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Sumas de fracciones

 


   ¿Qué es el Rollo de Cuero?
   ¿Cómo sumaban fracciones?
   ¿Sabrías sumar las siguientes fracciones?
   ¿Qué son y para qué sirven los auxiliares rojos?

 

 


    ¿Qué es el Rollo de Cuero?

   En 1864 el British Museum adquiría un conjunto de documentos egipcios que habían estado en posesión de Henry Rhind y que se habían puesto a la venta tras su fallecimiento. Entre ellos estaba un rollo de cuero en un estado tal que hacía difícil, con las técnicas de la época, su desenrollamiento. El profesor Griffith pudo examinarlo constatando la presencia de signos aritméticos que, unidos al hecho comprobado de que parecía haberse encontrado en la misma habitación que el papiro Rhind, hizo concebir unas grandes esperanzas respecto a su contenido. Cuando finalmente en 1927 pudo desenrollarse de manera adecuada se comprobó que sólo registraba un conjunto de sumas de fracciones en cuatro columnas, de las que las dos últimas parecían copias fieles de las dos primeras. Esta fidelidad en la copia sugería que se trataba de un mero ejercicio de práctica en dichas sumas para mejorar el aprendizaje de un estudiante avanzado (los símbolos están escritos con mucho cuidado), hecho que parece completar el cuadro de un papiro Rhind dedicado fundamentalmente a la enseñanza. En suma, que aquella habitación parecía pertenecer a la casa de un maestro de futuros escribas.
   El estudio realizado el mismo año de conocerse su contenido por Glanville mostró que, pese a no responder a las grandes expectativas creadas, el Rollo de Cuero no estaba exento de interés. Atendiendo a las columnas tercera y cuarta (las más legibles y completas) había un total de 26 sumas distintas de fracciones que, como Gillings ha mostrado posteriormente, se pueden agrupar de un modo que refleja el conocimiento egipcio sobre la suma de fracciones. Este autor utiliza para su agrupamiento la propia estructura numérica de las fracciones implicadas mediante dos criterios:

  • En primer lugar, el número de fracciones que son sumadas para dar un resultado en forma de una única fracción unitaria. Así se pueden distinguir resultados de dos, tres y hasta cuatro fracciones sumadas.
  • En segundo lugar, la relación numérica de los denominadores en las fracciones sumadas. De este modo, la suma 1/9 + 1/18 responde al generador (1,2) ya que dando al menor denominador (9) el valor 1 en el generador, el otro (18) corresponderá a 2. Igualmente, la suma 1/14 + 1/21 + 1/42 obedecería al generador (2, 3, 6) debido a que la asignación de 1 al denominador 14 originaría una relación numérica fraccionaria que, por simplicidad, es mejor eludir.

  De esta manera, se tendría el siguiente conjunto de sumas de fracciones en el rollo de cuero una vez agrupadas a las que se han añadido otras sumas similares que aparecen en el papiro Rhind:

Con dos sumandos

Generador Línea Suma
( 1 , 1 ) 7 1/3 + 1/3 = 2/3
5 1/6 + 1/6 = 1/3
4 1/10 + 1/10 = 1/5
( 1 , 2 ) Rhind 1/3 + 1/6 = 1/2
Rhind 1/6 + 1/12 = 1/4
11 1/9 + 1/18 = 1/6
13 1/12 + 1/24 = 1/8
24 1/15 + 1/30 = 1/10
20 1/18 + 1/36 = 1/12
21 1/21 + 1/42 = 1/14
19 1/24 + 1/48 = 1/16
23 1/30 + 1/60 = 1/20
22 1/45 + 1/90 = 1/30
25 1/48 + 1/96 = 1/32
26 1/96 + 1/192 = 1/64
( 1 , 3 ) 3 1/4 + 1/12 = 1/3
Rhind 1/8 + 1/24 = 1/6
Rhind 1/12 + 1/36 = 1/9
( 1 , 4 ) 2 1/5 + 1/20 = 1/4
1 1/10 + 1/40 = 1/8
( 1 , 6 ) Rhind 1/7 + 1/42 = 1/6
Rhind 1/14 + 1/84 = 1/12
( 2 , 3 ) Rhind 1/10 + 1/15 = 1/6

