Numeración
oral védica
Numeración escrita
Operaciones aritméticas
El infinito entre los
jainas
El manuscrito Bakshali
Numeración oral védica
Mucho antes que los signos numéricos escritos existieron las palabras
numéricas. Al igual que actualmente disponemos de la misma herramienta con
las palabras: uno, dos, tres, etc., los indios autores de los Vedas
expresaban verbalmente las primeras cantidades. Aunque existían diversas
acepciones para las mismas, dependiendo del Veda considerado, de la zona
geográfica y su lenguaje, finalmente quedaron las siguientes palabras en
sánscrito para describir las primeras cantidades hasta el diez:
1 eka
2 dvi
3 tri
4 catur
5 pancham
6 sas
7 saptam
8 astan
9 navan
10 dasan
Durante un largo tiempo, sobre todo en la literatura védica, estas
denominaciones no fueron establecidas. El contexto era eminentemente
poético, como es el caso, por ejemplo, del mandala II del Rigveda, que
presenta la siguiente estrofa:
Indra, ven aquí con dos corceles castaños,
ven con cuatro, con seis cuando se te invoca.
Ven tú con ocho, con diez, para beber el Soma.
He aquí el jugo, valiente guerrero, no lo desdeñes.
¡Oh, Indra!, ven aquí habiendo enganchado a tu carro
veinte, treinta, cuarenta caballos.
Ven con cincuenta corceles bien adiestrados, Indra,
sesenta o setenta, para beber el Soma.
Sin embargo, las palabras numéricas cambiaban en un contexto astronómico,
filosófico, religioso o poético. Así, la unidad, que terminaría asociada a
la palabra “eka”, podía escribirse como urvara o kisiti, si se refería a la
Tierra, como abja o indu si mencionaba la Luna, como nayaka si trataba del
héroe de una narración, como tanu si se refería al cuerpo humano. Lo mismo
sucedía en todas las demás palabras numéricas: Cuatro, que terminaría
escribiéndose como “catur” se decía veda si se refería a los textos
sagrados, dis si trataba de un punto cardinal o yuga para las cuatro edades
del mundo en el hinduismo.
En estas condiciones y durante largo tiempo, no puede afirmarse que la
numeración védica considerara el carácter abstracto del número sino que éste
venía referido a la cualidad o elementos descritos. No sería hasta mucho
después, cuando el sánscrito clásico se hubiera refinado y pulido, cuando la
numeración se sistematizaría.
No obstante, quedó claro desde el principio la sujeción a una forma de
conteo en base diez. Ello tuvo su consecuencia inmediata en la forma de
nombrar los números superiores a diez:
11 ekadasan
12 dvadasan
13 trayodasan
14 caturdasan
15 pancadasan
..............................
Como se puede observar, la palabra dasan (diez) seguía a la denominación de
las unidades. De forma que, en términos actuales, encontraríamos algo como:
unodiez, dosdiez, tresdiez, cuatrodiez, cincodiez, ....
Las palabras referentes a las decenas conservaban las raíces del número de
decenas a que se referían:
20 vimsati
30 trimsat
40 catvarimsat
50 pancasat
60 sasti
70 saptati
80 asiti
90 navati
100 sata
para, a partir de la centena, enunciar el número de centenas
correspondiente:
200 dvisata
300 trisata
400 catussata
500 pancasata
...........................
Se fue convirtiendo en norma la pronunciación que comenzaba por las unidades
para continuar con las decenas, miles, etc., al contrario que en castellano
actual. De esta forma, teniendo en cuenta que
1.000 sahasra
10.000 ayutam
100.000 niyutam (o laksa)
....................................
un número como 3.745, por ejemplo, se vendría a pronunciar como:
Pancham catvarimsat saptasata ca trisahasra
donde el término ca significa junto, es decir:
Cinco cuarenta setecientos y tres mil
En este caso las palabras numéricas aún no están inscritas en un sistema
posicional dado que las que designan el número de cada unidad está
relacionada indisolublemente con el tipo de unidad a que corresponde. Así,
este número no se pronuncia
Cinco cuatro siete tres
o sea:
Panchan catur saptan tri
Este paso terminó por darse cuando se dispone
de los primeros signos numéricos en los edictos de Ashoka, prueba inequívoca
de que las cantidades numéricas empezaban a alcanzar un carácter abstracto
que antes no tenían.
Esto significaba por tanto que el orden en que las palabras numéricas se
dijeran era importante. Del mismo modo que el 3 en los números 38 y 83 no
vale lo mismo, dado que su valor viene definido por su posición relativa a
las demás cifras, catur (cuatro) no describía la misma cantidad si se
pronunciaba panchan catur (45) que catur panchan (54).
