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Las pirámides

 


   ¿Qué pendientes presentan las primeras pirámides?
   ¿Cómo se hallaba la pendiente de una pirámide?
   ¿Supieron hallar el volumen de una pirámide?
   ¿De qué forma dedujeron el volumen del tronco de pirámide?

 

 

    ¿Qué pendientes presentan las primeras pirámides?

   Tras el trazado de la base cuadrada de una pirámide los escribas se enfrentaban a las cuestiones del volumen a través de un primer problema: Determinar la pendiente que deben tener las paredes laterales y mantener dicha pendiente a lo largo de toda la construcción.
   Hasta llegar a la monumental pirámide de Keops los arquitectos egipcios hubieron de construir otras pirámides que denotan cambios de planes y diferentes criterios empleados. Las tres pirámides del antecesor de Keops, el rey Esnofru (2625 - 2585), son el mejor ejemplo de la diversidad de intentos producidos. La primera, levantada en Meidum y que probablemente comenzara su padre Huni, tiene una elevada pendiente de 51º 50' que provocó posteriormente su hundimiento parcial. El propio Esnofru comenzó a levantar otra en Dashur de 54º 27' de pendiente, aún más vertical que la de su padre, lo que condujo además, dadas sus mayores dimensiones en la base, a que el volumen de piedra combara la estructura interna de la pirámide. Es por ello que, en un intento de acabarla a toda costa, la pendiente disminuye abruptamente a una cierta altura transformándose en otra más suave de 43º 22' que permite su conclusión a una altura menor que la originalmente prevista.
  Finalmente, la tercera pirámide de Esnofru se levanta en la propia llanura de Dashur y, siendo la definitiva, resulta con una pendiente igual a aquélla con la que se acabó la pirámide anterior (43º 22') lo que hace que no presente ningún problema de sobrepeso (de hecho se sigue conservando en buen estado) y la estructura interna (en particular, los techos en saledizo que siempre comportan una cierta inestabilidad) no se resienta. Sin embargo, resulta algo aplanada respecto al prototipo de pirámide, la de su hijo Keops, que vuelve a una pendiente de 51º 50' que aún será superada por la de sucesor Kefrén (53º 7'). El volumen de piedra que ello comporta obligará a realizar unas estructuras de sostenimiento de las cámaras funerarias de gran envergadura. En líneas generales las pendientes en las pirámides del Imperio Antiguo oscilarán entre estos valores extremos con la excepción de los 56º 18' alcanzados por la pirámide de Unas (2371 - 2350).

    ¿Cómo se hallaba la pendiente de una pirámide?

   Uno de los problemas básicos de los constructores de pirámides consistía en mantener la pendiente en las cuatro caras simultáneamente dado que una variación provocada por piedras mal talladas comportaría que las cuatro caras no llegaran a converger en el vértice. Por tanto, la pendiente debía mantenerse no sólo en la base de las cuatro caras sino en todos los puntos de dichas caras laterales. El procedimiento podría basarse en conservar constante el ángulo suplementario hasta los 180º marcados por la horizontal. Para ello, un aparato de estructura triangular y con un ángulo que, si la pendiente deseada fuera de 51º, resultaría de 129º, se colocaría tanto en la base de la pirámide (y la horizontal quedaría garantizada por el suelo) como en cualquier otro punto de la pared lateral (y entonces la horizontal habría de garantizarse con un nivel de agua, por ejemplo).
   La pendiente de la pirámide no estaba en aquel tiempo medida en grados ni minutos, herencia de la astronomía mesopotámica que nos han transmitido los griegos. Los antiguos egipcios utilizaban el ‘seked’ que puede definirse como el número de palmos horizontales que corresponden en la base de la pirámide a 1 codo vertical en su altura. A partir de esta definición pueden plantearse al menos dos problemas:

  • Conociendo la base y la altura, calcular el seked de la pirámide.
  • Conociendo la base y el seked, averiguar la altura que alcanzará la pirámide.

  Así, el problema 56 del papiro Rhind plantea el primer caso en estos términos:

Ejemplo de calcular una pirámide cuyo lado de la base es 360 [codos] y cuya altura es 250 [codos]. Quiero conocer su seked

El procedimiento es sencillo y se va a repetir en varios problemas más del papiro:

  • Dividir el lado de la base por la mitad, 1/2 de 360 son 180 codos al objeto de formar un triángulo rectángulo.
  • Dividir 180 entre la altura 250, dando en este caso 1/2 1/5 1/50 , que resulta la longitud horizontal que corresponde a la unidad vertical en la unidad que fuere y todo ello dentro de un triángulo rectángulo semejante al anterior.
  • La cantidad 1/2 1/5 1/50 son también los palmos horizontales que corresponden a un palmo vertical. Como un codo vertical son los 7 palmos que caracterizan el componente vertical del seked, habrá que multiplicar por 7 la cantidad anterior para obtener dicho seked: 
                                                     7 x 1/2 1/5 1/50 = 5 1/25

  La segunda cuestión es presentada del siguiente modo en el problema 59b del mismo papiro:

Si construyes una pirámide cuyo lado de la base es 12 [codos] y con un seked de 5 palmos 1 dedo, ¿cuál es la altura?

