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Operaciones aritméticas

   ¿Cómo sumaban y restaban cantidades?
   ¿Cómo realizaban aritméticamente los trueques?
   ¿Cómo multiplicaban dos cantidades?
   ¿Cómo dividían dos cantidades?

 

 

  

   En un caso aparentemente tan sencillo como sumar, por ejemplo, 18 y 36 deben de cobre, resulta complicado dilucidar cuál era la forma real de hacerlo por parte del antiguo egipcio. Si era una operación de uso cotidiano es muy posible que no interviniesen los símbolos escritos en ningún momento y se realizase la operación mentalmente. Pero si se hacía así, existen al menos dos caminos: El primero consiste en sumar las unidades por un lado (8 + 6 = 14), luego sumar las decenas (1+ 3 = 4) para, finalmente, acumular la decena obtenida al principio para dar el resultado (4 unidades y 4+1 = 5 decenas). El segundo correspondería a la forma más habitual de cálculo mental, empezar a sumar por la unidad de orden superior (10 + 30 = 40) y luego ir sumando las unidades (40 + 8 = 48, 48 + 6 = 54).
   El cálculo escrito era más habitual en la contabilidad que llevaban los escribas para el caso en que fueran varios sumandos y no sólo dos. Entonces se hacía necesario emplear una serie de reglas que sistematizaran lo que se acaba de exponer para el cálculo mental. Esas reglas dependerán en gran medida de la forma de escritura: jeroglífica o hierática.
   En el caso de la primera resulta indiferente el orden en que se colocan los sumandos (siguiendo la forma de escritura, sería en horizontal y de derecha a izquierda), dado que los signos de las unidades y decenas aparecen claramente diferenciados. Tras su colocación se contarían los símbolos de la unidad (8 + 6 = 14) dejando cuatro de ellos y sustituyendo diez por el símbolo de la decena. Finalmente, se contarían las decenas.
   Sin embargo, debe recordarse que en la contabilidad cotidiana, contexto fundamental de las sumas de cantidades para los escribas, la escritura era hierática de manera que existía un símbolo para el 10, otro para el 40, uno más para el 6 y por fin uno para el 8. La resolución de 6 + 8 no es tan inmediata como 'contar símbolos de la unidad' puesto que 6 y 8 no muestran explícitamente estos símbolos. Sería necesaria la realización de sumas mentales parciales de manera que resultaba necesario saber previamente que 6 + 8 = 14. ¿Cómo se hacía esto?. Quizá se tuviera una adecuada representación mental de la decena de forma que esta suma fuera fácilmente realizable, como actualmente. Sin embargo, Gillings opina que los escribas dispondrían de tablas de descomposición de números en distintos sumandos, tablas que pudieran ser consultadas en estos casos. Probablemente, estas tablas (de un modo semejante a las actuales de multiplicar) fueran de uso escolar hasta que la práctica del escriba le permitiese prescindir de ellas.

                        2   9   11                2   8   10                    2   7   9
                        3   9   12                3   8   11                    3   7   10
                        4   9   13                4   8   12                    4   7   11
                        5   9   14                5   8   13                    5   7   12
                        6   9   15                6   8   14                    6   7   13
                           ......                        ......                            ......

   Estas tablas, en caso de existir, revelarían sobre todo la relación recíproca entre la actividad de añadir (sumar) y quitar (restar). Así, es cierto que 2 + 9 = 11  pero también se pondría de manifiesto que 11 - 2 = 9. No existen demasiados testimonios sobre la actividad de restar pero se encuentran expresiones en el papiro Rhind como 'Calcular el exceso de 45 sobre 10, es 35' (problema 72) o 'Completar 2/3 1/30 hasta 1' (problema 22) que revelan que la resta no era tomada como 'minuendo menos sustraendo' sino como encontrar qué añadir al sustraendo (completa el sustraendo) para llegar al minuendo:  2 + ?  =  11.

   ¿Cómo realizaban aritméticamente los trueques?