Sin embargo, la construcción paulatina de un sistema numérico posicional de
base diez exigía la introducción de algún término verbal para designar la
ausencia de cantidad en una de las unidades. De otro modo, panchan catur
podría representar 45 pero también 405 o 4050, por ejemplo. Para ello, ya
desde las composiciones poéticas de los vedas, se utilizaban indistintamente
las palabras randhra (agujero), bindu (gota, punto), ambara (espacio del
cielo sin materia) o, la que quedaría finalmente como admitida en
representación de lo que actualmente es el cero: sunya (vacío). De este
modo, 405 se diría panchan sunya catur, mientras que 4050 se pronunciaría
como sunya panchan sunya catur. El sistema posicional estaba ya plenamente
establecido a falta de su versión escrita mediante determinados símbolos.
La palabra sunya (vacío) no se conservó como tal. Los musulmanes adaptaron
el mismo concepto a su lenguaje, denominando a este vacío numérico “as-sifr”,
que es la sifra islámica o cifra latina. Curiosamente, la denominación
occidental del cero proviene de la palabra griega que denomina el vacío:
cephirum, y no tanto de la árabe que dio lugar, como es de suponer, a la
palabra que denomina cada signo o cifra.
El latín transformó la palabra griega cephirum en zefiro o zevero en Italia,
palabra que terminaría perdiendo la sílaba central para transformarse en
zero.
Numeración escrita
Desde hace mucho tiempo se ha admitido como hecho comprobado que la
escritura numérica occidental deriva de la india. El pueblo islámico, en
rápida expansión desde el siglo VII, ocupó el subcontinente indio un siglo
después. Allí los sabios encontraron una forma de contar y calcular mediante
una serie de signos que asimilaron con rapidez mediante la obra de diversos
estudiosos (Al Khuwaritmi, por ejemplo, en el mismo siglo VIII) que los
trasladaron al papel y popularizaron su uso. Fue a través de la cultura
islámica como llegó a Occidente, por la frontera italiana pero sobre
todo por el trasvase de información que se efectuaba en la frontera entre
cristianos e islámicos en España. De ahí que la primera muestra escrita de
los nuevos signos numéricos aparezca en una obra realizada en la Península
Ibérica y que lleva por título Codex Vigilanus, actualmente en la biblioteca
del monasterio de el Escorial.
Pues bien, retrocedamos al origen de estas cifras que tanta trascendencia
habrían de tener en todo el mundo muchos siglos después. El primer dato
arqueológico que revela su uso se encuentra en las célebres inscripciones
realizadas en tiempos de Ashoka, el emperador Maurya que reinó en su país
entre el 273 y el 235 a.C., es decir, en el siglo III a.C. Eran
inscripciones realizadas en grandes monolitos de piedra donde el gobernante
proclamaba sus deseos de mejora, su autoridad sobre los súbditos, todo ello
en varios idiomas, según la zona geográfica donde se colocaran. Eran en
griego y arameo en la actual zona de Afganistán, en karosthi en el curso
norte del Indo y en escritura brahmi, al parecer la más generalizada, en el
resto de sus amplios dominios.
Cifras brahmi de los edictos de Ashoka
Entre las inscripciones aparecían excepcionalmente y de manera limitada
algunos signos numéricos cuyo origen ha sido objeto de amplias discusiones.
La lengua karosthi es una variante del arameo escrito por los persas tanto
por sus coincidencias en caracteres formales y semánticos como por el hecho
de que se escribe, al igual que la primera, de derecha a izquierda. Sin
embargo, su presencia no parece haber llegado nunca más allá de Ghandara y
el Punjab, es decir, el noroeste de la India, la zona más cercana a la
satrapía persa allí existente.
La similitud entre los caracteres numéricos en brahmi y karosthi,
prácticamente coincidentes, dio en pensar en que podrían derivar en parte
del karosthi, sobre todo en aquellas cifras como el seis, cuyo trazado
parece arbitrario (no así en el caso de las tres primeras cifras que se
corresponden con otros tantos trazados verticales). En esa línea se
interpretaba el signo como una posible abreviatura de la palabra numérica
que describiese la cantidad. Sin embargo, se ha hecho evidente con el tiempo
que el brahmi no sólo estaba más extendido por todo el valle indogangético
sino que era anterior al karosthi. De hecho, el brahmi (que en el hinduismo
denomina a una de las madres del mundo) será la lengua de la que deriven
todas las demás con el tiempo. Además había diferencias esenciales en
caracteres entre ambos idiomas así como en el sentido de su escritura, de
izquierda a derecha en el brahmi. De manera que la relación entre ambos
idiomas aún no está establecida y, en todo caso, la escritura numérica en
brahmi, queda en un origen que solo se puede hipotetizar.
El brahmi, con ligeras modificaciones regionales, se encuentra al sur del
Ganges durante el dominio de la dinastía Shunga (185 a 75 a.C.) o cuando
predomina la Kanva (73 a 30 a.C.) en la misma región, posteriormente en el
caso de los Kushana. Su presencia será característica del sánscrito indio
aproximadamente hasta el siglo III d.C.
