Geometría védica

Geografía e Historia

Numeración

Bibliografía
 

                 Los Sulbasutras
              Construcción del cuadrado y el trapecio
              El cuadrado doble y Pitágoras
                  Suma y resta de cuadrados
                  Transformaciones entre cuadriláteros
                  Transformaciones de cuadrado y círculo
                  El círculo para los jainas
 

Los Sulbasutras

Como ya mencionamos al tratar la literatura védica, los Sulbasutras o aforismos de cuerdas (cordel de medir) son apéndices de las principales obras védicas, destinadas a la construcción y medida de los altares para los sacrificios rituales.

Diversos datos parecen indicar que su redacción puede situarse entre el siglo VIII a.C., cuando el sánscrito empieza a tomar la forma que aparece en estos textos, y el siglo V a.C. en que el sabio Panini codifica y establece las reglas gramaticales del sánscrito clásico.

En la religión védica cada hogar debe tener tres tipos de fuegos de sacrificio (agnis). El altar apropiado para ellos son cuadrados, circulares o semicirculares. Sin embargo, los más elaborados ya corresponden a rituales complejos que deben ser llevados a cabo por los brahmanes. Vienen referenciados en los Vedas samhitas como el Rigveda, de manera que su elaboración es antigua y probablemente los Sulbasutras son versiones actualizadas de conocimientos de varios siglos atrás.

Los altares (vedi) más complejos tenían usualmente forma de halcón, sea con sólo la cola o también patas, aunque cabía hacerlos también en forma de garza, una simple variación del primer altar. La razón viene expresada en uno de sus libros sagrados:

Pues bien, este altar sagrado se construía con siete cuadrados y medio. Cuatro de ellos formaban el cuerpo del halcón. Luego tres más se usaban para las dos alas y la cola. Finalmente, cada ala se alargaba con un quinto de cuadrado y la cola con un décimo del mismo cuadrado, totalizándose así los siete cuadrados y medio. Cada uno de estos cuadrados tenía por lado una purusa, unidad de medida equivalente aproximadamente a 2,34 metros y que correspondían a la altura de un hombre con los brazos levantados.

Hay varios Sulbasutras: el más antiguo resulta ser el de Baudhayana y luego es difícil situar a los restantes, el de Apastamaba y el de Katyayana son los más importantes, habiendo otros de menor importancia como el de Manava. El primero, por ejemplo, consta de tres partes consistentes en 113, 83 y 323 aforismos (sutras), de los cuales los 62 primeros son los más importantes desde el punto de vista matemático por consistir en:

Todas estas operaciones eran necesarias por varios motivos:

A estos problemas geométricos en los que los brahmanes alcanzaron una gran habilidad y conocimiento, habría que añadir otros problemas prácticos también relacionados con las matemáticas. En efecto, los altares usuales tenían que construirse con cinco capas de ladrillos que llegaban a un hombre a la altura de la rodilla pero otros más elaborados debían llevarse a cabo con diez y hasta quince capas de ladrillos. Cada capa debía tener doscientos ladrillos hasta totalizar en el más usual el número de mil. Sin embargo, para que encajaran adecuadamente, estos doscientos ladrillos de cada capa debían colocarse de forma no coincidente, lo que obligaba a plantear las distintas formas de intercalarlos para mantener el número requerido y dar estabilidad, al tiempo, al altar.

En primer lugar, el altar debía estar orientado en referencia a los cuatro puntos cardinales, de manera que la primera tarea de los tendedores de cuerdas era señalarlos, tal como indica Katyayana. Para ello se colocaba una barra vertical (el gnomon) y se trazaba una circunferencia pasando por el lugar de su colocación y que tuviera la altura de dicho gnomon por diámetro. Sea en el amanecer o en el atardecer, la sombra del gnomon caería sobre otro punto de la circunferencia que permitiría tender la cuerda en la dirección este-oeste, E-O.

A continuación era necesario trazar el eje norte-sur lo que planteaba el problema de construir la perpendicular a la recta antes dibujada. Ello se hacía de un modo similar al actual: Atando cuerdas a los gnomones E-O se tendía una cuerda de longitud doble que la distancia entre el gnomon E y el O. Se marcaba con otro gnomon el punto medio de esta cuerda lo que se alaría en un sentido el norte y en el otro el sur.

