altura de 1 zhang 5 chi”.

            Es decir, se trata de averiguar las dimensiones del muro en un punto intermedio de la construcción, naturalmente en relación a las dimensiones proyectadas.   El método de solución resulta interesante:

“Poner la anchura inferior del muro de la ciudad y sustraer la anchura superior. También poner la altura del muro y sustraer la altura de lo construido. Multiplicar las diferencias y dividir por la altura del muro de la ciudad. Añadir la anchura superior del muro para obtener la respuesta”.

            Así, siendo h la altura proyectada y h’ la alcanzada, a’ la anchura de la sección que se trata de determinar, se propone en este procedimiento lo siguiente: 

            Si disponemos las relaciones de otro modo, quedará:                  (A – a) (h – h’)  =  (a’ – a) h

            Consideremos la figura. En ella se ha tomado la sección del muro trazando en ella los datos de que se dispone.

            Pues bien, lo ya construido supone cortar la sección trapezoidal por un punto de la diagonal en el rectángulo derecho. Ello determina la igualdad de las dos superficies 1 punteadas. Si a cada una de ellas añadimos la superficie común 2 punteada más oscura, los dos rectángulos resultantes (el vertical y el horizontal) serán iguales.

            El rectángulo horizontal tendrá de altura (h – h’) y de anchura   (A – a), por tanto su área es:       (A – a) (h – h’)

            El rectángulo vertical tiene por anchura (a’ – a) mientras que su altura es h’, de modo que su superficie es:    (a’ – a) h’    y de esta forma se deduce el método propuesto en el Qiujian.

            Algo similar sucede en un problema donde el sólido considerado es otro bien distinto: el tronco de pirámide, que resulta en ocasiones en la construcción de graneros de esa forma. El problema 2.10 dice lo siguiente:

“Sea un tronco de pirámide con una base cuadrada cuyo lado inferior es 3 zhang, el lado superior 1 zhang y de altura 2 zhang 5 chi. Se desea extender esto a la pirámide. Encontrar la altura que debe ser extendida”.

            La situación vendría dada, como en el problema anterior, por el hecho de que una construcción (en este caso piramidal) se encuentra en un punto intermedio (realizado un tronco de pirámide) y se desea calcular datos (altura en este problema) sobre lo que resta de construcción.

            Prescindiendo del hecho que en realidad sería ½  A  y  ½ a  las anchuras que debían tomarse en cuenta en esta sección, ya que ambos términos terminan por dividirse quedando eliminados los coeficientes, la disposición del problema es la dada en la figura.

            Pues bien, el área del rectángulo 1 se puede igualar a la del 2 de forma que:

h’  (A – a)  =  h a

que es la expresión utilizada en el método propuesto en el Qiujian:

“Poner el lado superior en chi y multiplicarlo por la altura y sea el producto el dividendo. Sustraer el lado superior del inferior en chi y sea el resto el divisor. Dividir el dividendo entre el divisor”.

 


El tronco de pirámide

            Las pirámides fueron objeto de un estudio detallado por parte de los matemáticos chinos, sobre todo en relación a la construcción de graneros de tal forma pero también por el hecho fundamental de que, al igual que formas poligonales se pueden descomponer en rectángulos y triángulos, los sólidos en muchas ocasiones pueden diseccionarse por medio de pirámides. A ese respecto distinguen varias formas básicas que pueden adoptar estos sólidos elementales:

                  Fang zhui, pirámide con base cuadrada.
                 Yang ma, pirámide con base rectangular pero cuyo vértice está sobre una esquina de su base.
                 Bie nao, pirámide que tiene por base un triángulo rectángulo.

            Así se presentan en el Jiuzhang diversos problemas consistentes en calcular el volumen de cada uno de ellos. En el caso del yang ma, el problema 5.15 dice:

“Sea un yang ma de anchura 5 chi, longitud 7 chi y altura 8 chi. Encontrar su volumen”.

  

            El método aportado para esta figura consiste en multiplicar sus dimensiones y dividir por tres:     (5 x 7 x 8) : 3  =  93  1/3  chi                   que revela que, mediante un método tan usual entre los chinos como la disección, ya habían encontrado que el volumen de la pirámide era la tercera parte del paralelepípedo que tenía sus mismas dimensiones.

            Pues bien, el problema se hace más complejo cuando se trata de determinar el volumen de un tronco de pirámide, tema tratado en varios problemas del Jiuzhang dentro del capítulo 5 dedicado a volúmenes. Los comentarios de Liu Hui permiten conocer que el método elegido para calcular dicho volumen es la disección de la figura.