Cifras shunga
Cifras kushana
A lo largo de ese tiempo los signos numéricos fueron evolucionando, tanto
por peculiaridades regionales que acababan imponiéndose, como por las
condiciones del material que se empleaba para las inscripciones. Tal como
sucedió en Egipto, la piedra exigía trazos fuertes, rectilíneos. Cuando el
elemento utilizado no era el cálamo, más rígido, sino el pincel como
entonces, los trazos se fueron haciendo más cursivos y paulatinamente unidos
entre sí. De esa forma, por ejemplo, tres trazos rectilíneos verticales
terminaron dando paso a tres horizontales que se unían entre sí para
conformar un signo muy parecido a nuestro 3. La razón del cambio de
orientación de vertical a horizontal fue motivado, probablemente, por la
coincidencia con unos trazos verticales que, en las composiciones poéticas
en sánscrito, dividen estrofas y frases, sea con un trazo o con dos. Una vez
los tres trazos en horizontal la tendencia a no separar el pincel de la
superficie de escritura fue motivando que la terminación de uno de los
trazos coincidiera con el comienzo de otro. Esto, que en el caso del dos o
del tres es bastante evidente, se vuelven razones menos claras para otros
signos numéricos.
Esta unión, sin embargo, no se había efectuado aún en el tiempo de los Gupta,
dinastía reinante entre el siglo III y comienzos del VI d.C. que, no
obstante, presenta unos rasgos muy elaborados en ocasiones, tal vez producto
de la imaginación de los escribas indios, tendentes a adornar en la corte
gupta las letras y signos de su escritura.
Cifras gupta
Cifras pallava
Mientras la notación brahmi, a través de sus escrituras intermedias (shunga,
kushana, etc.) se transformaba en la gupta, con presencia en el norte de la
India, otras derivaciones acompañaban a la derivación pallava (siglos IV a
VI d.C.), con presencia en el sur del subcontinente. Desde esa zona los
comerciantes indios llevaron su actividad y sus cifras por todo el sudeste
asiático dando lugar a todo tipo de adaptaciones locales (cifras sinhala o
cingalesas, birmanas, balinesas, javanesas, etc.).
Pues bien, en torno al siglo VII d.C. las cifras gupta se unificaron
paulatinamente en todo el territorio que un siglo después ocuparía el pueblo
musulmán.
Cifras gupta Cifras nagari
Las que encontraron fueron las llamadas cifras nagari, la forma más evolucionada y definitiva que la cultura india supo elaborar en cuanto a cifras escritas. Estas cifras, junto al sistema posicional de numeración decimal y los algoritmos de las distintas operaciones aritméticas, fueron un tesoro cultural que afortunadamente los musulmanes valoraron y adaptaron a su cultura para ejercer de transmisores posteriormente de cara al mundo cristiano occidental.
Operaciones aritméticas
Existe muy escasa constancia escrita de los métodos utilizados por los
indios en la Antigüedad para realizar las operaciones aritméticas. Sí se
tiene constancia de que en los Vedas, particularmente en el Rigveda, los
números orales ya muestran las nociones de suma, resta y multiplicación,
sobre todo.
Así, por ejemplo, nava ca navatih representa “nueve junto a noventa” o
noventa y nueve, donde ca aparece como una partícula que indica unión,
adición, suma entre cantidades. Pero del mismo modo se emplea otra, como en
nava sakam navatih con el mismo significado pero con aplicación distinta
según la naturaleza poética del discurso.
Los Vedas son cánticos religiosos, composición poéticas espirituales y no
tratados de aritmética. Por ello no hay ningún tratamiento sistemático de
las operaciones a realizar y las pistas sobre el tratamiento verbal de las
mismas es muy escaso. La noción de resta está implícita aunque nunca con un
término específico. No obstante, un importante estudioso (Pandit) ha dado a
conocer la utilización eventual del término avama traducible como “inferior
a” o “menos que” en un contexto numérico, aunque solo ocasionalmente. Lo que
sí es cierto es que, del mismo modo que la suma está implícita en la misma
forma de contar los números, sobre todo a partir del diez:
Eka dasan 11 = 1 + 10
Dva dasan 12 = 2 + 10
.........................................
Navan dasan 19 = 9 + 10
resulta que caben otras denominación, particularmente para el 19, como
Eka na vimsati 19 = 20 - 1
donde veinte (vimsati) es sustraída (na) con una unidad (eka). Estas
expresiones, aunque sean ocasionales, muestran que la noción de sustracción
está presente, aunque sea en la descomposición de los números.
