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Importancia del Recto

    ¿Qué es el papiro Rhind?
    ¿En qué consiste el Recto?
   ¿Existían criterios generales en el Recto?

  

   Henry Rhind fue un viajero inglés que, por problemas de salud, estuvo visitando Egipto en 1858. En ese tiempo era frecuente la venta de papiros antiguos a los escasos pero adinerados viajeros occidentales. De esta forma, Rhind adquirió en Luxor un largo papiro de más de cinco metros de longitud que, al decir de los vendedores, había sido encontrado en una estancia cercana al Rameseum. Tras comprobar la importancia matemática de dicho papiro, conocido desde entonces como papiro Rhind, el norteamericano Edwin Smith siguió las indicaciones dadas para buscar la citada estancia. Una vez localizada pudo hacerse con un papiro médico (el papiro Smith), el Rollo de Cuero a que se ha hecho referencia al tratar de fracciones, y un trozo de pergamino matemático que llevó a su país y que terminó en el museo de Brooklyn de New York.
      Mientras tanto y a la muerte de Rhind, el papiro más importante de la matemática egipcia, fue vendido por su albacea en 1865 al British Museum descubriéndose entonces que el trozo conservado en Brooklyn correspondía a una parte del papiro conservado en Londres. 
   La primera edición completa corresponde a un estudio de Eisenlhor en 1877 al que siguió finalmente la primera edición facsimilar por el British Museum en 1898. Desde entonces el papiro Rhind ha merecido diversos estudios y nuevas ediciones entre las que se pueden destacar la de Peet (1923) y la de Chace (1927), probablemente la más completa. La última edición habida hasta ahora, la de Clagett (1999) se basa precisamente en la última mencionada y ha sido la base de los textos mencionados en estas páginas.
   El papiro Rhind se puede situar cronológicamente gracias a la introducción del mismo donde su autor, el escribas Ahmes, escribe lo siguiente:

Razonamiento exacto para averiguar las cosas y el conocimiento de todas las cosas, misterios... todos los secretos. Este libro está escrito en el año real 33, mes 4 de Akhet, Rey del Bajo Egipto, Awserre, Vida dada, a partir de una copia antigua hecha en el año del Rey del Alto Egipto, Nymatre. El escriba Ahmose escribe esta copia.

   Los datos aportados parecen indicar que esta copia se realizó durante el Segundo Período Intermedio y bajo el reinado de Apofis I (1585 - 1542 a.C.), el primer rey hicso que adoptó un nombre egipcio estableciendo unas buenas relaciones con los reyes tebanos que dominaban el Alto Egipto. Que el papiro terminara cerca de Tebas sólo puede ser debido a que, tras la caída de Ávaris, la capital hicsa en el Delta, un escriba se lo llevara hacia la nueva capital.
   Para la interpretación del contenido del papiro sí es fundamental considerar dos aspectos del mismo:

• En primer lugar, la expresión 'haz lo mismo cuando encuentres un problema semejante' con que se acaban muchos de sus resultados permite suponer que el papiro estaba destinado a ser un instrumento de enseñanza para futuros escribas. El haberlo encontrado en el mismo lugar que el Rollo de Cuero, en el que se aprecia la copia repetida de sumas de fracciones, actividad típica del aprendizaje, parece confirmar esta característica del papiro Rhind.
• En segundo lugar, en la introducción se declara el hecho de ser una copia de un papiro anterior. La referencia concreta a un rey sitúa la redacción original aproximadamente en el reinado de Amenemes III (1844 - 1797 a.C.) y, por tanto, recoge una tradición de resultados matemáticos en torno a la utilización de fracciones, tradición en que estarían implicadas previsiblemente varias generaciones de escribas, habida cuenta de que este oficio se transmitía con frecuencia de padres a hijos.

    ¿En qué consiste el Recto?