Con esta construcción se garantizaba el dibujo de perpendiculares. Sin embargo, había otro método para su dibujo consistente en reunir tripletas pitagóricas. Así, se tomaba una cuerda dividida en dos partes: Una, por ejemplo, tenía 39 prakramas (unidad de longitud) y la otra 15.

Se doblaba la cuerda hasta que la distancia entre sus extremos fuera de 36 en cuyo caso se habría construido un triángulo rectángulo de catetos 15 y 36 y de hipotenusa 39. Apastamba da otros valores, el más elemental (3, 4, 5) y algunos múltiplos, así como otras tripletas (12, 5, 13) con sus múltiplos, (15, 8, 17) ó (12, 35, 37).

Había varios métodos para el trazado de un cuadrado. Conociendo los ejes E-O, N-S y tomando las mismas distancias desde su punto de corte hacia las cuatro direcciones sobre dichos ejes , bastaba trazar perpendiculares por los extremos de estos ejes hasta que sus puntos de corte dieran los vértices del cuadrado buscado. Otros procedimientos, sin embargo, son más originales.

El primero tomaba un bambú recto de longitud la del lado del cuadrado deseado y con agujeros en los extremos y en su punto medio. Sujetándolo por un extremo A se hacía girar el otro libremente trazando sobre arena su trayectoria. Esta acción se repetía sujetándolo por el otro extremo B hasta que el punto de corte P de ambas trayectorias permitía construir la perpendicular de un modo semejante al visto antes. Sujetando un extremo del bambú en el punto medio O y haciéndolo pasar por el punto P se conseguía el punto Q. Colocando el punto medio del bambú en Q se colocaba este bambú de manera que sus dos extremos estuvieran sobre las trayectorias dibujadas en la arena permitiendo así conseguir los vértices C y D.

Baudhayana, sin embargo, ofrece otro método basado en el dibujo e intersección de circunferencias. Consiste en considerar una cuerda tan larga como el lado del cuadrado deseado fijando el punto medio, a partir del cual y tomándolo como centro se dibuja una circunferencia que tenga por diámetro el lado del cuadrado. Se trazan dos diámetros perpendiculares de esta circunferencia respetando, naturalmente, las direcciones consabidas E-O y N-S. Por los puntos donde estos diámetros corten a la circunferencia (cuatro en total) se dibujan sendas circunferencias iguales a la anterior. Los puntos de intersección de estas cuatro circunferencias marcan la posición de los cuatro vértices del cuadrado.

Es evidente que estos métodos sirven de base para la construcción tanto de rectángulos como de trapecios. En concreto, el vedi o altar prescrito para tomar en él la bebida embriagante y sagrada del soma tenía que tener la forma de un trapecio isósceles (mahavedi) donde la base más corta debía tener 24 padas (pies), la más larga 30 y la altura del altar o distancia perpendicular entre ambas bases había de contar 36 padas.

La construcción dada por Baudhayana es la siguiente:

Parece pues que los indios ya eran perfectos conocedores de las relaciones pitagóricas y ello varios siglos antes de que Pitágoras le diera una completa demostración en sus Elementos. Veamos hasta qué punto es así.

Dentro de la construcción de altares existen distintas ocasiones en que es necesario dibujar un cuadrado de área doble que la de uno dado. La más elemental consiste en transformar un altar cuadrado en otro en forma de triángulo isósceles del mismo área. La forma más sencilla para hacer esto es que, a partir del cuadrado inicial, se construya otro de tamaño doble. A continuación se toma el lado de este nuevo cuadrado como base y altura del triángulo isósceles. Sin más que comparar la superficie de los cuatro triángulos resultantes se comprueba el resultado deseado.

Por este motivo, entre otros, los brahmanes indios precisaban construir cuadrados de área doble que uno dado. La forma más fácil de conseguir este objetivo era darse cuenta de que la diagonal del cuadrado original es el lado del cuadrado deseado. La forma en que llegaron a tal solución puede obedecer a una intuición meramente geométrica al considerar una figura como la siguiente.

Dice Katyayana:

En la construcción del altar Pakriti haced un cuadrado de área dos purusas cuadradas y tenga los clavos (vértices del altar) en los puntos medios de los lados. Ésta es la construcción.