El mismo objetivo de expresar una cantidad por medio de otras más sencillas
es lo que lleva en el Rigveda a expresar veintiuno (eka vimasati) como
trih
sapta (tres veces siete). Generalmente, el efecto multiplicativo se consigue
añadiendo a la palabra numérica habitual un sufijo: en el caso del tres (tri)
es la terminación -h, pero también pueden ser -s, -vrt las terminaciones o
añadir la partícula krtvah. De esta forma panca krtvah significaría “cinco
veces”, astau krtvah por “ocho veces más”.
Sin embargo, estas palabras lo que establecen es que había un sentido
operativo en la misma formación de los números desde los tiempos védicos,
pero no permite conocer la forma en que los indios operaban cantidades
elevadas, ni siquiera cuando el sistema de numeración escrito ya estaba
establecido, a partir del siglo V d.C. como mínimo.
Se sabe que los musulmanes, al invadir la India en el siglo VIII,
encontraron un sistema numérico muy consolidado a través de las cifras
nagari. Del mismo modo, se puede rastrear la presencia de algoritmos (como
el de cajas o celosía) inspirados en procedimientos similares encontrados en
la India. Así pues, la cultura india, científicamente bastante desarrollada,
sobre todo en cuestiones astronómicas (Aryabhata, Baskhara, Bramagupta, como
pilares de las mismas), debía contar con algoritmos cotidianos para realizar
las operaciones aritméticas. Sin embargo, el material habitual para
llevarlas a cabo (cajas de arena al parecer) no han dejado constancia
escrita de su naturaleza y práctica, de manera que sólo se pueden hacer
hipótesis.
Una de las más interesantes a ese respecto, aunque bastante problemática,
proviene de la obra de Barathi Krsna Tirthaji, también conocido entre sus
discípulos como Gurudeva. Líder espiritual hindú nacido en 1884 llevó a cabo
una labor de naturaleza religiosa, claro está, pero también en el terreno
matemático. La fuente de su conocimiento sobre los Vedas y en concreto su
estudio del Atharvaveda dejan en suspenso la naturaleza racional del mismo.
En concreto, uno de sus discípulos, que resume y recopila sus fórmulas
matemáticas, afirma:
“Obviamente estas fórmulas no se encuentran en las actuales recensiones del
Atharvaveda; son realmente reconstruidas sobre la base de la revelación
intuitiva, a partir de materiales dispersos aquí y allá en el Atharvaveda”.
Así pues, no es un conocimiento con base científica sino una hipótesis
elaborada por Gurudeva, pese a lo cual, ha tenido un amplio reconocimiento
por su naturaleza algorítmica especialmente sencilla. En base a este hecho
exclusivamente es por lo que lo traemos a estas páginas y no por representar
una interpretación ajustada a los Vedas desde un punto de vista histórico
riguroso.
Multiplicación
En una de las contadas referencias que Gurudeva da sobre textos del
Atharvaveda menciona la frase que afirma “todo desde el 9 y el último desde
el 10", así como “respecto de la extensión de la deficiencia, disminuir en
la misma extensión”, en apoyo de su “multiplicación nikhilam”, una operación
caracterizada por colocar en vertical los dos factores disponiendo a la
derecha sus “deficiencias desde el 10", es decir, sus diferencias por
defecto (signo negativo) o por exceso (signo positivo) respecto a diez o la
potencia de diez más cercana.
A continuación el resultado de la multiplicación se obtiene debajo. En la
cifra de las unidades se coloca la multiplicación de las deficiencias (que
eventualmente puede presentar decenas que se llevan) mientras que las cifras
de las decenas se obtiene operando los factores con las diferencias pero de
forma cruzada: restando si esta última aparece con signo negativo o sumando
en caso contrario. Veamos algunos ejemplos donde se podrá comprobar cierta
falta de generalidad en el procedimiento, adaptado siempre al tipo de
números de que se trata.
Se desea realizar la multiplicación 9 x 7 = 63
Las diferencias entre cada factor y la deficiencia del otro es siempre la
misma, como puede observarse.
En el caso de las llevadas, si se quiere realizar 7 x 6 = 42
Si los dos números exceden de diez, se plantea un caso como 12 x 14 = 168:
pero si uno de los números excede a diez y otro no, la regla cambia de
manera que la cifra de las unidades ha de restarse del conjunto de decenas
obtenido, como en 12 x 8 = 96:
de forma que 100 - 4 = 96 da la solución.
La multiplicación nikhilam funciona igual con números cercanos a cien
aunque, si están alejados de dicha cantidad, el algoritmo se puede realizar
pero resulta más complejo operativamente. Un caso sencillo sería
97 x 98 = 9506
o bien
87 x 84 = 7308:
Al objeto de superar las especificidades de este modelo de multiplicación,
Gurudeva plantea otro, más probablemente cercano al que es posible realizar
sobre una caja de arena, donde las cantidades se borran. Sin embargo, uno de
los formatos es extraño al formato en que habitualmente vemos dispuesta la
multiplicación de dos factores. Veamos el que se ajusta más a lo conocido.
