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Las tablillas contables servían para registrar cantidades diversas del mismo producto o de productos diferentes. Al corresponder a entradas distintas por el proveedor, el aZo de recogida o cualquier otra circunstancia, resulta adecuado registrar también el total de la cantidad registrada. Eso se hacía habitualmente en el reverso de la tablilla. En el ejemplo abajo mostrado se observa una tablilla que registra jarras de cerveza, tanto en su anverso, a la izquierda, como en su reverso, a la derecha.

Es un caso especialmente simple de suma por cuanto lo único que se hace en el reverso es presentar las siete jarras agrupadas. De este modo, la suma consiste exclusivamente en repetir cada uno de los elementos contables. Desde el punto de vista aritmético, las cantidades a sumar pueden rebasar la simple enumeración de sus elementos, al contrario de lo que sucedía en el caso anterior. Es entonces cuando ha de aplicarse el sistema de numeración vigente para reunir en un solo resultado la acción aritmética emprendida.

El ejemplo que se expone a continuación muestra un caso donde las cantidades de cebada son tan crecidas que rebasan al ser sumadas la base sesenta de numeración, lo que obliga a realizar una suma en el sistema SE en el que están escritas las cantidades.

En el anverso de la tablilla aparecen dos columnas. En la de la izquierda, sobre el signo de distintos oficiales receptores de dichos suministros, aparecen cantidades variables de cebada escritas mediante los signos arcaicos adecuados. En la columna derecha del anverso se encuentran diversos signos que denotan el tipo de registro contable (distribución de la cebada entre los oficiales citados) y el título o nombre del responsable del reparto (Ni-sa).

En el reverso se muestra la cantidad total de cebada repartida (con el signo del producto) entre los nombres o títulos de los dos responsables (Ni-sa en la parte inferior y Ku-sim en la superior).

Las tablillas que se han visto muestran una operación de sumar que parece unívoca. En ella, se reúnen dos o más cantidades preexistentes (jarras de cerveza, grano de cebada) para alcanzar el total. Es por ello que llama la atención el hecho de que, tanto en el original sumerio como en el acadio posterior, la acción de sumar presente dos verbos distintos. Así, se conoce con la expresión "gar" en sumerio ("kamaru" en acadio) pero también con "dah" en sumerio ("wasabu" la correspondiente en acadio), lo que indica que se considera la adición como dos acciones diferentes. Por un lado y siguiendo una terminología actual, se tendría una combinación de cantidades simultáneas, tal como se ha visto hasta ahora, y por otro lado la suma también registraría el caso de un cambio temporal efectuado en una cantidad inicial. Así, por ejemplo, sería el caso de disponer de un rebaño de un número determinado de animales a los que habría que sumar en años sucesivos todos los terneros nacidos. Esta acción de sumar cantidades sucesivas a una inicial es lo que corresponde a la segunda expresión de la acción de sumar.

Esta diferenciación no ocurre en el caso de la resta. Para esta acción sólo hay un término ("zig" en sumerio, "nasahu" en acadio) donde se entiende que las cantidades no son simultáneas, sino que a una cantidad inicial se le quita otra posterior. El contexto contable en el que surgen casos de resta suelen ser el de la comparación entre las previsiones y lo sucedido en la realidad.

Tanto para el calculo de superficies de campos como el de volúmenes de tierra a extraer en la construcción de un canal, el de ladrillos a emplear en el levantamiento de un muro, por ejemplo, la multiplicación resulta una operación esencial. A ello habrá que unir las conversiones de unas unidades en otras, muchas veces resolubles mediante la multiplicación por un coeficiente.

Se ha especulado sobre la forma instrumental que adoptaban las multiplicaciones en la civilización mesopotámica. Kurt Vogel, por ejemplo, abogó por la existencia de algún tipo de ábaco con el que realizar los productos parciales. Ello no se puede descartar, si bien es muy difícil plantear una hipótesis fundada sobre la forma que adoptaría dicho ábaco y el modo de utilización, dado que no han quedado restos arqueológicos que orienten esta especulación. Sin embargo, es indudable que alguna ayuda debían tener para retener los resultados parciales de multiplicaciones tan complejas como llegaron a hacer.