Se puede observar que el cuadrado original consta de dos triángulos de media purusa cuadrada cada uno, mientras que el cuadrado construido sobre la diagonal del primero consta de cuatro de estos triángulos. Naturalmente éste es un caso particular de la relación más general denominada de Pitágoras pero probablemente a los brahmanes védicos les bastaba para tener el procedimiento deseado.

Baudhayana afirma que

El conocimiento de esta relación presente en el triángulo rectángulo era amplio y bastante general por cuanto las relaciones pitagóricas eran utilizadas habitualmente en la construcción de ángulos rectos, tal como hemos visto anteriormente en el altar trapezoidal. Apastamba, por ejemplo, maneja triadas como (3, 4, 5), la más elemental, pero también otras que no se deducen de la anterior, como (15, 36, 39), (5, 12, 13), (7, 24, 25), (72, 96, 120), etc.

Posteriormente, al construir un altar cuadrado que tenga por área la diferencia de dos cuadrados desiguales, podrá encontrarse una construcción geométrica que, no sólo utiliza de forma general la relación entre los lados de un triángulo rectángulo, sino que es la misma disposición que permite una demostración ya conocida en el mundo chino. En efecto, el cuadrado grande de la izquierda se compone del peque o interior más cuatro triángulos. El cuadrado de la derecha, igual que el original, se compone de los mismos cuatro triángulos y dos cuadrados construidos sobre los catetos de uno cualquiera de esos triángulos. Si eliminamos los cuatro triángulos iguales en cada uno de los grandes se obtiene la evidencia visual de que el cuadrado construido sobre la hipotenusa es igual a la suma de los construidos sobre los catetos.

Pues bien, la construcción de un cuadrado de área doble a partir de la diagonal del cuadrado original supone conocer, desde el punto de vista numérico, que esta diagonal se obtiene multiplicando 2 por el lado del cuadrado. En líneas generales, el cuadrado de lado unidad tiene por diagonal precisamente 2 de forma que el área del cuadrado construido sobre ella es 2.

Lo cierto es que la matemática védica supo calcular una aproximación muy exacta de este valor, tal como muestran Apastamba y Katyayana:

√2  =  1  +  1/3  +  1/3.4  -  1/3.4.34

En otras palabras, en términos decimales tomaban la aproximación 1,41421568...   siendo la actual 1,41421356...

La cuestión problemática que se presenta al estudioso actual es averiguar cómo pudieron llegar a ese valor tan ajustado. Los Sulvasutras, conjuntos de aforismos de cómo proceder para realizar los cálculos oportunos son una obra eminentemente práctica que no se detiene en demostración alguna. De manera que sólo cabe hacer reconstrucciones lo más verosímiles posible del modo en que llegaron a un resultado semejante.

La primera sería de naturaleza algebraica:

1. Se considera un altar cuadrado de lado 12. Su área será 12 ² = 144

2. Ahora se plantea el problema de construir un altar cuadrado cuya área sea el doble que la anterior, es decir, 2 . 12² = 288

3. La mejor aproximación parece ser la del cuadrado de lado 17, ya que 17 ² = 289

4. Esto supone que 2 x 12² 17² luego 2 17/12 que expresado a través de fracciones unitarias daría:

√2  =  17/12  =  1  +  1/3  +  1/3.4

5. La consideración de esa unidad de diferencia entre 288 y 289 precisaría considerar la sustracción de una fracción que sería la dada en la fórmula anterior.

Sin embargo, es posible una aproximación de naturaleza geométrica que quizá estuviera más a su alcance y ser más intuitiva para justificar la fracción que se resta:

Se toman dos cuadrados iguales de lado unidad. Se trata de formar un cuadrado de área doble que cualquiera de ellos recortando el segundo y uniendo las partes recortadas sobre el segundo hasta formar el cuadrado deseado. Evidentemente éste es un método aproximativo que se puede algebrizar posteriormente para dar cuenta de las acciones efectuadas.