Deseamos realizar la multiplicación
534 x 463.
La aplicación de la propiedad distributiva debe garantizar la multiplicación
de todas las unidades de cada factor por todas las del otro. Ello se
consigue con una disposición sistemática de cruces que se señalan con líneas
que unen dichas unidades. Las unidades de orden superior que se “llevan” a
su unidad correspondiente se escriben debajo del segundo factor, no en la
parte superior del primero, como es habitual en la enseñanza de estos
algoritmos. Por lo demás, el procedimiento será claramente reconocible y
similar al nuestro occidental:
5 3 4
I
4 6 3 3 x 4 = 12
1
-------------
2
5 3 4
X
4 6 3 3 x 3 + 4 x 6 = 33
3 1 3 3 + 1 = 34
-------------
4 2
5 x 3 + 3 x 6 + 4 x 4 = 49
49 + 3 = 52
5 3 4
X
4 6 3 5 x 6 + 3 x 4 = 42
4 5 3 1 42 + 5 = 47
-----------------
7 2 4 2
5 3 4
I
4 6 3
4 5 3 1
-----------------
2 4 7 2 4 2
de donde 534 x 463 = 247.242
Este algoritmo, conocido como “multiplicación Urdhva Tiryaka” conoce una
variación que, en vez de sostenerse sobre el trazado de lineas y cruces que
recuerden los productos parciales realizados, sustituye esto por la variable
disposición de uno de los factores que “se desliza” tras cada producto
parcial un lugar a la izquierda. Para que los cruces empiecen por las
unidades inferiores y siga hacia las superiores, el algoritmo implica el
cambiar el sentido del factor que se desliza. Así, por ejemplo, si deseamos
hacer la multiplicación anterior con este nuevo formato se dispondrán los
factores 534 y 364 donde el último, en orden inverso, es el que se deslizará
bajo el otro alineando los productos parciales a realizar.
5 3 4
3 6 4 3 x 4 = 12
1
------------------------
2
5 3 4
3 6 4 4 x 6 + 3 x 3 = 33
3 1 3 3 + 1 = 34
------------------------
4 2
5 3 4
3 6 4 4 x 4 + 3 x 6 + 5 x 3 = 49
5 3 1 49 + 3 = 52
------------------------
2 4 2
5 3 4
3 6 4 3 x 4 + 5 x 6 = 42
4 5 3 1 42 + 5 = 47
------------------------
7 2 4 2
5 3 4
3 6 4 5 x 4 = 20
4 5 3 1 20 + 4 = 24
------------------------
2 4 7 2 4 2
División
Hay una forma de división limitada que Gurudeva denomina también “división
nikhilam”. Comienza por mostrar la forma de dividir entre 9. Cuando el
dividendo es de dos cifras, el cociente viene dado por la misma cifra de las
decenas del dividendo mientras que el resto es igual a la suma de la cifra
de las unidades en el dividendo más la propia cifra de las decenas del
dividendo:
9) 5 2 9) 6 1
5 6
--------- --------
5 7 6 7
En caso de que el dividendo tenga más cifras en la parte inferior se coloca
la suma sucesiva de las cifras del mismo:
9) 1 1 3
1 2
-------------
1 2 5
9) 1 2 3 0 1 9) 1 2 0 0 2 1 2
1 3 6 6 1 3 3 3 5 6
------------------------- -----------------------------------
1 3 6 6 7 1 3 3 3 5 6 8
Esta división se limita a construir reglas para la división entre 9. Cuando
se desea ampliar a otros divisores de una cifra la salvedad es que la suma
de las cifras que se sitúa debajo para obtener el resto ha de multiplicarse
por 2 (en el caso del 8), por 3 (en el caso del 7) y así sucesivamente. La
salvedad es que, cuando el resto así obtenido excede al divisor, habría que
proceder a una nueva división.
8) 3 0 8) 2 3
6 4
-------- --------
3 6 2 7
7) 2 6 7) 3 5
6 9
--------- ---------
3 5 5 0
6) 1 9 6) 2 5
4 8
-------- ---------
3 1 4 1
Si el divisor es de dos cifras, el procedimiento es muy semejante pero
referido a la centena como potencia de diez más cercana:
94) 1 / 2 6 85) 3 / 1 2
6 4 5
-------------- ---------------
1 3 2 3 5 7
Para generalizar el procedimiento de división se tiene que abordar un
algoritmo más cercano al occidental que, a fin de cuentas, es derivado
históricamente de aquellos de origen indio. En efecto, la división adopta en
el procedimiento “urdhva tiryaka” una disposición semejante a la ya vista.