   Los trueques eran la forma más habitual de realizar las transacciones económicas entre particulares. Este trueque podría o no ser inmediato, en el sentido de realizar el intercambio de bienes simultáneamente. Se han encontrado casos donde se realizaban transacciones aplazadas que quedaban grabadas en su incumplimiento. Así, A entrega a B la parte que le corresponde en el trueque, de modo que la parte que debe entregar B la reciba A dos días después. Esto implicaba que, en caso de retraso, se debía pagar una multa adicional que, con el tiempo, parece haber adquirido la categoría de intereses sobre un préstamo previo. Asimismo, el trueque podía referirse a bienes no manipulables como por ejemplo intercambiar una serie de bienes por la fuerza de trabajo de un burro durante una serie de días.
   En todo caso, un ejemplo típico de los trueques más usuales consistiría en la realización de un ataúd. El artesano podría valorarlo en 30 deben de cobre. Ahora, el que adquiría el ataúd debería reunir bienes valorados en esta cantidad y que sean admisibles por el artesano. De este modo, se puede plantear

   La realización del intercambio, una vez establecido el precio final (30 deben) puede haberse realizado de dos maneras: Mediante una suma acumulada de forma que se llegase finalmente a 30 deben (aunque ello supondría un cálculo paralelo de la cantidad que restaba para completar la cantidad final) o bien mediante el cálculo de la cantidad a débito, es decir, qué falta en cada momento para llegar a dichos 30 deben. Sea cual sea el procedimiento es indudable que la realización de cálculos aritméticos, sean mentales o escritos, debían ser harto frecuentes en toda clase de trueques.

   ¿Cómo multiplicaban dos cantidades?

   La multiplicación era muy frecuente en múltiples situaciones contables: El cálculo de la superficie de un campo, el precio de varios bienes cuando se conoce su precio unitario, el volumen de una piedra cuando se conocen sus tres dimensiones, etc. La multiplicación empleada por los egipcios, método llamado a veces de 'duplicación', es de una extremada sencillez y efectividad.
   Si se tienen que multiplicar dos cantidades como 36 y 15, por ejemplo, la operación se interpreta como una suma reiterada, de manera que se ha de repetir 36 quince veces. En vez de repetir el 36 este número de veces y sumar posteriormente, se abrevia el procedimiento mediante duplicaciones sucesivas. Se considera inicialmente 36 una vez. A continuación se duplican estos resultados: 36 dos veces son 72. Una nueva duplicación conduce a establecer que 36 cuatro veces es el doble de lo anterior, es decir, 144, y así sucesivamente hasta que el número de veces calculado rebase los 15 que deseamos.

                                                                36                    1
                                                                72                    2
                                                               144                   4
                                                               288                   8

   El siguiente paso consiste en sumar en la columna de la derecha el número de veces que deseamos repetir el 36. En este caso,  15 = 8 + 4 + 2 + 1  de modo que basta sumar igualmente los valores correspondientes de la columna izquierda para obtener el resultado final:

                                                                36                    1
                                                                72                    2
                                                               144                   4
                                                               288                   8
                                                               540                  15

                                                     obteniéndose  36 x 15  =  540

   ¿Cómo dividían dos cantidades?

   La división es considerada como una operación recíproca de la multiplicación, es decir, como la propia operación de multiplicar cuando falta uno de los factores. Siguiendo con el ejemplo anterior la división
                                                                          540 : 36  =  ?
se interpretaría como                                       36 x  ?  =  540
de manera que la disposición de las columnas sería la misma que en la multiplicación con una salvedad: Se conocería el número que se repite (36) y el resultado final de la suma reiterada (540) pero se desconocería qué combinación de número de veces en la columna derecha daría lugar al resultado final de esta multiplicación.
   Planteado, por ejemplo, el caso   391  :  23  =  ?   equivalente a    23  x  ?  =  391  , en primer lugar habría que disponer la tabla de repeticiones de 23 hasta que el resultado sobrepasase la cantidad final a conseguir (391):                   
                                                                  23                   1
                                                                  46                   2
                                                                  92                   4
                                                                 184                  8
                                                                 368                 16

   A continuación se debe buscar en la columna de la izquierda la combinación de sus elementos cuya suma llegue a ser 391: Se consigue considerando 368 + 23. Ello se corresponde, en la columna de la derecha, con un número de repeticiones del 23 que es de  16 + 1  =  17  veces. Este es el resultado buscado.

                                                                  23                   1
                                                                  46                   2
                                                                  92                   4
                                                                 184                  8
                                                                368                 16
                                                                 391                 17

   Obsérvese que el caso planteado ha sido una división exacta. ¿Qué sucede cuando la división fuera inexacta?. Los egipcios abren entonces el campo de trabajo al generalizar el número de veces a valores no enteros, es decir, considerar 1/2 repetición, 1/3 de repetición y, en general, todo tipo de valores fraccionarios que permiten completar el dividendo y, al tiempo, suponen una de las necesidades operativas de donde surge el uso sistemático de las fracciones.

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