Así, el segundo se divide en tres rectángulos iguales dos de los cuales se colocan sobre el primer cuadrado según la figura. A continuación el tercer rectángulo se divide a su vez en tres partes iguales, una de cuyas partes, el cuadrado, se coloca en la esquina del primero. Los otros dos cuadrados se dividen cada uno en cuatro rectángulos iguales que pueden colocarse en torno a la figura antes dibujada. Así, todo el segundo cuadrado queda repartido alrededor del primero a salvo de un peque o cuadradito de la esquina que es necesario a adir para completar el cuadrado buscado de área doble. De esta manera, el lado de este último cuadrado mayor tendrá de lado

√2  =  1  +  1/3  +  1/3.4

a lo que habría que quitar una pequeña cantidad para compensar el cuadradito pequeño que se ha tenido que añadir. Éste tendrá de área (1 / 3.4 ) ² , superficie que habría que restar del cuadrado hasta ese momento formado. Pero la resta habría de ser de una pequeña franja rectangular tanto en la parte superior como a la izquierda, por ejemplo, de dimensiones 1 + 1/3 + 1/3.4 de largo y una cantidad desconocida x de espesor. ¿Cuánto vale x?.

Habrá de cumplirse:     2 x (1 + 1/3 + 1/3.4) - x ²  =  (1/3.4) ²

Despreciando el valor de x² por ser muy pequeño y despejando el valor de x se llega a que:   x  =  1/3.4.34

que justificaría la deducción mostrada por las fórmulas védicas.

La construcción de un cuadrado doble que uno dado ya supone resolver el problema de hallar el cuadrado que tenga por área la suma de dos cuadrados iguales. Pero el problema puede generalizarse a la suma de tres y más cuadrados, siempre que sean iguales.

Baudhayana afirma que

Un rectángulo de anchura igual a la del cuadrado e igual a la unidad y una longitud que sea su diagonal tiene una diagonal que da un cuadrado tres veces más grande.

El proceso es generalizable sin más que construir sucesivos triángulos rectángulos uno de cuyos catetos sea la unidad y el otro las distintas diagonales crecientes que se ven obteniendo. Sin embargo, el procedimiento más general viene dado por Katyayana tiempo después y, aunque no da explicación de cómo ha llegado al resultado que enuncia, es posible que el examen de casos particulares haya permitido inferir el más general. Consideremos la relación pitagórica que conocían (5, 12, 13). Si tomamos el cuadrado del cateto pequeño (5 ² = 25) resultaría que el segundo cateto se obtiene hallando la mitad de este cuadrado menos uno y la hipotenusa puede interpretarse como la mitad de ese cuadrado más uno, de modo que

12 = ½ (25 - 1),

13 = ½ (25 + 1).

Puede comprobarse que esta relación sucede en general y da lugar a tripletas pitagóricas:

[ √ n , ½ (n - 1), ½ (n + 1) ]

Este hecho general permite deducir que si se construye un triángulo rectángulo que tenga de base ½ (n - 1) y de hipotenusa ½ (n + 1) el otro cateto nos dará el lado de un cuadrado de área n, siendo n cualquiera. Probablemente, Katyayana prefiere prescindir de las mitades considerando el triángulo isósceles que tenga de base (n - 1).

Al mismo tiempo, como la tripleta pitagórica sigue siéndolo si cada uno de sus términos es multiplicado por el mismo número L podremos deducir que la construcción de dicho triángulo permite hallar, a partir del cuadrado de lado L, un cuadrado n veces mayor.

Los problemas de este apartado se cierran con la suma y resta de cuadrados desiguales. En estos casos, la aplicación de la relación pitagórica es flexible y constante, de manera que debía de ser un procedimiento consabido: dos catetos permiten hallar una hipotenusa deseada (como en Baudhayana) y una hipotenusa junto a uno de los catetos permitía hallar el otro (Katyayana).

Así, para sumar dos cuadrados desiguales Apastamba propone:

Con el lado del pequeño debe cortarse un segmento del mayor. La cuerda diagonal del segmento combinará los dos cuadrados.

Como se puede apreciar, estas indicaciones permiten formar un triángulo rectángulo de catetos a y b, los lados de los dos triángulos desiguales que se quieren combinar. La hipotenusa de dicho triángulo tendrá de longitud la raíz cuadrada de a² + b² de manera que constituye el lado del cuadrado buscado, unión de los dos.

Una construcción semejante realiza el mismo Apastamba para mostrar la forma de encontrar un cuadrado igual a la diferencia de otros dos desiguales. En este caso interesará formar un triángulo rectángulo que tenga por hipotenusa el lado a del cuadrado mayor y uno de sus catetos el lado b del menor. De manera que la construcción es semejante a la anterior salvo en la hipotenusa considerada.