Sin embargo, la división se realiza empezando por las cifras superiores del
dividendo y dividiéndolas por la cifra superior del divisor. Colocado el
resto y cociente de dicha división bajo el dividendo se forma la siguiente
división uniendo el resto obtenido con la siguiente cifra del dividendo,
teniendo en cuenta que a esa cantidad hay que restarle el producto de la
segunda cifra del divisor por el cociente, para compensar su presencia. A
partir de ahí el procedimiento se repite tantas veces como sea necesario.
Así, procedamos a la división de 54.371 entre 83 que, finalmente, llegará a
dar 655 de cociente y 6 de resto.
8 3 ) 5 4 3 7 1
/ 54 = 8 x 6 + 6
6 Restos
------------------------
6 Cociente
63 - 3 x 6 = 45
8 3 ) 5 4 3 7 1
/ 45 = 8 x 5 + 5
6 5 Restos
------------------------
6 5 Cociente
57 - 3 x 5 = 42
8 3 ) 5 4 3 7 1
/ 42 = 8 x 5 + 2
6 5 2 (6) Restos
------------------------
6 5 5 Cociente
21 - 3 x 5 = 6
Veamos el resultado de dividir 38.471 entre 62:
6 2 ) 3 8 4 7 1
/
2 38 = 6 x 6 + 2
-------------------------
6
24 - 2 x 6 = 12
6 2 ) 3 8 4 7 1
/
2 0 12 = 6 x 2 + 0
-------------------------
6 2
7 - 2 x 2 = 3
6 2 ) 3 8 4 7 1
/
2 0 3 12 = 6 x 2 + 0
-------------------------
6 2 0
31 - 2 x 0 = 31
6 2 ) 3 8 4 7 1
2 0 (3 1) 31 = 6 x 5 + 1
-------------------------
6 2 0
El infinito entre los jainas
Una de las aportaciones más destacadas de la matemática jaina es la noción
de infinito y el modo en que es concebida en un tiempo tan antiguo. Dicha
especulación, de naturaleza moral, metafísica y espiritual, no podemos
sostener que esté alejada de la vida cotidiana del creyente jaina dado que
la salvación mediante la consecución del nirvana es el objetivo que da
sentido a la vida entera. Por otra parte, esta liberación final está
estrechamente relacionada con la noción de tiempo y cosmos en el que se
inscribe las creencias hindúes y jainas.
Encontramos el concepto de infinito y la primera de las exhaustivas
clasificaciones del mismo en la misma noción de tiempo. Para la cosmología
jaina no hay principio ni final en el tiempo al existir una constante
repetición de distintos ciclos cósmicos que no han sido creados ni acabarán.
El tiempo se representa por una rueda de seis radios o eras que lo hacen
girar hacia delante mientras que seis más hacen el giro en sentido
contrario. Si el tiempo asciende en el ciclo el conocimiento e incluso el
tamaño de los hombres crece para disminuir cuando el tiempo desciende. Desde
un ciclo ascendente se pasa así al descendente sin discontinuidades y
también en sentido contrario.
El primer período descendente es la “edad extremadamente maravillosa” donde
empezamos a encontrar grandes cantidades ya que se dice dura 400 billones de
océanos de años. Hay que tener en cuenta que un océano de años equivale a
cien millones de veces cien millones de palyopamas, término que a su vez
designa un período de incontables años. El palyopama es en realidad una
aproximación a la noción de infinito, considerando que ya se presenta el
hecho de que haya otros infinitos superiores, como el océano de años.
El segundo período descendente es la “edad maravillosa”, que ya ocupa 300
billones de océanos de años, mientras que el tercero, la “edad tristemente
maravillosa”, el cuarto, la “edad maravillosamente triste”, cada una de 100
billones océanos de años, dan lugar a nuestro tiempo, el quinto período o la
“edad triste” que durará 21.000 años, justo el tiempo de supervivencia de la
sabiduría jainista.
La enormes dimensiones temporales ya nos alertan sobre el hecho de que la
noción de tiempo y su infinitud no hay que tomarla en un sentido científico
temporal, sino de forma alegórica. La dificultad de comprender el mundo
espiritual indio para un occidental educado en un enfoque científico del
mundo en que vive, es muy notable.
Este hecho se agudiza al considerar la concepción del mundo entre los jainas.
No pretende ofrecer una visión científica basada en postulados sobre la
relación espacio-tiempo al modo occidental. Para el filósofo jaina la
“realidad” no se basa en estas relaciones sino en cuestiones morales, éticas
y metafísicas que permiten dar un significado del mismo tipo a la vida
humana. Como afirma uno de los principales estudiosos españoles del
jainismo, Salvador Pániker:
“Los tecnicismos matemáticos de la cosmografía india, ... no pretenden
describir científicamente el universo, sino que miran de describirlo
cosmológicamente. Es decir, no tratan de descubrir las leyes abstractas de
la estructura del universo, sino de proveer de un marco, un contexto en el
que la vida y el camino espiritual de las personas puedan insertarse. El
jainismo habla siempre de un universo moral en el que se establecen
simetrías con la progresión espiritual...