Con tres sumandos

( 1 , 1 , 1 ) 6 1/6 + 1/6 + 1/6 = 1/2
( 1 , 2 , 4 ) 12 1/7 + 1/14 + 1/28 = 1/4
Rhind 1/14 + 1/28 + 1/56 = 1/8
( 1 , 2 , 6 ) 10 1/25 + 1/50 + 1/150 = 1/15
( 2 , 3 , 6 ) Rhind 1/6 + 1/9 + 1/18 = 1/3
14 1/14 + 1/21 + 1/42 = 1/7
15 1/18 + 1/27 + 1/54 = 1/9
16 1/22 + 1/33 + 1/66 = 1/11
17 ¿ 1/26 + 1/39 + 1/78 = 1/13 ?
18 1/30 + 1/45 + 1/90 = 1/15

Con cuatro sumandos

( 3 , 5 , 15 , 40 ) 8 1/15 + 1/25 + 1/75 + 1/200 = 1/8
9 1/30 + 1/50 + 1/150 + 1/400 = 1/16
17 ¿ 1/28 + 1/49 + 1/98 + 1/196 = 1/14 ?

   La cuestión que se plantea a la vista de estos resultados es ¿cómo construyeron estos resultados pese a las limitaciones que presentaba el uso reducido a las fracciones unitarias?.

   ¿Cómo sumaban fracciones?

   A partir de los resultados encontrados en el Rollo de Cuero junto a los que aparecen en el papiro Rhind, se puede ensayar una reconstrucción de los distintos pasos seguidos por los escribas para llegar a estos resultados, desde los más sencillos a los más complejos. 

