Economía
Aritmética
Superficies
 Plimpton
 Canales
Edificios
Astronomía
 Bibliografía
Enlaces

 

Ecuaciones cuadráticas
 

                Presencia de ecuaciones cuadráticas
             Procedimiento de resolución
             Origen del procedimiento
             Ejemplos de ecuaciones

                Presencia de ecuaciones cuadráticas

Toda situación donde una cantidad desconocida (la incógnita) se eleva al cuadrado ya puede suponer la presencia de una ecuación cuadrática y situaciones de este tipo no faltan. Por ejemplo, si se trata de hallar la longitud x y la anchura y de un campo rectangular cuando se conoce su área (x y) y la longitud de su diagonal (raíz cuadrada de x2 + y2 ).  Glassner menciona el caso de un triángulo rectángulo del que se puede saber su área y la relación entre los catetos ignorando la longitud de uno de ellos.

De esta forma, se conocería la relación          s/h = r
de manera que si el área viene dada por:      A = ½ s h
será                                                                  A = ½ h2 r

que, en caso de desconocer la altura, daría lugar a una ecuación cuadrática fácil de solucionar sin más que saber calcular raíces cuadradas.

Otra cuestión la constituyen aquellos problemas que dan lugar a ecuaciones más completas. Supongamos que disponemos de un campo cuadrado que deseamos descomponer en dos cuadrados distintos. Conocemos el área del cuadrado original y el lado de uno de los cuadrados que debe contener (por ejemplo, y). Se desea calcular el lado del otro cuadrado y el área de los campos en que queda dividido el original.

Dada la relación:

( x + y )2 = x2 + y2 + 2 x y

el problema mencionado supondría plantear una ecuación de segundo grado con la incógnita x.

Los problemas resueltos a través de la cuadrática tienen un planteamiento nuevamente "escolarizado" y que persigue la práctica de las reglas de solución antes que las referencias a situaciones reales, más complejas que las presentadas a los estudiantes. Las hay de dos tipos:

Tipo 1:
La ecuación cuadrática surge a partir del planteamiento de un sistema de ecuaciones donde se presentan conocidos el producto de dos variables y su suma: x y = a ;   x + y = b

Tipo 2:
Dada la carencia de un lenguaje específico sobre estos términos, la presencia de una cantidad al cuadrado y la misma cantidad sin él origina el empleo de un lenguaje que transgrede el principio de homogeneidad dimensional. Así, se puede mencionar el sumar un cuadrado con su lado, como forma de expresar x2 + x. De este modo, el escriba consigue plantear directamente una ecuación cuadrática sin pasar por el planteamiento de un sistema de ecuaciones que lo origine.

Ambos tipos de situaciones problemáticas serán examinados a partir de ahora mostrándose, en primer lugar, el método de resolución característico de los escribas y cuál puede ser su origen.


             Procedimiento de resolución

Consideremos el siguiente problema:

"Encontrar las dimensiones de un rectángulo conociendo la mitad de su perímetro, 6;30, y su área, 7;30".

El planteamiento del problema es el que se ha comentado, de manera que

x + y = 6;30
x y = 7;30

Iremos examinando la forma de resolución que propone el escriba y su equivalencia con los símbolos generales actualmente disponibles.

* Tomar la mitad del semiperímetro, 3;15.                                  ½ ( x + y )

* Hallar su cuadrado, 10;33.45.                                                 1/4 ( x + y )2

* Restar el área, 3;03.45.                                          1/4 ( x + y )2 - x y = 1/4 ( x - y )2

* Hallar la raíz cuadrada, 1;45.                                                     ½ ( x - y )

* Añadir la mitad del semiperímetro,1;45 y 3;15 son 5. La longitud es 5.
                                                                                          ½ ( x - y ) + ½ ( x + y ) = x

* Restar la raíz cuadrada de la mitad del semiperímetro, 1;45 de 3;15, 1;30. La anchura es 1;30.
                                                                                          ½ ( x + y ) + ½ ( x - y ) = y

Los pasos seguidos corresponden a la resolución actual de una ecuación cuadrática. El siguiente ejemplo mostrará las reglas de un modo evidente:

"He restado (el lado) del cuadrado a partir del área, y es 14.30".

A lo que se añade la resolución mediante la clásica relación de instrucciones algorítmicas:

"Toma 1, el coeficiente (del lado del cuadrado). Divide 1 en dos partes.
0;30 x 0;30 = 0;15 que añades a 14.30. 14.30;15 tiene por raíz cuadrada 29;30. Añades 29;30 a 0;30 que has multiplicado por sí mismo, y 30 es (el lado del) cuadrado".