Así, se divide el cuadrado grande de forma que quede en su parte inferior el rectángulo de lados a y b. Entonces se abate el lado a sobre el lado contrario. De este modo se forma el triángulo rectángulo que tiene b por uno de sus catetos y a por la hipotenusa, de manera que el otro cateto será la raíz cuadrada de a² - b², siendo por tanto el lado del cuadrado diferencia de los dos iniciales.

Una vez construido el cuadrado por alguno de los procedimientos examinados, se desea construir un altar rectangular de la misma superficie, lo que implica transformar el cuadrado en rectángulo. Se han registrado hasta tres métodos para ellos, el primero de los cuales (Apastamba) es muy tosco e inexacto.

Consiste en considerar el cuadrado ABCD de manera que, sobre uno de los lados, se considera el segmento de longitud EF correspondiente a la anchura del rectángulo que se desea.

A continuación lo que se hace es cortar superficies sobrantes pegándolas a continuación del lado corto del rectángulo hasta completarlo. Primero un trozo de largo igual a dicha anchura y luego dividir el resto tantas veces como sea necesario. El resultado de tal acción es bastante imprevisible porque pueden obtenerse con exactitud esos trozos y unirlos a continuación o no.

Más exacto como método pero también limitado es la construcción de Baudhayana o Katyayana que consiste en partir el cuadrado ABCD por la mitad mediante una diagonal. Uno de los triángulos resultantes, el ABC, se divide a su vez en dos triángulos iguales que resultan rectángulos. Estos se trasladan sobre los otros dos lados del cuadrado para formar el rectángulo ACFG que tiene un área igual que el cuadrado original. El único problema de esta construcción es que al rectángulo no se le puede dar el lado que previamente se desee.

Apastamba, que había mostrado previamente un método burdo y aproximado, termina ofreciendo una construcción sencilla y exacta (que sólo fue demostrada como tal por un comentador posterior). Considérese el cuadrado ABCD cuyo lado CD se lleva hasta la posición EF de manera que BE coincida con la longitud del rectángulo que se desea. Se unen entonces los vértices B y F mediante una diagonal que corta a CD en G. El rectángulo buscado es entonces el IHEB siendo IH la recta que pasa por G.

En efecto, se parte de que los triángulos BEF y BAF son iguales. De estos quitamos los triángulos GFH y GFD iguales. Resulta entonces que los trapecios BGHE y BGDA son iguales. Quitamos de estos los triángulos BGC y BGI que son iguales. Queda entonces que los rectángulos IGDA y CGHE también son iguales, de donde lo restado al cuadrado se le ha añadido al rectángulo para formarlo y las áreas serán, por consiguiente, iguales.

Hay que plantear el caso contrario, es decir, convertir un rectángulo en un cuadrado de la misma superficie.

Baudhayana lo hace considerando el rectángulo ABCD. A partir del lado AB se forma el cuadrado ABKH. Se considera entonces el segmento EM de manera que el rectángulo sobrante (HKCD) quede dividido por la mitad. El rectángulo EMCD se traslada sobre BK a la posición KBJG. Se considera entonces el cuadrado AJFE.al que habría que quitarle el cuadrado peque o de la esquina (KGFM) para que la superficie fuera equivalente al rectángulo original.

Se ha visto anteriormente el procedimiento para efectuar la sustracción de dos cuadrados desiguales, como sería el caso. Consiste en tender una cuerda desde J hasta F haciéndola girar hasta cortar en W al rectángulo original. Entonces, el cuadrado deseado tendrá por lado la longitud JS. En efecto,

JS² = JW² - WS² = AJ² - BJ² = (AJ + BJ) (AJ - BJ) = AD x AB = Área de ABCD

cálculo que no es realizado más que para efectuar una comprobación algebraica actual de la corrección del procedimiento llevado a cabo.

Cuadrilátero en trapecio

Los Sulbasutras ofrecen dos procedimientos para transformar un altar cuadrado o rectangular en otro trapezoidal isósceles.

Baudhayana parte de un rectángulo ABCD eligiendo el segmento AF que coincida con la base mayor del trapecio deseado. Eso deja a un lado un rectángulo que se divide en dos mediante una diagonal. De los dos triángulos que resultan el más extremo se traslada al lado contrario del rectángulo AFED para formar el trapecio deseado de igual superficie.

