Pagina nueva 1

Mesopotamia no dispone de materiales que permitan grandes construcciones duraderas. Mientras Egipto cuenta con diversas canteras de piedra que le permitieron realizar templos o pirámides que aún persisten, los restos encontrados de las edificaciones mesopotámicas son en general muy escasos y con graves deterioros causados por el tiempo. La razón hay que buscarla en el material empleado. Carentes de piedra y madera de calidad, el mesopotámico levantaba sus casas, templos y palacios con el material más abundante a orillas del Tigris y el Eúfrates: La arcilla.

Cuando la tierra era filtrada de sus impurezas fundamentales, se mezclaba con agua añadiéndole diversos elementos destinados a darle consistencia: paja picada, hierba, restos de huesos, arena, grava. Los animales pateaban esta mezcla hasta darle una consistencia suficiente y una homogeneidad que permitiera su manipulación. Durante un tiempo inicial se empleó esta arcilla o adobe así conseguida directamente sobre el lugar donde levantar el muro de la casa de que se tratase. Una limitación del método residía en que, tras dar una capa, había que esperar a su secado durante varios días antes de levantar una segunda capa, al objeto de que no se desmoronase. El resultado eran muros que se cubrían con ramas, paja y otros elementos impermeabilizantes. Si bien el adobe es un material aislante que permite estar fresco en verano y abrigado en invierno, presenta el grave problema de su fragilidad frente a las lluvias.

Al objeto de dar más consistencia al muro y construirlo con mayor rapidez se empezaron a confeccionar desde muy pronto ladrillos cocidos al sol. Para ello, se limpiaba una extensión de tierra plana echando paja a modo de impermeabilizante y, sobre la misma, se colocaban moldes de madera según las distintas dimensiones en que se deseara confeccionar los ladrillos. En estos moldes se echaba la arcilla hasta el borde, de forma que la altura de los moldes determinaba la del ladrillo resultante. Tras un mínimo secado se levantaba el molde y se repetía la operación al lado hasta llegar a fabricar varios centenares de ladrillos cada jornada. Sin embargo, habían de ser expuestos al sol durante varios días hasta que su capa superior se secara. Seguidamente, se levantaba el ladrillo así moldeado sobre una plancha y se le daba la vuelta para conseguir su secado por la otra cara.

Este procedimiento era algo lento y, también se observó desde su comienzo que se conseguía un efecto más rápido y eficaz cociendo en un horno los ladrillos. Rápido porque en el mismo día estaban terminados y eficaz porque, a semejanza de la cerámica (cuyo principio compartían), los ladrillos así obtenidos presentaban una mejora importante: Resultaban impermeables en más alto grado que los cocidos al sol. Sin embargo, el procedimiento no podía generalizarse por cuanto el combustible necesario para alimentar los hornos era difícil y costoso de conseguir. Obras como la puerta de Ishtar o el palacio de Nabucodonosor en la Babilonia del primer milenio, realizados con ladrillos esmaltados, eran excepcionales. En todo caso, a partir del tercer milenio el empleo de ladrillos cocidos se había generalizado a las construcciones principales de la ciudad.

Pues bien, ya se disponía de ladrillos de dimensiones dadas por los moldes. Para construir los muros se colocaban sobre su superficie mayor de forma consecutiva y de manera que las sucesivas hiladas superpusieran ladrillos completos a las uniones de dos ladrillos en la precedente, tal como sucede en la actualidad. Tras cada hilada y entre ladrillos de la misma se empleaba, a manera de argamasa, un mortero hecho con arcilla y paja picada.

Los ladrillos se medían individualmente en dedos. Su superficie cuadrada más amplia oscilaba entre los 10 dedos (16 centímetros) y los 30 dedos (aproximadamente medio metro) de lado. El grosor, sin embargo, era mucho más reducido siendo de cinco a seis dedos (8 ó 10 cms). Se pueden diferenciar hasta 12 tipos diferentes de ladrillos, algunos cuyas dimensiones aparecen explícitamente en las tablillas y otros de los que sólo se conocen algunas características relacionadas con el volumen pudiendo deducirse consiguientemente sus dimensiones bajo la hipótesis de que son semejantes a las anteriores en cuanto a grosor y conservan, en general, la forma cuadrada más frecuente de la base.