No es la descripción física lo que importa; es el destino del ser humano y
los demás seres. Se trata siempre de ofrecer un croquis general del cosmos y
su inmensidad, dentro del cual las mónadas vitales transmigran de una
situación corporeizada a otra. Es decir, el mundo o loka es el escenario,
casi infinito en su tamaño, donde tiene lugar el continuo flujo de
renacimientos en los infinitos ciclos cósmicos. Los seres, en su devenir, lo
afectan y cualifican constantemente. La ética -vía la doctrina del karma- es
parte integral de la física y la metafísica”.
Desde este punto de vista es necesario abordar los datos matemáticos y las
consideraciones jainas que aparecen en sus principales escritos. Así, el
cosmos (loka) es una realidad y tiene una sustancia cósmica por naturaleza,
ordenada en cuatro mundos: el mundo inferior (formado por siete niveles
donde habitan seres demoníacos), el mundo intermedio (donde vive el hombre,
en forma de disco visto de cara), el mundo superior, en la cima del mítico
monte Meru, más allá de las estrellas (compuesto por doce niveles habitados
por divinidades) y el mundo de los perfectos, donde acceden las almas
perfectas.
Para describir este cosmos así entendido se utilizan unidades como el yojana,
entre diez y quince kilómetros, y la cuerda o rajju, la distancia que
recorre una divinidad durante un vuelo de seis meses a una velocidad
superior a dos millones de yojanas por segundo. Lo más parecido dentro de
nuestras nociones occidentales podría ser el año-luz. Pues bien, este cosmos
tendría 14 rajjus de altura y un volumen de 343 rajjus cúbicos.
Sin embargo, nuestro mayor interés sería la descripción que realiza el
jainismo del mundo intermedio que habitamos. En torno al monte Meru que
llega hasta el mundo superior en su cúspide se extienden anillos de tierra
separados por océanos formando una especie de islas. La primera de ellas, la
ocupada por el hombre, es la Isla del Manzano Rosa (Jambudvipa) que toma su
nombre de un manzano de piedra gigantesco que se levanta cerca de la cima
del monte. La isla está delimitada por el océano Salado y aparece dividida
en siete partes por cordilleras. El diámetro de esta isla Jambu es de
100.000 yojanas, lo que da lugar al estudio detallado del círculo y la
circunferencia de esta isla, tal como se ha visto en la sección dedicada a
geometría jaina.
Desde esta perspectiva se comprenderá mejor el tratamiento numérico del
infinito, el sentido que daban los jainistas al mismo y el por qué de su
planteamiento para describir todo este cosmos en distintas clases, a su vez
cada una en diferentes niveles, tal como sucedía con el tiempo infinito e
increado en el que el hombre busca su liberación mediante el nirvana. A ello
hay que unir la existencia de infinitas vidas que transmigran de una
corporeidad a otra hasta dicha salvación, vidas que habitan tanto a los
hombres como a los animales y plantas. De ahí el respeto riguroso del
creyente jaina a la vida animal y vegetal, además de a la humana, su
completo seguimiento de la doctrina no violenta, su renuncia a practicar
oficios que impliquen transgredir esta norma (la agricultura por ejemplo,
supone acabar con la vida de muchos organismos) así como sus costumbres,
sorprendentes para el occidental (tapar su boca con un velo para que al
respirar no se acabe con los microorganismos del aire).
Pues bien, dentro de su afán clasificatorio, el filósofo jaina concibe los
números habituales denominándolos numerables (samkhyata) y dividiéndolos en
tres niveles: mínimos, intermedios y máximos. Esto permite llegar a un
número máximo numerable N, el llamado en la matemática occidental primer
número transfinito, construido por George Cantor a finales del siglo XIX.
A partir de él, mediante operaciones con dicho número, se alcanza la
categoría de números innumerables (asamkhyata), que se dividen en casi
innumerables, verdaderamente innumerables e innumerablemente innumerables.
Así, distintas operaciones con ese número N permiten definirlos de una forma
que se asemejaría a los cálculos:
N + 1, N + 2, ...., (N + 1)2 - 1
(N + 1)2, (N + 2)2, ..., (N + 1)4 - 1
(N + 1)4, (N + 2)4, ..., (N + 1)8 - 1
y sucesivamente.
Pero después de los números innumerables aún existen los infinitos (ananta),
divididos en casi infinitos, verdaderamente infinitos e infinitamente
infinitos. Este ananta que está presente frecuentemente en la literatura
jaina es descrito en ella como: “Aquel número que no se agota por la
sustracción continua por un tiempo sin fin”.
Con este bagaje el filósofo jaina era capaz de describir de esta manera la
distinta infinitud que mostraba el mundo espiritual y moral en el que el
hombre discurría su existencia. Su acercamiento corresponde a un enfoque
distinto del occidental que tardó en alumbrar conceptos semejantes más de un
milenio con una utilidad matemática muy diferente de la que los mismos
conceptos tenían para los jainas.
