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¿Para qué cambiaban alimentos de distinto pesu?
¿Para qué
cambiaban alimentos de distinto pesu?
Un bloque importante de problemas en el papiro Rhind se dedica a calcular los cambios en el número de panes o jarras de cerveza cuando el pesu cambia. Así, por ejemplo, el problema 77 plantea lo siguiente:
Ejemplo de cambio de cerveza por pan. Si te dicen, 10 jarras de cerveza (de pesu 2) son cambiadas por (panes de pesu) 5 (Encontrar el número de panes)
El problema es aritméticamente
muy sencillo y así lo resuelve el escriba. Dado que la cantidad de grano
permanece invariable puesto que sólo se transforma de cervezas en panes,
el primer objetivo consiste en calcular esta cantidad de
grano:
Pesu 2 = 10 jarras / ? heqats
de
donde
? = 10/2 = 5 heqats
Ahora bien, como el objetivo consiste en transformar estos 5
heqats de grano en panes de pesu 5,
Pesu 5 = ? panes / 5 heqats
? = 5 x 5 = 25 panes
Estos problemas respondían a
necesidades socio-económicas importantes. Los soldados que permanecían
durante mucho tiempo en los fortines de Nubia o el Sinaí, los
trabajadores de los templos, sus sacerdotes y escribas, los artesanos de
Deir el Medinah y, en general, todos los que recibían raciones de la
administración faraónica dentro del modelo económico redistributivo,
tenían estipulada la recepción de unas raciones concretas.
Naturalmente, ello incluía pan o cerveza pero no de forma ambigua en
cuanto a su calidad sino
especificando el pesu de dicho alimento. Si, por ejemplo, se había
acordado que unos trabajadores recibieran 10 jarras de cerveza de pesu 4 por persona
pero las raciones que llegaban del centro administrativo correspondiente
venían en forma de panes de pesu 5, ¿a cuántos panes equivalía la
ración que debía recibir el trabajador?.
Desde un punto de vista operativo los problemas no eran
siempre tan sencillos y obligaban a los escribas que repartían las
raciones a realizar diversas operaciones. Tal es el caso del problema 75:
155 panes de (pesu) 20 son cambiadas (por panes) de pesu 30. (¿Cuál es el número de panes?)
El procedimiento es enteramente semejante al anterior y consiste, inicialmente, en hallar la cantidad de grano que se emplea en el primer caso (los 155 panes de pesu 20):
1
20
2
40
4
80
1/2
10
1/4
5
7 1/2
1/4
155
de modo que se ha contado con 7 1/2 1/4 de heqats de grano para fabricar
estos panes, tanto los del primer tipo como los del segundo. Así, para
calcular el número de panes de pesu 30, sólo hay que plantear:
Pesu 30 = ? / 7 1/2 1/4
lo que supone realizar la
multiplicación:
? = 30 x 7 1/2 1/4
1
7 1/2 1/4
2
15 1/2
4
31
8
62
16
124
30
232 1/2
llegándose a la solución de 232 1/2 panes de pesu 30.
¿Qué
propiedades de la proporcionalidad conocían?
Entre los problemas que presenta el papiro Rhind sobre cambios de panes destaca el procedimiento seguido en uno de ellos que muestra el conocimiento de que disponía el escriba sobre las relaciones proporcionales que caracterizan este tipo de problemas. En concreto, el que hace el número 72 dice:
Ejemplo de cambiar unos panes por otros. Tienes 100 panes de (pesu) 10 para ser cambiados por algún número de panes con (pesu) 45. (¿Cuántos de estos habrá?)
El problema puede ser resuelto
con facilidad de forma semejante a la que se ha mostrado en la pregunta
anterior. Sin embargo, hay que recordar que el papiro Rhind es un
instrumento de enseñanza de aprendices de escriba y la intención de su
autor Ahmose es, en algunas ocasiones de forma explícita, mostrar
procedimientos diversos para resolver el mismo tipo de problema. Es por
ello que, en este caso, no sigue el camino habitual trazado anteriormente:
Calcula el exceso de 45 sobre 10, es 35. Multiplica 10 hasta llegar a 35, es 3 1/2. Multiplicar 100 por 3 1/2, es 350. Añadir 100 a esto, es 450. Decir entonces que 100 panes de 10 son cambiados por 450 panes de 45, teniendo en harina 10 heqat
La primera operación realizada
(45 - 10 = 35) permite descomponer el pesu final en dos partes, una de las
cuales coincide con el pesu inicial. Esta operación no responde a ninguna
acción física concreta puesto que el pesu, a su vez, es una razón entre
dos cantidades, de manera que operar el pesu significa operar sobre
razones y no sobre cantidades. Así pues, ésta es una operación donde el
referente es un concepto matemático y no un elemento concreto como panes
o grano.