   La médula del papiro se cortaba en tiras finas que se dejaban secar disponiéndose luego en capas entrecruzadas que se golpeaban y humedecían hasta transformarse en una materia lisa. A continuación, se procedía a encolarla por una cara (el Recto) al objeto de restarle porosidad y que la tinta se imprimiera bien. En algunas ocasiones también se llegaba a utilizar la otra cara del papiro (el Verso), de superficie más rugosa y menos cuidada.
   En el caso del papiro Rhind todo el Recto está ocupado por una tabla que presenta las descomposiciones en suma de fracciones unitarias correspondientes a las fracciones 2/n con n impar. Esta tabla era de uso imprescindible en todo tipo de operaciones aritméticas posteriores, como se puede apreciar en el siguiente ejemplo: Multiplicar   2  1/5  1/8  x  7

                                                                      1                  2  1/5  1/8
                                                                      2                  4  1/3  1/15  1/4
                                                                      4                  8  2/3  1/10  1/30  1/2
                                                                      7                 15  1/2 1/4 1/5 1/8 1/10 1/15 1/30

   Cuando el escriba multiplica cantidades fraccionarias, el problema de duplicar aquellas que tienen el denominador par resulta sencillo por cuanto el resultado tiene por denominador la mitad del original. Así, duplicar 1/8 supone llegar a la fracción 1/4. La facilidad de esta regla es la que llevaba a los escribas a tratar de expresar sus cantidades mediante denominadores pares como en el caso de aplicar las fracciones del ojo de Horus. Sin embargo, no existían reglas tan sencillas para duplicar fracciones con denominador impar. En el ejemplo planteado se puede observar que 2/5 se ha sustituido por 1/3 1/15 mientras que 2/15 se transformaba en 1/10 1/30. Para realizar estos cambios el escriba no contaba con regla alguna por lo que debía disponer de una tabla de equivalencias. Este es precisamente el contenido del Recto del papiro Rhind.
 En concreto, los resultados que presenta son los siguientes:

   ¿Existían criterios generales en el Recto?

   Como es posible apreciar, el Recto consiste en la presentación de las fracciones 2/n con n impar, descompuestas en sumas de fracciones. Ahora bien, muchas de estas fracciones originales admiten la posibilidad de ser descompuestas de formas diferentes, lo que implica una forma de construcción determinada por una serie de criterios, posiblemente muchos de ellos explícitos. Gillings ha realizado a este respecto un estudio detallado de los criterios empleados por los escribas encontrando los siguientes:

• Las fracciones unitarias se presentan siempre en forma descendente, desde la fracción de mayor tamaño (y menor denominador) a la de menor tamaño (mayor denominador). Ello indica el deseo de aproximarse con la mayor fracción unitaria posible a la fracción de que se trate considerando, posteriormente, la expresión del resto en forma de fracciones unitarias.
• Es preferible que el primer denominador sea lo menor posible, lo que es coherente con lo expresado antes de que la primera aproximación mediante una fracción unitaria deje el menor resto posible.
• Una descomposición en dos sumandos es preferible a una de tres y ésta, a su vez, se prefiere a otra de cuatro sumandos. En todo caso no se admite una descomposición en un número mayor de sumandos. La razón es meramente operativa y simplifica los procedimientos de suma y simplificación de grupos de fracciones para dar el resultado final.
• Las fracciones con denominador par son prioritarias a las que lo tienen impar. Este criterio tiene también un motivo operativo puesto que, posteriormente, es más fácil duplicar o dividir por la mitad fracciones con denominador par. Se da tal importancia a este hecho que se podrá apreciar cómo este criterio se impone en diversas ocasiones a los anteriores, de manera que es preferible una descomposición en tres sumandos a otra de dos si la primera presenta denominadores pares.
• No se admiten denominadores iguales o mayores que 1.000. De hecho hay un propósito general de equilibrar las descomposiciones de manera que los denominadores sean lo más bajos posibles.

                                             El Recto