            El comentarista trabaja fundamentalmente con las tres pirámides señaladas anteriormente y con el Qian du, o prisma triangular. En primer lugar, como ya se ha dicho, comienza con la disección del cubo en tres yang ma congruentes concluyendo así que el volumen de una de estas pirámides es la tercera parte del volumen del cubo.

            Como un yang ma y un bie nao, colocados juntos, forman un quian du, que es la mitad del cubo, se puede concluir que el bie nao es la sexta parte del cubo. Alternativamente, un yang ma se puede diseccionar en dos bie nao congruentes.

            Ahora bien, cuando en vez de un cubo tenemos un paralelepípedo de base rectangular, no está claro que los tres yang ma en que puede dividirse tengan el mismo volumen, del mismo modo que si cada yang ma se secciona en dos bie nao tampoco se puede concluir que sean congruentes entre sí.

            Lo que sí podemos afirmar es que, si las dimensiones del sólido original son a, b y c entonces

Ya  +  Yb  +  Yc  =  a b c

verificándose:                                                Ya  +  Ba  =  ½  a b c          Ya  =  Bb + Bc
                                                                                               
Yb  +  Bb  =  ½  a b c          Yb  =  Ba + Bc
                                                                        Yc  +  Bc  =  ½  a b c          Yc  =  Ba + Bb

            Como esto no es suficiente para evaluar los volúmenes, Liu Hui prueba mediante una detallada disección  que

Ya  =  2 Ba

y lo mismo en el caso de los otros dos yang ma, de modo que cada uno sea la tercera parte del volumen del paralelepípedo y cada bie nao la sexta parte.

            Este tipo de cálculos de volúmenes mediante disección y recomposición alcanzan un alto grado de complejidad con el chu tung, o tronco de pirámide. Consideramos la disección mostrada en la figura considerando un punto de vista cenital.

Las figuras de la esquina pueden descomponerse en dos yang ma cada una que pueden unirse entre sí para formar un paralelepípedo como el que constituye la parte central. En los laterales, rayados de modo vertical y horizontal, aparecen otros tantos qian du que del mismo modo pueden recomponerse. De ese modo, todo el tronco de pirámide, mediante disección y recomposición posterior, conduce a un volumen que aparece tanto en el Jiuzhang como el Qiujian.

            Así, en esta última obra, por ejemplo, el problema 3.6 presenta el caso de un foso para almacenamiento de grano en forma de tronco de pirámide, del siguiente modo:

“Sea un foso con base rectangular. El ancho del (rectángulo) superior es 4 chi y el ancho del (rectángulo) inferior es 7 chi. La longitud del superior es 5 chi y la longitud del inferior es 8 chi. La profundidad es de 1 zhang. Encontrar la cantidad de mijo que cabe en él”.

            El método aportado por el Qiujian en este problema expresa la forma de hallar el volumen:

“Doblar la longitud superior y añadir la longitud inferior. También doblar la longitud inferior y añadir la longitud superior. Multiplicar cada uno por el ancho respectivo. Añadirlo, multiplicar por la profundidad y dividir por seis”.

Es decir:

volumen que luego habría que transformar en medidas de capacidad por multiplicación por un coeficiente.

            A partir de esta expresión, otros problemas más prácticos incluso pueden ser planteados, como el 3.10 del Qiujian, donde se proporcionan los datos de este tipo de almacén en forma de tronco de pirámide, salvo la altura. Por el contrario, se aporta como dato la cantidad de mijo que debe caber en él y es necesario deducir la altura que debe alcanzar este almacén.

            Diversos cálculos de volúmenes de cuerpos redondeados (conos, esferas, por ejemplo) se muestran en los trabajos de Liu Hui sobre el Jiuzhang así como en obras posteriores adelantando métodos, como el de Cavalieri, que Occidente descubrirá bastantes siglos después.

            La matemática china no se detendrá con todo ello, naturalmente, llegando a importantes alturas durante los siglos XII y XIII en que los procedimientos antiguos serán mejorados y se construirán otros nuevos que apenas se presentan en esbozo o son inexistentes en el Jiuzhang. Sin embargo, todo lo presentado en esta obra muestra con claridad la riqueza de procedimientos, el carácter práctico de los mismos no exentos de un interés por la mejora de dichos métodos sin apelar en algún caso a su carácter inmediatamente ligado a la realidad.

                                                                            
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