Otros datos de cada tipo de ladrillo son importantes y resulta conveniente explicarlos antes de exponerlos en la tabla oportuna. Considérese el ladrillo de tipo 2, por ejemplo, aquél que presenta unas dimensiones de 15 x 10 x 5 dedos. Siendo cada dedo 1/360 de ninda, se pueden hacer las transformaciones oportunas hasta deducir el volumen de uno de estos ladrillos: 0;0.0.41.40 sar-v. Pues bien, los ladrillos de cualquier tipo no se presentaban por unidades sino en paquetes de 720, al modo en que sucede en la actualidad por las empresas fabricantes de ladrillos aunque utilizando cantidades diferentes. Un "paquete" de 720 ladrillos (12.00) es denominado también sar de manera que, para diferenciar su uso del referente a áreas y volúmenes, escribiremos en este caso "sar-b".
Pues bien, en el caso de ladrillos de tipo 2, ¿cuál es el volumen de un sar-b?.

Era muy utilizado por los escribas en sus cálculos de este tipo de construcciones la razón inversa, es decir, los sar-b (o paquetes) contenidos en una unidad de volumen (sar-v).

que señala que, en cada unidad de volumen sar-v, hay 7 1/5 paquetes (o sar-b) de ladrillos de tipo 2. Este índice, en el original "nalbanum" es de difícil traducción al castellano. Así, diremos que los ladrillos de tipo 2 tienen un "nalbanum" de 7;12.

De algunos ladrillos se conoce tan sólo el nalbanum, como se ha comentado anteriormente. Por ejemplo, los de tipo 7, sólo son conocidos por su nalbanum que resulta de 3;20. Invirtiendo esta cantidad se obtendrá el número de sar-v por paquete, es decir, 1/3;20 = 0;18. Como hay 12.00 ladrillos en cada sar-b, resulta:

12.00 x Volumen ladrillo = 0;18 sar-v
Volumen ladrillo = 1/12.00 x 0;18 = 0;0.05 x 0;18 = 0;0.01.30 sar-v

Este volumen equivale a 1620 dedos cúbicos que, divididos por un grosor de 5 dedos, resultaría en un área de 324 dedos cuadrados, cuya raíz cuadrada es 18 dedos. Así pues, este ladrillo sería probablemente de 18 x 18 x 5.
Por todo ello, se han registrado hasta doce tipos diferentes de ladrillos que pueden presentarse con sus características principales:

Tipo	Dimensiones	Volumen unitario	Volumen de un sar-b	Nalbanum
1	10 x 10 x 6	0;0.0.33.20	0;06.40	9;00
1 a	12 x 9 x 6	0;0.0.36	0;07.12	8;20
2	15 x 10 x 5	0;0.0.41.40	0;08.20	7;12
3	20 x 10 x 5	0;0.0.55.33.20	0;11.06.40	5;24
4	18 x 12 x 5	0;0.01	0;12	5;00
5	15 x 15 x 5	0;0.01.02.30	0;12.30	4;48
7	18 x 18 x 5	0;0.01.30	0;18	3;20
8	20 x 20 x 5	0;0.01.51.06.40	0;22.13.20	2;42
9	20 x 20 x 6	0;0.02.13.20	0;26.40	2;15
10	24 x 24 x 5	0;0.02.40	0;32	1;52.30
11	30 x 30 x 5	0;0.04.10	0;50	1;12
12	30 x 30 x 6	0;0.05	1	1

En una tablilla encontrada en una ciudad de reino de Eshuna y contemporánea al reinado de Hammurabi se dice:

"Fabricación de ladrillos, coeficiente combinado. ¿Cuál es la razón diaria de fabricación de ladrillos y cuál es lo que resulta de un hombre?. En su trabajo se le asigna 0;20 (sar-v), la razón diaria de excavación, 0;20 la razón diaria de fabricación de ladrillos; 0;10, la razón diaria de mezcla".