  • En primer lugar, es constatable en la práctica operativa de los escribas su conocimiento temprano de la duplicación de una fracción con denominador par:  1/4 + 1/4 = 1/2, 1/6 + 1/6 = 1/3, ... llegándose muy pronto a la regla de que la suma de dos fracciones iguales de denominador par es igual a una fracción cuyo denominador es la mitad del denominador inicial. Ello correspondería al generador (1,1).
  • Cuando se extiende el procedimiento al generador (1,1,1) se ha de tener en cuenta que el escriba debía partir de una concepción de la fracción como parte de la unidad. Así, tomando 1/6 + 1/6 + 1/6  se están considerando un total de 3 partes entre 6 lo que supone la mitad de las existentes, es decir, 1/2. De esta manera, si se agrupan los tres sumandos de otro modo el resultado es el mismo:
                                                  (1/6 + 1/6) + 1/6  =  1/3 + 1/6  =  1/2
    con lo que el generador (1,1,1) daría lugar a los resultados propios del (1,2) y a la regla de que, cuando se suman dos fracciones de manera que el denominador de una sea el doble que el de la otra, el resultado es una fracción que tiene por denominador el mayor de los dos primeros dividido por tres.
  • El procedimiento puede extenderse tanto como se quiera, por ejemplo considerando el generador (1,1,1,1) en el caso de la suma de fracciones  1/12 + 1/12 + 1/12 + 1/12. Esta suma, que corresponde a cuatro partes de entre doce, es decir 1/3, puede agruparse de varias formas a partir de las reglas enunciadas anteriormente:
                                          (1/12 + 1/12 + 1/12) + 1/12  =  1/4 + 1/12  =  1/3
    o bien                            (1/12 + 1/12) + (1/12 + 1/12)  =  1/6 + 1/6  =  1/3
    Otra interesante posibilidad en el cálculo consiste en desagrupar fracciones en sumas de otras. Así, partiendo de que  1/3 + 1/3  =  2/3  se pueden aplicar resultados anteriores para llegar a que:
                                  1/3 + 1/3  =  (1/6 + 1/6) + 1/3  =  1/6 + (1/6 + 1/3)  =  1/6 + 1/2  =  2/3
    que es ya de por sí un nuevo resultado correspondiente al generador (1,3), pero que puede transformarse en otro suponiendo que la igualdad se conserva cuando se considera la mitad de cada uno de los miembros de dicha igualdad. Es decir,   1/12 + 1/4  =  1/3
    Podemos observar, pues, la existencia de diversos caminos para el cálculo de esta suma de fracciones que, finalmente, darían lugar al establecimiento de una regla general: La suma de dos fracciones tales que el denominador de una sea tres veces mayor que el de la otra, es igual a una fracción cuyo denominador se obtiene dividiendo entre cuatro el mayor de los denominadores iniciales.
  • Cuando se abordan generadores más complejos como (2,3) en el caso de 1/10 + 1/15 = 1/6  es más complicado imaginar la consideración de cinco fracciones iguales agrupadas de forma diferente (en grupos de 2 y de 3):  (1/30 + 1/30 + 1/30) + (1/30 + 1/30) por cuanto no sólo hay un número alto de sumandos sino que el denominador escogido (30) no coincide con ninguno de ellos, como en casos anteriores. ¿Existía algún procedimiento alternativo?.
    Si hacemos prevalecer un enfoque operativo de esta suma de fracciones, el escriba egipcio pudo ir probando con qué resultado se aplicaba cada fracción a números diferentes para dar cantidades enteras. Así, el número más pequeño donde la aplicación de ambos da una cantidad entera resulta ser 30:                                               1/10 (30) + 1/15 (30)  =  3 + 2  =  5
    Ahora bien, ¿qué fracción da como resultado 5 cuando se aplica a 30?. La única de tipo unitario será:
                                                                          1/6 (30)  =  5
    de manera que la suma de fracciones  1/10 + 1/15  da el mismo resultado que la fracción  1/6 por lo que puede considerarse su igualdad desde el punto de vista operativo:   1/10 + 1/15  =  1/6
    De este procedimiento tan diferente de los anteriores hay pruebas documentales en el propio papiro Rhind, denominándose por el color de sus anotaciones como el método de los números 'auxiliares rojos'.

   En líneas generales, pues, el escriba podría haber dispuesto en sus cálculos de varios procedimientos alternativos que ir aplicando según las fracciones implicadas:

  • Agrupar fracciones iguales con la utilización de resultados anteriores a partir de los más sencillos.
  • Deducir unos resultados de otros a partir del cálculo de su mitad o tercera parte, etc.
  • Desagrupando fracciones utilizadas en resultados anteriores.
  • Aplicando las dos partes de la igualdad a cantidades concretas mediante 'auxiliares rojos'.

   ¿Sabrías sumar las siguientes fracciones?

   El problema 12 del papiro Rhind presenta un caso sencillo de aplicación de estas sumas de fracciones. Se trata de multiplicar   1/14  x  1  1/2  1/4:

                                                                     1                  1/14
                                                                    1/2                1/28
                                                                    1/4                1/56
                                                            
1 1/2 1/4              1/14 1/28 1/56

    

     Al resultado de la columna derecha le es aplicable el generador  (1,2,4)  de manera que el resultado directamente es de 1/8.

   Se multiplica ahora                               1  1/2  1/8  x  1/4  1/5

                                                                        1                 1  1/2  1/8
                                                                       1/2               1/2  1/4  1/16
                                                                       1/4               1/4  1/8  1/32
                                                                       1/5               1/5  1/10  1/40
                                                               
   1  1/2  1/8         1/4  1/5  1/8  1/10 1/32  1/40

   Se puede simplificar la expresión resultante teniendo en cuenta que, por el generador (1,4) resultará que
                                                                              1/10 + 1/40  =  1/8
quedando:                        1/4  1/5  1/8  1/8  1/32  =  1/4  1/4  1/5  1/32  =  1/2  1/5  1/32