Cabe otra posibilidad a partir de un altar cuadrado ABCD.

Consiste en marcar sobre uno de los lados (DC por ejemplo) dos puntos equidistantes de los vértices (E y F) de manera que el segmento EF coincida con la base menor del trapecio deseado. La misma distancia que separa E del vértice D se toma sobre la prolongación del lado opuesto del cuadrado AB para conseguir los puntos G y H que definen el segmento que constituye la base mayor del trapecio.

Al trazar los segmentos GE y HF, lados del altar trapezoidal, se forman triángulos que son iguales (tienen un lado igual e iguales los dos ángulos adyacentes) por lo que la misma superficie que se detrae del cuadrado original se añade, conservándose finalmente el área.

La forma de construir un altar romboidal a partir de uno cuadrado resulta de una gran sencillez según el método aportado por Apastamba. Así, se considera el cuadrado y se construye uno de área doble mediante la diagonal del primero.

A continuación se toma el punto medio de cada lado del cuadrado doble, uniéndose entre sí. Como es fácil deducir a partir de los ejes perpendiculares interiores, el área del rombo así obtenido es la mitad del cuadrado grande y, por tanto, presenta la misma superficie que el cuadrado peque o original.

Katyayana plantea incluso la acción contraria, transformando un rombo en rectángulo, aunque éste no sea arbitrario sino que muestra uno de sus lados coincidente con la diagonal mayor del rombo. Así, la mitad del rombo se puede transformar en dos triángulos rectángulos iguales que se colocan en el lado contrario del medio rombo opuesto, de un modo similar al que se seguía en uno de los procedimientos para transformar un cuadrado en rectángulo.

Queriendo construir un altar circular el primer problema propuesto fue el de la 'circularidad del cuadrado', la transformación de un cuadrado en un círculo, que Baudhayana resuelve del siguiente modo:

En el cuadrado ABCD sea O la intersección de las diagonales. Con radio OD se traza un arco que corta en E a la perpendicular al lado CD del cuadrado. Si P es el punto de corte de dicha perpendicular con el lado CD, sea PQ = 1/3 PE. Entonces OQ es el radio del círculo que tiene un área igual al cuadrado ABCD.

Calculemos la aproximación propuesta en términos actuales. Si se considera el triángulo rectángulo ODP, por el teorema de Pitágoras, resultará que OP = PD = L/ 2 siendo L el lado del cuadrado original.

PE = L/√ 2 - L/2 = L ( √2 - 1) / 2

De modo que PQ = 1/3 PE = L ( √2 - 1) / 6

finalmente, el radio del círculo equivalente sería:

OQ = L/2 + L ( √2 - 1) / 6 = L ( √2 + 2) / 6

De este modo, al lado L del cuadrado le correspondería un diámetro de          d = L ( √2 + 2) / 3

Naturalmente, éste es un procedimiento aproximativo que conlleva la consideración final de un valor de Π = 3,088273...

El problema inverso, la cuadratura del círculo, es resuelto inicialmente a través de una regla algo aproximada: Dividir el diámetro en 15 partes de las cuales 13 se toman como el lado del cuadrado. Esto es decir que el lado L = 13 d / 15 , lo que conduce a un valor de Π = 3,004. Baudhayana, sin embargo, da una aproximación aún mayor:

En otras palabras, el lado del cuadrado buscado es

7/8  +  1/8.29  -  1/8.29.6  +  1/8.29.6.8

del diámetro del círculo dado. ¿Cómo pudo llegar a este valor?. La búsqueda de una explicación razonable resulta un proceso interesante sobre el que se han vertido distintas hipótesis. Aquí daremos una versión algo antigua, la de Thibaut, pero de cierta sencillez.

Se parte de la idea de que esta aproximación debe seguir un proceso en cierta forma inverso al que permite obtener el diámetro a partir del lado del cuadrado. Teniendo en cuenta la conclusión a la que llegamos entonces:

d = L ( √2 + 2) / 3

se deduciría que                                                               L = 3 d / ( √2 + 2)

Ahora bien, existe una expresión de √2 que es:             √2 = 1 + 1/3 + 1/3.4 - 1/3.4.34

de manera que:                                              √2 + 2 = 3 + 1/3 + 1/3.4 - 1/3.4.34 = 1393/408

de donde:                                            L = 3 x 408 x d / 1393 = d x 1224/1393 = d x 0,878679...