El manuscrito Bakshali
Hace unos 120 años se descubrió junto al pueblo de Bakhshali, en el noroeste
de la India, un manuscrito enterrado compuesto por siete decenas de hojas
hechas con corteza de abedul. A pesar de su deterioro (toda la parte inicial
aparece perdida) ha mostrado un compendio de problemas que la mayoría de los
investigadores acuerda situar en la era gupta, aunque alguno ha llegado a
postular su pertenencia al siglo XII. En todo caso, el manuscrito parece
resumir y comentar reglas anteriores para resolver problemas, lo que haría
que sus métodos de resolución fueran más antiguos. Aunque trata de
aritmética y álgebra no tiene una unidad específica y parece más un manual
de resolución de problemas de la vida cotidiana.
Esto es digno de reseñar porque en todo el manuscrito no se observa
referencia alguna a motivos religiosos que pudieran estar en la base del
planteamiento de problemas, sino a otros de naturaleza económica, como en
De una cantidad desconocida de lapislázuli se pierden un tercio, un cuarto y
un quinto [sucesivamente]; la pérdida [total] de la cantidad, acumulada en
tres plazos, es de 27. Díme, hombre sabio, cuál es el total y también cuál
será la diferencia [entre el total y la pérdida, o sea, el resto].
Solución: Habiendo sustraído las series de uno, tenemos 2/3 , 3/4 , 4/5 que
si se multiplican dan 2/5 ; sustrayendo esto de uno da 3/5 , la pérdida es
dividida por esta cantidad; la pérdida es 27; dividiendo esto por aquello da
45; quitando de esto la pérdida de 27, la diferencia es 18.
El procedimiento seguido parte de tener una cantidad desconocida que podemos
expresar como x, realizándose a continuación tres sustracciones sucesivas:
x - 1/3 x = 2/3 x queda
2/3 x - 1/4 . 2/3 x = 3/4 . 2/3 x queda
3/4 . 2/3 x - 1/5 . 3/4 . 2/3 x = 4/4 .
3/4 . 2/3 x = 2/5 x queda
de modo que si al final queda los dos quintos de la cantidad inicial es que
se han perdido
(1 - 2/5) x = 3/5 x =
27 → x
= 45
es la cantidad inicial a partir de la que puede obtenerse la diferencia de
18.
Sin embargo, otros problemas parecen reflejar un deseo especulativo respecto
de los números, como en
Un cierto rey distribuye 57 dinares entre cinco sabios. Da una cierta
cantidad al primero y, a continuación, cada vez va doblando el dinero que ha
dado al sabio anterior. Al ver que todavía tiene algún dinero sobrante, le
da al primero lo que le había dado a los cuatro primeros antes, al segundo
lo que les había dado a los tres primeros, al tercero lo que había dado a
los dos primeros y al cuarto lo que había dado al primero. El quinto sabio
no recibe dinero en esta ronda, puesto que ya no le queda dinero al rey.
Hallar cuánto dinero recibe cada uno de los cinco sabios.
Este problema resulta de una gran sencillez algebraica si partimos de que al
primer sabio le da una cantidad de x dinares. En ese caso recibirán
Sabio 1) x + 15 x = 16 x
Sabio 2) 2 x + 7 x = 9 x
Sabio 3) 4 x + 3 x = 7 x
Sabio 4) 8 x + x = 9 x
Sabio 5) 16 x = 16 x
de modo que en total habrían recibido 57 x dinares, dato que nos indica que
x = 1 dinar y que las cantidades recibidas finalmente son de 16, 9, 7, 9 y
16 dinares, respectivamente.
Otros problemas se refieren a la vida cotidiana, como se refleja en el
siguiente de proporcionalidad donde se halla la respuesta por reducción a la
unidad:
Un maestro gana un sueldo de cinco en tres días; otro gana seis en cinco
días. El primero le da siete al segundo de su sueldo. Díme en qué momento,
después de habérselo dado, sus posesiones serán iguales.
Solución: La diferencia de los sueldos diarios; las dos fracciones, su
diferencia. Los sueldos diarios son 5/3 y 6/5, su diferencia es 7/15, su
obsequio es 7; dividido por la diferencia de los sueldos diarios el
resultado es 15; siendo doblado es 30, ése es el tiempo en que sus
posesiones son iguales.
En efecto, reduciendo los datos a las monedas cobradas en un día, el primer
maestro ganará 5/3 de monedas y el segundo 6/5 de monedas diarias. Dado que
hay una donación de siete monedas de uno a otro, el problema se resolvería
con el siguiente cálculo:
5/3 x - 7 = 6/5 x + 7
→ (5/3 - 6/5) x =
14 → 7/15 x = 14
→ x = 30 días
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