Admitido este hecho, el escriba parte de la proporcionalidad
entre el pesu y el número de panes (teniendo en cuenta que la cantidad de
grano es invariable), que puede escribirse así:
| Pesu | Panes |
| 10 | 100 |
| 45 | ? |
para considerar a continuación la diferencia entre los dos valores que presenta cada variable (pesu y panes) considerando que la proporcionalidad se mantiene:
| Pesu | Panes |
| 10 | 100 |
| 45 | ? |
| 45 - 10 = 35 | ? - 100 |
de manera que se tenga la proporción:
35 / 10 = (? - 100) / 100
a partir de lo cual se hacen repetidas operaciones para encontrar la
incógnita:
- Se divide 35/10 = 3 1/2
- Se multiplica 3 1/2 x 100 = 350. Se tendrá actualmente 350 = ? - 100
- Se añade 100 a 350 de manera que ? = 350 + 100 = 450 panes
¿Realizaban cambios múltiples de alimentos?
Una complejidad mayor se presentaba, desde el punto de vista aritmético, cuando una cantidad determinada de panes de un pesu había de cambiarse por varios tipos de panes o panes y cerveza. Esta posibilidad también es abordada en el papiro Rhind dentro de un grupo de problemas entre los que se destacarán dos. El problema 74 plantea lo siguiente:
1000 (panes) de (pesu) 5 son cambiados, (la mitad) con (panes de pesu) 10 y (la otra mitad) con (panes de pesu) 20. ¿Cuál es el cambio?
En este caso se da una cantidad inicial que permite, como en los problemas
anteriores, reducir el caso a una cantidad de grano
determinada:
Pesu 5 = 1000 / ?
? = 1000 / 5 = 200 heqats
A continuación se afirma que la mitad del grano se
transforma en panes de pesu 10 y la otra mitad en panes de pesu 20, y con
los datos de que se dispone es fácil encontrar la solución teniendo en
cuenta que cada grupo de panes dispone de 100 heqats:
Pesu 10 = ? /
100 ?
= 10 x 100 = 1000 panes de pesu 10
Pesu 20 = ? /
100 ?
= 20 x 100 = 2000 panes de pesu 20
Se revela algo más complejo el problema 76 del papiro Rhind:
1000 panes de (pesu) 10 son cambiados por un número de panes de (pesu) 20 (y el mismo número) de (pesu) 30. (¿Cuál es el número?)
Este problema podría resolverse del modo siguiente:
- Calcular el grano necesario a partir de los datos iniciales: 10 = 1000/? ? = 1000/10 = 100 heqat
- Cada pan de pesu 20 necesitará el siguiente grano: 20 = 1/? ? = 1/20 heqat. De la misma forma, cada pan de pesu 30 necesitará 1/30 heqat.
- Para obtener un pan de cada clase entonces hará falta 1/30 + 1/20 = 1/12 heqat
- Como se disponía de 100 heqats, eso significa disponer de 1200 lotes de un pan de cada clase.
La única particularidad en el
procedimiento del escriba respecto al expuesto consiste en la elusión de
trabajar con fracciones del tipo 1/30 y 1/20. En efecto, considerando 1/30
como la unidad, 1/20 supondría 1 1/2 de manera que la suma 1/30 +
1/20 se transforma en
1 + 1 1/2 = 2 1/2
respecto a lo cual hace un reparto de las 30 unidades cada una de un
tamaño de 1/30 que forman parte de un heqat
30 : 2 1/2 = 12
y esto lo multiplica por los 100 heqats disponibles para obtener los panes
de cada clase que se obtienen:
12 x 100 = 1200 panes