Se han encontrado tablillas donde se alinean tablas de multiplicación de un número cualquiera por otros números distintos, preferentemente del 2 al 12, 20, 30, 40 y 60. Así, una tablilla (más abajo) muestra estos resultados cuando se trata del número 18:

Si memorizaban estos resultados podían reconstruir cualquier otra multiplicación por este número, como se puede observar en los siguientes ejemplos:

18 x 1.45 = (18 x 1.00) + (18 x 40) + (18 x 5) = 18.00 + 12.00 + 1.30 = 31.30

Los dos ejercicios preferentes resultan ser, además de estas tablas de multiplicar, los ejercicios sobre la utilización del cuadrado de los números. En alguna de las tablillas a este respecto se adivina el objetivo de conocer y practicar ciertas regularidades numéricas sin aplicación inmediata. Tal es el caso del cálculo planteado de

que actualmente podemos notar como evidente dado que 0;15 = 1/16 y por tanto,

Este interés por el cálculo del cuadrado de un número puede responder a una de las aplicaciones importantes de la multiplicación, la determinación de la superficie de un campo cuadrado. Un indicio de este hecho reside en la forma verbal que adopta la multiplicación entre los sumerios y acadios, nuevamente de dos formas distintas indicando conceptos diferentes.

La forma más usual sería la que podría traducirse, en el caso de 2 x 2, como "llevar dos a dos" que se asociaría al concepto de multiplicación como adición repetida. Sin embargo, esta operación conoce otra concepción de naturaleza combinatoria: 2 x 2 se interpretaría así como el número de casillas cuadradas de lado unidad que puede obtenerse de un cuadrado de lado dos.

Así, el segundo término verbal que describe la multiplicación se podría traducir como "completar el perímetro" en sumerio o, en acadio, "poner cada lado frente a otro" que supone una interpretación eminentemente geométrica de esta operación.

Las transacciones y contabilidades comerciales se realizaban pesando los productos objeto de comercio (lana, cereal, estaño, etc.) y tasando su valor en la plata correspondiente, que actuaba a modo de moneda no acuñada. La plata, mineral valioso y escaso en la tierra mesopotámica, provenía del Elam y también de la península de Anatolia, siendo objeto preferente de compra por parte de los comerciantes asirios. Actuaba en la triple función bajo la cual se constituye la moneda: Como unidad de cuenta, siendo el patrón de la contabilidad desde Ur III al menos; como medio de intercambio, dado que podía incluirse como parte de la transacción comercial; y también como medio de pago, tal como se deduce de numerosos documentos de venta y préstamos.

Así pues, antes de abordar el modo en que se realizaban estas transacciones, es necesario determinar cuáles eran las unidades esenciales de peso en esta época. Había cuatro unidades de peso desde finales del cuarto milenio, tal como se deduce de los textos arcaicos encontrados en Uruk:

1) El talento (gu en sumerio), correspondiendo a unos 30 kgs.
2) La mina (ma-na) presentando una relación de 60 minas por cada talento y que correspondería actualmente a medio kilo, aproximadamente.
3) El siclo (gin), presentando también la misma relación por la cual habría 60 siclos por cada mina, es decir, 8,33 gramos.
4) El grano de cebada (se), de forma que habría 180 granos por cada siclo.

Como se ha comentado, los balances comerciales se hacían reduciendo el valor de los productos al correspondiente en plata. Un documento de la antigua Asiria, cuando los comerciantes circulaban entre Assur y Kanish estableciendo intercambios en productos de un lugar a otro, hace un balance de una serie de operaciones efectuadas al objeto de que el propietario quede informado:

A partir de esta cantidad disponible se registran los gastos efectuados (sólo se expone una parte de ellos) reduciéndolos a su valor en siclos de plata:

Como se puede apreciar, se aplica sistemáticamente una equivalencia del valor de los productos al de la plata correspondiente en siclos. Los precios, en todo caso, fluctúan según los documentos registrados. Así, se puede deducir del primer gasto que cada tela tiene un valor muy cercano a los 4 siclos de plata. Naturalmente, las telas pueden variar de naturaleza, longitud y demás características. Un ejemplo similar afirma:

25 telas de 7 1/4 siclos (de plata por) pieza, su precio: 3 minas 1 1/4 siclos (de plata).