La cuestión entonces se reduce a saber cómo Baudhayana pudo llegar a la aproximación citada, teniendo en cuenta que es muy cercana al valor alcanzado:

7/8 + 1/8.29 - 1/8.29.6 + 1/8.29.6.8 = 0,878681...

Thibaut plantea que de lo que se trata es de averiguar la relación 1224/1393 de una forma más sencilla o, en otras palabras, por qué número hay que multiplicar 1393 para obtener 1224. Por ello plantea las siguientes aproximaciones:

7 x 174 1/8 = 1218 7/8

1224 - 1218 7/8 = 5 1/8

¿Cómo conseguir 5 1/8 a partir de 1393?.

lo que supone añadir 1/8.29 pero habría que llegar a 5 1/8, no a 6.

Resultando la fórmula propuesta por Baudhayana y teniendo en cuenta un error en la aproximación que puede considerarse despreciable.

Dentro de la concepción del mundo que tenía el jainismo, la tierra venía a ser una isla circular con un diámetro de 100.000 yojannas (aproximadamente un millón de kms). Dado que no había todavía un desarrollo astronómico como el que se conocerá más tarde, probablemente éste sea el motivo de una mayor profundización en el estudio de la circunferencia y sus elementos principales como el segmento circular o la longitud de una cuerda, que tampoco parecen provenir de la construcción de altares, tema que por otra parte iba decayendo en interés por aquel tiempo.

En todo caso, es posible registrar aproximadamente en el siglo II aC una obra (Tattwarthadhigama-sutra Bhashya) de un matemático jaina de la escuela de la capital Pataliputra (cerca de la actual Patna) de considerable importancia geométrica. Este matemático, Umaswati, propone una serie de relaciones entre estos elementos de la circunferencia (figura 4.12). Llamando C a la longitud de la circunferencia, A al área del círculo, d al diámetro, c a la longitud de una cuerda y h a la altura de un segmento circular (distancia entre la cuerda y el arco que lo define situada en el diámetro), serían los siguientes:

1)  C  =  √10 . d                       2)   A  =  1/4  C . d                          3)  C  =  √(4h (d-h)

4)  h  =  1/2  (d - √(d² - c²)      5)  Arco  =  √(6h² + c²)                   6)  d  =  h² + c²/4 / h

Atendiendo en primer lugar a la igualdad (3), su deducción resulta relativamente sencilla considerando el triángulo rectángulo formado por la semicuerda y dos radios, como se señala en la figura. Por el teorema de Pitágoras resultará que se cumple la igualdad:

d² / 4  =  c² / 4  +  (d/2 - h)²

de donde se deduce inmediatamente dicha igualdad sin más que despejar c.

A partir de ella, tratándola como una ecuación cuadrática en h,

h² - hd  +  c² /4   =   0

que una vez resuelta conduce a la igualdad (4). De igual manera, la expresión (6) se obtiene de la (3) sin más que despejar el valor de d.

La expresión (1) da la longitud de la circunferencia en función del diámetro al multiplicarlo por un factor 10 que, en concreto, equivale a tomar como valor de ð el de 3,162 lo cual resulta de una mayor exactitud que el clásico valor de Π = 3 considerado por diversas culturas de la antigüedad, incluida la india.

El origen de este número puede estar en la inscripción de un exágono dentro de un círculo, una forma clásica ya por entonces de aproximarse a la longitud de la circunferencia. Considerando que el lado del exágono (igual a d/2 por construcción) es una cuerda, se le puede aplicar la igualdad (4) antes deducida para obtener la altura h de esta cuerda:

Ahora bien, cada lado S₁₂ del dodecágono se formaría dividiendo en dos cada lado S₆ del exágono de manera que (figura 4.13):

de manera que el perímetro total del dodecágono, una aproximación a la longitud de la circunferencia, sería:

Por fin, desde la aproximación (1) a la longitud de la circunferencia, se puede considerar el caso particular en que la cuerda c que aparece en otras expresiones coincide con el diámetro de la circunferencia (c = d) en cuyo caso la altura h = d/2. A partir de dicha aproximación resultaría que el arco del segmento coincide en este caso particular con la semicircunferencia:

llegándose a una expresión que puede generalizarse.

                                                                                 
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