Así pues, se consideran tres tareas: Por la primera se extrae tierra a razón de 0;20 sar-v por hombre y día, tierra con la que se fabrican ladrillos a razón de otros 0;20 sar-v por hombre y día para, finalmente, realizar mezcla (mortero, probablemente) a 0;10 sar-v hombre y día. Separemos cada una de las tareas según sus coeficientes.

0;20 sar-v por hombre y día.
En 3 días se excava un sar-v. Se fabrica un sar-v de ladrillos en el mismo tiempo.

Considerando el trabajo simultáneo de un hombre en las tres tareas, procesaría un sar-v de cada cosa en un total de 3 + 3 + 6 = 12 días

"Tomar el recíproco de 0;20 y será 3. Tomar el recíproco de 0;20 y será 3. Tomar el recíproco de 0;10 y será 6. Añadirlos y serán 12.
Tomar el recíproco de 12 y será 0;05. 0;05 es la razón diaria del coeficiente combinado".

Esta última operación corresponde a la razón diaria de realización de la tarea conjunta. Si un sar-v de cada tarea se realiza en 12 días, por día se concluirá 1/12 del total, es decir, 0;05.

"El cuadrado de 0;03.20, el lado cuadrado de un ladrillo y será el área del ladrillo, 0;0.11.06.40. Convertir 0;01, el grosor de un ladrillo y será 0;12. Multiplicar 0;12 por 0;0.11.06.40 y será el volumen del ladrillo, 0;0.0.02.13.20".

El objetivo último de este cálculo es averiguar el volumen diario de la tarea conjunta traducida a número de ladrillos. Para ello se necesita calcular el volumen de uno de estos ladrillos. El que se considera tiene una base cuadrada de lado 0;03.20 ninda (20 dedos) y grosor 0;01 ninda (6 dedos), lo que indica que es de tipo 9.

"Tomar el recíproco de 0;0.02.13.20 y será 27.00. Multiplicar 27.00 por 0;05, la razón diaria, y será el resultado de un hombre, 2.15 de ladrillos. El triple de 2.15, será 6.45, el resultado de la razón diaria".

Ya que el volumen de tierra procesada en las tres tareas cada día es de 0;05 sar-v, habrá que dividir esta cantidad por el volumen del ladrillo 0;0.02.13.20:

Como hay tres tareas distintas, el párrafo final de la tablilla parece sugerir que se contará con un equipo de tres hombres trabajando cada uno en una tarea distinta y es por ello que los ladrillos procesados al día son equivalentes al triple de lo que haría un solo hombre:

Se han encontrado varios coeficientes en torno al transporte de ladrillos que es necesario interpretar:

A) "4.30.00, el coeficiente de los ladrillos, transporte de ladrillos.
B) 3.22.30, su transporte.
C) 3.0.0, el coeficiente del transporte de medios ladrillos.
D) 1.41.15, el coeficiente de los ladrillos cuadrados".

En este sentido varios problemas tratan invariablemente el transporte en unas condiciones estándar, en concreto, 540 (9.00) ladrillos a lo largo de 30 nindas al día. Bajo estas condiciones, el número de ladrillos que se pueden transportar en un trayecto unitario de un ninda, sería:

que actuaría a modo de cantidad general sobre la que particularizar según el tipo de ladrillo. Así, en caso de considerar como se hace habitualmente, que se está tratando con ladrillos de tipo 2, el volumen correspondiente a estos ladrillos será:

que sería entonces el volumen que es posible transportar sobre un ninda al día en lo que se refiere a ladrillos del tipo 2. Sin embargo, este volumen de trabajo puede considerarse general y aplicable a cualquier tipo de ladrillo, siempre que se adecúe el volumen fijado al de los ladrillos de que se trate. Así, en los del