   Por último, el problema 7 del papiro Rhind presenta la multiplicación    1/4  1/28  x  1  1/2  1/4

                                                                          1                 1/4  1/28
                                                                         1/2               1/8  1/56
                                                                         1/4               1/16  1/112
                                                                   
  1  1/2  1/4        1/4  1/8  1/16  1/28  1/56  1/112

   Pero se puede aplicar el generador (1,2,4) en    1/28  +  1/56  +  1/112  =  1/16   de manera que queda:
                                                    1/4  1/8  1/16  1/16  =  1/4  1/8  1/8  =  1/4  1/4  =  1/2

   ¿Qué son y para qué sirven los auxiliares rojos?

   Si se considera el mismo problema 7 tratado anteriormente, la forma de resolución en que aparece dentro del papiro incluye la anotación de unos números rojos:

                                                                          1                 1/4  1/28             7   1
                                                                         1/2               1/8  1/56            
3  1/2  1/2
                                                                         1/4               1/16  1/112        
1  1/2  1/4  1/4

   ¿Qué significan estos números conocidos como auxiliares rojos?. Si se recuerda el procedimiento de multiplicar ambos términos de una igualdad de fracciones por una cantidad determinada para comprobar dicha igualdad de forma operativa, se observará que esta interpretación también está presente en este caso.
   En efecto, si se considera uno de los denominadores (28) los números rojos surgen de aplicar las fracciones de la columna central a dicha cantidad:

                                                                     1/4 (28) =                1/28 (28) = 1
                                                                     1/8 (28) =
3 1/2           1/56 (28) = 1/2
                                                                    1/16 (28) =
1 1/2 1/4    1/112 (28) = 1/4

   De modo que la suma de todas estas fracciones que ha de reflejarse como resultado final de la operación resultará igual, cuando se aplica a 28, a lo siguiente:
          (1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/28 + 1/56 + 1/112) (28) = 7 + 3 1/2 + 1 1/2 1/4 + 1 + 1/2 + 1/4  =  14
así que la respuesta final se obtendrá determinando la fracción que cumple   1/? (28) = 14   que evidentemente es 1/2, lo que facilita la resolución del problema.
   Esta es una idea primitiva y poco sistemática del actual mínimo común múltiplo. Es primitiva porque no se obtiene de la propia estructura de los números sino previsiblemente probando alguno de ellos suficientemente alto como para que el resultado adopte la forma de números enteros o fracciones sencillas. Es poco sistemático porque, si en este caso se tomaba un número intermedio entre el menor de los denominadores y el mayor, en otras ocasiones se considera el mayor de ellos. Así en el problema 23 del papiro Rhind: 

Completa  1/4  1/8  1/10  1/30  1/45  hasta  2/3

   La disposición de la solución sería la siguiente:
                                         1/4         1/8          1/10         1/30        1/45      ?      =   2/3
                                   
  11 1/4    5 1/2 1/8    4 1/2        1 1/2          1        ?            30
   El problema consiste en averiguar qué cantidad le falta a la combinación inicial de fracciones para alcanzar el valor de 2/3. Es pues una resta de fracciones a partir del complementario. Dada la complejidad operativa del problema, el escriba entonces utiliza los números auxiliares rojos considerando todas las fracciones aplicadas a la cantidad correspondiente al mayor de los denominadores (45). De este modo surgen las distintas cantidades en rojo bajo las fracciones originales correspondientes.
   Si se suman ahora las cantidades en rojo: 
                                      11 1/4 + 5 1/2 1/8 + 4 1/2 + 1 1/2 + 1 =  23 1/2 1/4 1/8
concluyéndose que faltan  6 1/8 para que, al añadirlas a este resultado, totalicen los 30 que deben dar. Ahora bien, la cuestión entonces se reduce a resolver    1/? (45)  =  6 1/8   que da la respuesta 1/9 1/40.

                                             Fracciones