En este caso, se ha planteado una ecuación cuadrática directamente que, en términos actuales, se podría expresar como
                                                                                x2 - x = 14.30
que correspondería al tipo                                      x2 + b x = c

Las reglas dadas por el escriba supondrían entonces seguir la siguiente secuencia en términos generales tomando b = 1 y c = 14.30:

b / 2
( b / 2 )2
 c + ( b / 2 )2

              

que coincide plenamente con la expresión que resuelve esta ecuación cuadrática. Ahora bien, si el escriba mesopotámico era capaz de llegar a esta forma de resolución, la cuestión que se plantea inmediatamente es cómo la construyó.


             Origen del procedimiento

En la expresión general de la ecuación cuadrática

a’ x2 + b’ x = c’

se puede dividir por el coeficiente de x2 al objeto de obtener la expresión canónica de dicha ecuación:
                                                                         x2 + b x = c

Pues bien, la forma intuitiva más sencilla de obtener el valor de x consiste, algebraicamente hablando, en completar el cuadrado en el primer miembro al añadirle (b/2)2:

x2 + b x + (b/2)2 = (b/2)2 + c
(x + b/2)2 = (b/2)2 + c

de donde:

Para la ecuación                                              x2 - b x = c
el signo menos ante el término b/2 tendría que ser sustituido por un signo más.

Este método admite una expresión gráfica que fue conocida y sistematizada en su aplicación a la ecuación cuadrática por los árabes. Así, el miembro de la izquierda x2 + b x se representaría como un cuadrado de lado x junto a un rectángulo de lados b y x. El rectángulo puede descomponerse en dos rectángulos de lados b/2 y x que, en razón de esta última longitud, pueden disponerse alrededor del cuadrado inicial. Ambas partes ralladas tendrán un área de     x2 + b x
y por tanto equivalente a c. Para completar el cuadrado de lado (x + b/2) bastaría añadir un cuadrado en el extremo de lado b/2, de manera que todas las manipulaciones algebraicas tendrían su representación en lo geométrico.

Sin embargo, es necesario dudar de que éste fuera el origen de la expresión entre los escribas mesopotámicos, particularmente por su tendencia a infrautilizar todo tipo de representaciones geométricas, verdaderamente escasas en las tablillas recuperadas. Sus razonamientos suelen ser de naturaleza numérica y algebraica en el sentido de considerar la generalización de las relaciones numéricas conocidas. Cabe entonces suponer que el origen de las instrucciones de los escribas para la resolución de la ecuación cuadrática tengan un origen numérico como el siguiente:

Sean las dos ecuaciones siguientes que dan el producto y la suma de dos números que pueden, opcionalmente, ser considerados como los lados de un rectángulo:

x y = P
x + y = S

Si x > y entonces se puede afirmar que

x = S/2 + D
y = S/2 - D

Si se sustituyen estos valores en la ecuación que nos da el producto de ambos:

( S/2 + D ) ( S/2 - D ) = P
( S/2 )2 - D2 = P
D2 = ( S/2 )2 - P


de modo que:

que es una solución más acorde con los planteamientos usuales de los escribas.


             Ejemplos de ecuaciones

 Es probable que el estudiante de escriba tuviera que enfrentarse a tablillas con diversos casos de cuadrática para practicar repetidamente las reglas que resolvían estas ecuaciones.

"He añadido el área y dos tercios del lado de mi cuadrado y es 0;35".

x2 + 2/3 x = 0;35

que viene a resolverse con la siguiente secuencia:

"Toma 1, el coeficiente. Dos tercios de 1, el coeficiente, es 0;40. La mitad, 0;20. Multiplicado por 0;20, (el resultado es) 0;06.40. Añádelo a 0;35 y (el resultado es) 0;41.40 (que) tiene a 0;50 como su raíz. 0;20 réstalo de 0;50 y 0;30 es el (lado del) cuadrado".

En efecto, 0;40 es la expresión sexagesimal de la fracción 2/3 y por tanto, hará el papel de coeficiente b de la incógnita x. Se forma así b/2 (0;20) que se eleva al cuadrado

( b/2 )2 = 0;202 = 0;06.40

a lo que hay que unir el valor de c:

( b/2 )2 + c = 0;06.40 + 0;35 = 0;41.40

del que se halla su raíz cuadrada,

La solución viene dada finalmente restando a esta cantidad b/2 para obtener el valor que resuelve la ecuación inicial:
                                                                  0;50 - 0;20 = 0;30

Que algunos de los ejercicios encontrados planteen el caso de la ecuación cuadrática canónica (con el coeficiente de la x2 siendo la unidad) no quiere decir que no resuelvan los de la ecuación generalizada.