   El carácter de ejercicio escolar en este problema se observa en la irreal dimensión de la base (12 codos). No obstante, se puede asegurar que éste debía ser uno de los problemas más frecuentemente planteados en el comienzo de la construcción, ya que las dimensiones de la base eran una de las primeras acciones del arquitecto así como la determinación de la pendiente, por lo que la altura final relacionada con los datos anteriores era, en ese momento inicial, algo impreciso pero calculable como se puede apreciar por el procedimiento del escriba:

  • Multiplica por dos el seked con el objeto de considerar la base entera en ves de su mitad como incluye la definición del seked: 2 x 5 1/4 = 10 1/2  dado que un palmo equivale a cuatro dedos.
  • Dividir 7 entre 10 1/2 para reducir el resultado a la relación entre las mismas unidades, es decir, 7 : 10 1/2 = b

   Esta es la cantidad que se multiplica por el lado entero de la base: b x 12 = 8 codos

   ¿Supieron hallar el volumen de una pirámide?

   El problema geométrico más complejo abordado por los egipcios y del que haya quedado constancia es el cálculo del volumen del tronco de pirámide o ‘pirámide truncada’. Su necesidad está evidentemente relacionada con el conocimiento del volumen de piedra necesario hasta determinada altura de la pirámide. El papiro Moscú incluye dicho cálculo exponiendo una serie de reglas sucesivas que coinciden básicamente con las realizadas actualmente, nada elementales para aquella época. Dentro de ellas una cuestión previa que llamó la atención desde el principio fue la aparición del término 1/3 en la relación de los volúmenes y que, dada la corrección con que se aplica durante el procedimiento, sólo puede estar motivada por el conocimiento previo de que el volumen de una pirámide es la tercera parte del volumen del paralelepípedo de la misma base e igual altura que la pirámide.
   Sobre este particular se han sugerido procedimientos extremadamente empíricos como es el de construir modelos en madera cuyo peso se compare o recipientes de tal forma llenos de arena cuyo contenido se pesa con el mismo objetivo. Observando la complejidad que podían alcanzar distintos cálculos entre los escribas egipcios podemos afirmar que estas posibilidades son improbables. Aquí se expondrá un método para hallar la relación de 1/3 entre ambos volúmenes basado en la descomposición del paralelepípedo en diversos prismas (poliedros limitados por dos polígonos iguales y por varios paralelogramos).
   La descomposición propuesta consiste en trazar la pirámide interior al paralelepípedo distinguiendo entre dicha pirámide y el resto del paralelepípedo. Si el paralelepípedo se divide en cuatro prismas triangulares iguales trazando las diagonales de sus caras superior e inferior se podrá diferenciar cada uno de estos prismas que, a su vez, comprende una cuarta parte de la pirámide original en forma de un tetraedro recto. Si el resto del prisma triangular se divide en dos tetraedros iguales mediante la subdivisión por la diagonal de su cara rectangular uno de ellos es claramente igual (por tener la misma base e igual altura) que el tetraedro parte de la pirámide original. En consecuencia, la parte de la pirámide resulta ser de un volumen mitad que el resto del prisma triangular o, en otras palabras, la tercera parte del volumen total correspondiente al prisma recto. Como esta relación se repite en cada uno de los cuatro prismas triangulares en que se ha descompuesto el paralelepípedo la relación global se mantendrá: El volumen de la pirámide es la tercera parte del paralelepípedo de igual base e idéntica altura.

   ¿De qué forma dedujeron el volumen del tronco de pirámide?

   El problema de calcular el volumen del tronco de pirámide, tal como enuncian los propios egipcios, se plantea del siguiente modo en el problema 14 del papiro de Moscú::

Ejemplo de calcular una pirámide truncada. Si te dicen: ‘Una pirámide de 6 de altura por 4 de base [el cuadrado inferior] por 2 de arriba [el cuadrado superior]'

que es resuelto mediante una serie de pasos sucesivos:

  • Haces el cuadrado de este 4; el resultado es 16.
  • Es el doble de 4 [multiplicar 4 por 2]; el resultado es 8.
  • Haces el cuadrado de este 2; el resultado es 4.
  • Añades el 16 y el 8 y el 4; el resultado es 28.
  • Tomas de 6; el resultado es 2.
  • Tomas 28 dos veces; el resultado es 56.
  • Fíjate, [el volumen] es 56. Encuentras [que esto es] correcto.