Tipo 3: 3;07.30 / 0;0.0.55.33.20 = 3.22.30 ladrillos de tipo 3 (coeficiente B)
Tipo 5: 3;07.30 / 0;0.01.02.30 = 3.0.0 ladrillos de tipo 5 (coeficiente C)
Tipo 8: 3;07.30 / 0;0.01.51.06.40 = 1.41.15 ladrillos de tipo 8 (coeficiente D)

Con estos datos sobre transporte de ladrillos y el método de los coeficientes combinados, es posible entender el siguiente problema:

"Razón diaria de fabricación de ladrillos. Sobre 5 (nindas), llevo aquí para fabricar ladrillos. ¿Cuál es el resultado de un hombre?.
En su trabajo se le asigna 0;20, la excavación; 0;20, el moldeado; 0;10, la mezcla.
Vuelvo y tomo el recíproco de 5, la distancia, y será 0;12. Multiplico 0;12 por 45.00, lo andado, y será 9.00. Multiplico 9.00 por 0;0.02.13.20, el cesto, y 0;20 es el volumen que lleva 5 nindas".

El dato que sólo se incluye en la resolución del problema es que existe un transporte de tierras para fabricar ladrillos a lo largo de 45.00 nindas en total (unos 16 kms), lo que parece referirse a la distancia total a desarrollar en varios viajes. El número de viajes precisamente se averigua dividiendo 45.00 entre 5 nindas, que es la distancia que separa la excavación del lugar de fabricación de ladrillos. Esto, que supone multiplicar por el recíproco 0;12, da lugar a 9.00 viajes (540). A este dato hay que añadir el volumen del cesto que permite el transporte de la tierra y que es de 0;0.02.13.20 sar-v. Multiplicando el número de viajes por el volumen del cesto que se transporta en cada viaje se obtiene el volumen de tierra transportado:

A partir de este momento se aplica el método de los coeficientes combinados a las cuatro tareas en curso:

"Tomar el recíproco de 0;20 y será 3. Tomar el recíproco de 0;20 y será 3. Tomar el recíproco de 0;10 y será 6. Tomar el recíproco de 0;20, el volumen, y será 3. Añadirlo y será 15. Tomar el recíproco de 15 y será 0;04. Multiplicar 0;04 por un día y será 0;04, la razón diaria".

0;20 sar-v procesado por hombre y día.
3 días para procesar 1 sar-v en cada tarea.

Considerando las cuatro tareas conjuntamente, 1 sar-v en cada una de ellas supondrán:

de manera que por día se realizará la siguiente parte de la tarea conjunta:

Finalmente, se consideran ladrillos de tipo 9, como en un problema anterior:

"El cuadrado de 0;03.20, el lado cuadrado del ladrillo, será 0;0.11.06.40, el área del ladrillo. Multiplicar 0;0.11.06.40 por 0;12 (codos), el grosor del ladrillo, y será 0;0.02.13.20, el volumen del ladrillo. Tomar el recíproco de 0;0.02.13.20, el volumen de un ladrillo, y será 27.00. Multiplicar por 0;04, la razón diaria, y será 1.48 ladrillos, el resultado de un hombre. El triple de 1.48 será 5.24, el resultado de la razón diaria".

Así, el volumen diario de trabajo conjunto (0;04 sar-v) se divide entre el volumen de un ladrillo para obtener el número de ladrillos a que equivale el trabajo diario de cada trabajador para, posteriormente, multiplicarlo por tres al contar con un equipo de tres hombres:

0;04 sar-v / 0;0.02.13.20 sar-v/ladrillo = 0;04 x 27.00 = 1.48 ladrillos diarios
3 x 1.48 = 5.24 ladrillos diarios (324)

Los ladrillos se colocaban apoyados en su cara más grande y con un grosor que oscilaba entre 5 y 6 dedos. Por ello, el escriba estará interesado en el área ocupada por ladrillos colocados de esta forma y querrá saber cuántos ladrillos hay en cada unidad de área. Sabiendo el área total prevista de los muros puede calcular con facilidad cuántos ladrillos deberá contar en cada capa. A este respecto se encuentra el siguiente coeficiente:
"14.24, una capa de ladrillos"
que tiene una fácil interpretación. Los ladrillos de tipo 2 tenían una superficie de 15 x 10 dedos. Si se desea expresar el área correspondiente en sar-a, habrá de transformarse cada una de estas medidas en nindas:

10 dedos = 0;20 codos = 0;05 x 0;20 = 0;01.40 ninda
15 dedos = 0;30 codos = 0;05 x 0;30 = 0;02.30 ninda

para luego multiplicarse dando el área de la base de un ladrillo de tipo 2:

de manera que se pueda calcular el número de ladrillos correspondientes a un sar-a de muro:

Número ladrillos x 0;0.4.10 sar-a = 1 sar-a
Número ladrillos = 1 / 0;0.04.10 = 14.24 ladrillos

Un problema distinto pero relacionado con el apilamiento de ladrillos, esta vez en forma de paralelepípedo, sería el siguiente:

"La longitud es de 3 ½ nindas, 3 codos. Los ladrillos son tercios de codos cuadrados. La altura de la pila es de 4 codos, su anchura 2 codos. ¿Cuál es el volumen de la pila de ladrillos y cuántos ladrillos tiene?".

Longitud = 3 ½ nindas 3 codos = 3;30 + 0;15 = 3;45 nindas
Anchura = 2 codos = 0;10 nindas
Altura = 4 codos

Los ladrillos serán de tipo 2 por cuanto un número entero caben en su longitud, anchura y altura. Respecto a la longitud, el ladrillo de tipo 2 tiene 15 dedos (0;02.30 ninda) de manera que, en longitud, caben

Esta forma de cálculo no era necesaria con las herramientas de que estaba provisto el escriba de la época. En efecto, si el volumen general de la pila (2;30 sar-v) se multiplica por el nalbanum de los ladrillos de tipo 2, se obtiene el número de sar-b o paquetes:

"Un muro. La longitud es de 5 ninda, el grosor del muro es 0;05.50, la altura es 12 (codos). ¿Cuántos son los ladrillos?".

Considerando que son del tipo 2, se pasaría a sar-b: 5;50 x 7;12 = 42 sar-b

Sin embargo, en la práctica hay que hacer una importante corrección a este cálculo. Los muros no son simplemente un apilamiento de ladrillos ya que hay que considerar que entre cada hilera se extiende una capa de mortero. A partir de este hecho se pueden entender algunos coeficientes que aparecen en las tablillas de la época:

Los ladrillos de tipo 2 tienen una altura de 5 dedos y lo mismo sucederá con una hilada de ellos. Pero a esa altura de 5 dedos el escriba le suma uno más destinado a la capa de mortero. Por ello, el volumen de los ladrillos supone los 5/6 del volumen del muro terminado. En los cálculos con el nalbanum ha de corregirse su valor de esta forma. Como el nalbanum es la cantidad de sar-b (paquetes) por cada unidad de volumen (sar-v), ha de multiplicarse por 5/6 para corregir el nalbanum y referirlo a la unidad de volumen (sar-v), no de ladrillos simplemente, sino de muro terminado. Así,

que coincide con los coeficientes encontrados en las tablillas.
De esta forma, la resolución del problema inicialmente presentado debería corregirse del siguiente modo:

Para construir un edificio había de contarse con una serie de muros que, habitualmente, ocupaban en superficie entre la mitad y la tercera parte de la superficie total de la vivienda. De ahí la presencia de coeficientes como:

que señala que los muros ocupan la tercera parte de la superficie de la vivienda. Así, por ejemplo, se puede considerar una casa de área dada 5 sar-a y cuyos muros llegan a una altura de 2 ½ ninda (30 codos). Bajo el supuesto de que los muros ocupan esa tercera parte antedicha, el escriba hallaría el volumen:
( 5 x 30 ) x 0;20 = 50 sar-v

Considerando que los muros se van a levantar con ladrillos de tipo 4 que tienen un nalbanum de 5, si se desea saber el número de paquetes o sar-b necesarios habrá de corregirse este coeficiente por la presencia de mortero:
5/6 x 5 = 0;50 x 5 = 4;10 sar-b/sar-v