25 x 7 1/4 = (25 x 7) + (25 x 1/4) = 175 + 6 1/4 = 181 1/4 siclos = 3 minas 1 1/4 siclos

Más adelante se examinará la forma de realizar 25 x 1/4 que equivale a una división de 25 entre 4. En todo caso, las operaciones de multiplicación con fracciones se hacen así frecuentes. Cualquier conversión entre unidades de peso implicaba una multiplicación, a veces repetida, por 60. Así, por ejemplo, en el segundo gasto se determina que

lo que implica la realización de la siguiente multiplicación incluyendo el tratamiento de la fracción 5/6:
13 5/6 x 60 = (13 x 60) + (5/6 x 60) = 780 + 50 = 830 siclos de plata

Había técnicas de aproximación, cuando se trabajaba con fracciones, que no siempre eran aconsejables y el escriba debía disponer de alguna alternativa para realizar un cálculo exacto sin necesidad de operar fracciones. La forma de hacerlo era de la ampliar los números naturales a expresiones correspondientes a subunidades sexagesimales. Así, una cantidad como

podría escribirse, tomando a los siclos como unidad, 3.24.18 en sexagesimal, pero si se tomara a los talentos como unidades, se escribiría 3;24.18 con la particularidad de que estas expresiones, al igual que las decimales en la actualidad, son susceptibles de operarse del modo habitual. Se encuentran así tablas desde la misma invención de la escritura sexagesimal que servían de ayuda a los escribas en estas transformaciones de unas expresiones en otras. Por ejemplo, la siguiente tablilla considera como unidad el siclo (gin) refiriendo a ella en forma sexagesimal distintas fracciones de la misma:

                                                    1/6 gin y 10 se = 0;13.20
                                                     1/4 gin              = 0;15
                                                     1/4 gin y 5 se   = 0;16.40
                                                     1/3 gin              = 0;20
                                                      ½ gin               = 0;30
                                                     2/3 gin              = 0;40
                                                     2/3 gin y 5 se   = 0;45
                                                     5/6 gin              = 0;50
                                                        1 gin              = 1
                                                     1 1/6 gin           = 1;10
                                                  1 1/6 gin y 10 se = 1;13.20
                                                  1 1/4 gin              = 1;15

Esto permite realizar operaciones de transformación entre unidades con mucha facilidad. Así, se ha dado antes el caso de cambiar 13 5/6 minas de plata en siclos. Para ello se realizaba,

Ahora la operación 5/6 x 60 adopta otra forma: 5/6 de mina se puede escribir 0;50 tomando a la mina como unidad, de manera que se debería realizar 0;50 x 60 pero se puede llegar a la regla de que la multiplicación por 60 simplemente permite "correr el ;" un lugar de forma que

De este modo, el escriba mesopotámico disponía de varias formas de tratamiento de fracciones que le permitía reducir su cálculo, sea por la vía de la aproximación, la reducción a unidades inferiores o bien transformando las expresiones fraccionarias en la forma sexagesimal correspondiente.

Problemas de reparto, tan frecuentes por otra parte, plantean la necesidad de dividir dos cantidades. Los sumerios no tienen un término específico para esta operación por cuanto su interpretación consistirá en reducirla a la multiplicación por la cantidad recíproca del divisor. De esta forma, consideran a : b = a x 1/b
de modo que ello obliga a saber cuál es el recíproco de cualquier número escrito en sexagesimal. Como dicho cálculo no es inmediato en muchos casos, el escriba dispondrá de una tabla de recíprocos de los primeros números, algunos de cuyos ejemplares se han conservado y muestran los siguientes datos:

Número	Recíproco	Número	Recíproco
2	0;30	27	0;02.13.20
3	0;20	30	0;02
4	0;15	32	0;01.52.30
5	0;12	36	0;01.40
6	0;10	40	0;01.30
8	0;07.30	45	0;01.20
9	0;06.40	48	0;01.15
10	0;06	50	0;01.12
12	0;05	54	0;01.06.40
15	0;04	1.00	0;01
16	0;03.45	1.04	0;00.56.15
18	0;03.30	1.12	0;00.50
20	0;03	1.15	0;00.48
24	0;02.30	1.20	0;00.45
25	0;02.24	1.21	0;00.44.26.40

Evidentemente, esta tabla de recíprocos resultaba esencial para que el escriba desarrollara su labor. Es de suponer que fuera memorizada y que las tablillas que se han encontrado responden más bien a ejercicios escolares de repetición o consulta como camino previo a la memorización final. En todo caso, surge inmediatamente la cuestión de cómo construir estos resultados. ¿Qué idea intuitiva, qué modelo subyace a los resultados de esta tabla?.

Considérese una balanza. En uno de los brazos se coloca un peso de una mina. Para equilibrarlo se dispone en el otro brazo dos pesos de 30 siclos cada uno. Es decir, dos partes de 0;30 equivalen a la unidad, la mina. Se pueden establecer otras descomposiciones de la mina en pesos iguales:

A partir de esta idea inicial que permite construir los primeros resultados entre diversos números y sus recíprocos, es necesario ir completando la tabla con otros que no son tan inmediatos. Se han estudiado dos posibilidades de actuación por parte de los escribas con este objetivo.

El procedimiento más sencillo consistiría en considerar una de las parejas de la tabla así conseguida, tal como                            4           0;15
Se puede entonces duplicar uno de los factores y dividir el otro por dos con la seguridad de que el producto de las cantidades resultantes volverá a ser la unidad y se estará, entonces, ante otro caso distinto de recíproco. Aplicando repetidamente este procedimiento se obtendrían las siguientes parejas:
                                                               4        0;15
                                                               8        0;07.30
                                                             16        0;03.45
                                                             32        0;01.52.30

Existe un procedimiento complementario, particularmente cuando las cantidades a las que hay que calcular su recíproco son grandes. Consiste en lo siguiente: Sea c un número en sexagesimal al que se desea calcular su recíproco. Sea a un número próximo por defecto del que se conoce su recíproco. Sea b un número tal que cumple la condición: c = b + a.
Entonces

de modo que conociendo el recíproco de a y el de 1 + b/a se obtiene por multiplicación el resultado deseado. Puede parecer un mecanismo de cierta complejidad a un nivel algorítmico superior al planteado hasta ahora. Sin embargo algunas tablillas encontradas sugieren que pudo ser un procedimiento conocido por los escribas.

Por ejemplo, en una tablilla se han encontrado los siguientes datos numéricos:
                                                             2           05           12
                                                                          25             2.24
                                                                          28.48

Veamos cuál puede ser su interpretación. Considérense los siguientes números: Se desea hallar el recíproco de c = 2;05 considerando a = 0;05 y, por tanto, siendo b = c - a = 2. Entonces, el recíproco buscado será:

1/2;05 = 1/0;05 x 1/(1 + 2/0;05) = 12 x 1/(1 + 24) = 12 x 1/25 = 12 x 0;02.24 = 0;28.48

Se han examinado dos formas básicas de ir completando el cuadro inicial y calcular el recíproco de cualquier número expresado en sexagesimal, pero ha de dejarse constancia de algunas excepciones. En efecto, los cálculos esenciales de los escribas tratan de hallar el recíproco de un número siempre que tenga una expresión finita. Números como el 7 no presentan recíproco visible porque, si se realiza la división 1:7 en base sexagesimal, resultaría

y ello es debido a que cualquier resto r en la división sucesiva de 1 entre 7 en sexagesimal, al considerarse la unidad inmediatamente inferior para seguir haciendo la división, ha de transformarse en la cantidad 60 x r de manera que, como 60 no tiene a 7 como factor, resulta imposible que la división efectuada resulte exacta.

Así pues, para que un número tenga como recíproco una expresión finita, debe tener uno o más de los factores primos en que se descompone el número 60, es decir, 2, 3 y 5. Es por ello que los escribas mesopotámicos sólo plantean tablas de números (llamados "regulares") de la forma