"Sumo siete veces el lado de un cuadrado y once veces su área, sea 6;15. ¿Cuál es el lado?".

Equivalente a:                                            11 x2 + 7 x = 6;15

Podría pensarse que la resolución pasa por transformar inicialmente esta ecuación en la canónica correspondiente:
                                                               x2 + ( 7/11) x = 6;15 / 11
pero hay que considerar que 11 no tiene un recíproco sexagesimal finito por lo que no cabe esta solución. Probablemente incluso se puede afirmar que el escriba presenta un coeficiente de la x2 que imposibilita este cálculo para favorecer el que aprendan las instrucciones en la forma en que se le dan, incluyo la manera de eludir la presencia de un coeficiente de este tipo.

Así, lo que se hace responde a la secuencia ordinaria de acciones salvo en el hecho de que, en vez de considerar c, se toma (a c) y, finalmente, se divide por a el resultado final.

"Registras 7 y 11. Multiplicas 6;15 por 11, es 1.08;45. Divides 7 por 2, es 3;30. Haces el cuadrado de 3;30, es 12;15. Sumas 1.08;45, es 1.21. Es el cuadrado de 9. Restas 3;30, es 5;30. El recíproco de 11 no se puede encontrar. ¿Por qué debes multiplicar 11 para obtener 5;30?. Por 0;30. Es el lado del cuadrado".

El procedimiento entonces presenta los siguientes pasos:

  • 1) Hallar         a c = 11 x 6;15 = 1.08;45.

  • 2) Se calcula   b / 2 = ½ 7 = 3;30.

  • 3) que se eleva al cuadrado: (b / 2)2 = 3;302 = 12;15.

  • 4) para a continuación sumarle a c: (b/2)2 + a c = 12;15 + 1.08;45 = 1.21
    5) Se halla su raíz cuadrada, que resulta ser %1.21 = 9

  • 6) Para aplicar la fórmula

    •

                       7) y finalmente dividir por a (11) para llegar al resultado (0;30).

    Algunos de los sistemas de ecuaciones que los escribas se plantean son de cierta complejidad respecto a la formulación más conocida de contar con la suma y el producto de las dos variables. Ello obliga a hacer una serie de manipulaciones algebraicas destinadas a transformar el sistema de ecuaciones original en otro expresable de la forma más sencilla.

    "Longitud, anchura. He multiplicado longitud y anchura, obtengo así el área. Entonces añado al área el exceso de longitud respecto de la anchura, 3.03. Además, he añadido longitud y anchura, 27. Se pide longitud, anchura y área".

    Aquí el planteamiento viene dado, en términos actuales, como

    x + y = 27
    x y + ( x - y ) = 3.03

    El escriba entonces procede a hacer los cambios oportunos antes de aplicar la secuencia de reglas conocida:

    "Suma 27 y 3.03, es 3.30. Suma 2 a 27, 29".

    La primera operación implica sumar las dos ecuaciones dadas para transformarlas en:

    x y + 2 x = 3.30
    x ( y + 2 ) = 3.30

    Obsérvese entonces que, de este modo, se ha cambiado la segunda ecuación original por otra donde figura el producto de dos variables, x e y + 2. Es por ello que se suma 2 a la primera ecuación. El planteamiento inicial se ha transformado en:

    x + ( y + 2 ) = 29
    x ( y + 2 ) = 3.30

    o bien, considerando y’ = y + 2

    x + y’ = 29
    x y’ = 3.30

    donde se puede aplicar la secuencia de reglas que resuelven la ecuación cuadrática

    "Toma la mitad de 29, 14;30. Multiplicas 14;30 y 14;30, es 3.30;15. Resta 3.30 de 3.30;15, es 0;15. ¿Qué número multiplicado por sí mismo es 0;15?. 0;30. Suma 14;30 y 0;30, 15. Es la longitud. Quita 0;30 a 14;30, es 14, la anchura".

    Y ahora se termina deshaciendo el cambio de variable efectuado anteriormente:

    "Resta 2, que añadiste a 27, desde 14, la anchura. 12 es la anchura real. Multiplica la longitud 15 por la anchura 12. Es 3.00, el área".

     
    idth="17" height="17">     Procedimiento de resolución