  Considerando que el tronco de pirámide tiene una base inferior cuadrada de lado a y una superior de lado b y siendo la altura h, los pasos del escriba suponen hacer lo siguiente:

  • a 2
  • a x b
  • b 2
  • a 2 + a x b + b 2
  • 1/3 x h 
  • V = 1/3 x h x ( a 2 + a x b + b 2 )

que es exactamente la expresión actual para alcanzar este volumen. Aunque la presencia de 1/3 ya ha sido comentada, la construcción de este conjunto de reglas y las relaciones que establece son de origen impreciso.     
   Se han estudiado dos posibilidades de naturaleza distinta: Mientras la primera se apoya de nuevo en la descomposición del tronco de pirámide en distintos sólidos relativamente sencillos de manipular, la segunda posibilidad parte de una idea más inmediata (la diferencia entre la pirámide a construir y la pirámide que queda por levantar) pero justifica de forma más imprecisa el alcanzar finalmente el conjunto de reglas del escriba.
   Considérese una visión desde arriba de la pirámide truncada de manera que supongamos los cortes que aparecen en la figura. Estos cortes provocarán la aparición de un paralelepípedo central, cuatro prismas triangulares y cuatro pirámides rectas en las esquinas. El paralelepípedo central tendrá de volumen V1 = b2 @ h
mientras que los prismas triangulares tienen por cara inferior un rectángulo de dimensiones b por 1/2 (a - b) siendo su volumen fácil de calcular. De todas maneras, como son cuatro de estos prismas se pueden añadir unos a otros hasta formar un paralelepípedo que tiene una base rectangular de dimensiones b y (a - b), resultando en total de volumen
                                                           V2 = b x (a - b) x h = (a b - b2 ) x h
pudiéndose unir al paralelepípedo de volumen V1 encontrándose que el resultante tendría por volumen:
                                                         V1 + V2 = b x (a - b + b) x h = a x b x h

  Conociendo el volumen de una pirámide se podrá deducir el correspondiente a las pirámides de las esquinas, cada una de las cuales tiene por base un cuadrado de lado 1/2 (a - b) y altura h. Habida cuenta que hay un total de cuatro el volumen total de estas pirámides supondrá:
                                       V3 = 4 x 1/3 x [ 1/2 (a - b)] 2 x h = 1/3 x (a2 + b2 - 2 a b) x h
alcanzándose finalmente un volumen final del tronco de pirámide de
                                        Vf = h/3 x (3 a b + a2 + b2 - 2 a b) = h/3 x (a2 + b2 + a b)

   De todas formas, la manera que parece más inmediata para calcular este volumen consiste en partir del correspondiente a la pirámide total y restarle el volumen de la pirámide que se levanta sobre el corte superior del tronco. Sin embargo, dicho cálculo no es elemental. Esta diferencia sería:
            V  =  1/3 a2 k - 1/3 b2 m  =  1/3 a2 (h + m) - 1/3 b2 m  =  1/3 a2 h + 1/3 a2 m - 1/3 b2 m
llegando a la misma expresión del tronco de pirámide.

  La aproximación a la fórmula general puede haber sido un proceso basado en la consideración de casos particulares especialmente sencillos. Si se considerase que la pirámide se trunca en la mitad de la altura total, h = m y la expresión general anterior daría lugar a:
                                             V  =  h/3 (a2 + a2 - b2 )
   Considérense los dos últimos términos de los tres encerrados entre paréntesis, es decir, a2 - b2, que resulta ser la diferencia entre las dos áreas de las bases cuadradas. Si se corta de la grande la pequeña, el resultado será de a2 - b2 = a b + b2 de manera que sustituyendo en la última expresión queda la fórmula del volumen del tronco de pirámide
                             V = h/3 ( a2 + a b + b2 )
   Si la pirámide, en otro caso, se trunca a una altura de 2/3 de su altura total, la altura de la pirámide pequeña es la mitad del tronco de pirámide, es decir,   m = 1/2 h.   Por la resta de las dos pirámides se tendrá entonces que:
                      V = 1/3 a2 h + 1/3 a2 1/2 h - 1/3 b2 1/2 h  =  h/3 ( a2 + 1/2 (a2 - b2 ) )
   Se puede examinar el segundo sumando encerrado entre paréntesis de una forma similar a la anterior, de manera que se encontraría que                    a2 - b2 = 2 a b + 2 bde forma que     1/2 (a2 - b2) = a b + b2     llegándose a la misma expresión del tronco de pirámide.

                                             Volumen                                      

 

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