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Es indudable que, como en todas las culturas de la Antigüedad, las relaciones establecidas entre los lados de un triángulo rectángulo eran conocidas con cierto grado de generalidad. Sólo así es posible entender algunas aplicaciones y cálculos efectuados en problemas recogidos sobre diversas tablillas. La cuestión, como en todas estas culturas nuevamente, no consistirá en precisar su aplicabilidad, que suele ser amplia, sino determinar el grado de generalización alcanzado ya que cualquier demostración general parece fuera de su alcance. Las relaciones pitagóricas presentan una naturaleza funcional, son ante todo instrumentos de cálculo para resolver problemas y no relaciones que tengan importancia por sí mismas ante las cuales, en consecuencia, sea preciso determinar mediante criterios de validación abstractos su validez general.

Son tan fragmentarios y escasos los datos encontrados en los restos arqueológicos que cabe tropezar con aplicaciones faltas de cualquier generalización y, por el contrario, otras donde se destacan formas de cálculo sofisticadas para la época. Así, por ejemplo, en una tablilla del período seléucida, ya en el primer milenio, se han encontrado 19 problemas que han sido denominados de "longitud, anchura y diagonal".

"4 es la longitud, 3 la anchura. ¿Cuál es la diagonal?. La magnitud es desconocida".

Se presentan dos soluciones a este problema, en la primera se propone añadir la mitad de la longitud a la anchura
                                                                      ½ L + A = D
mientras que la segunda resuelve el problema sumando la tercera parte de la anchura a la longitud
                                                                     1/3 A + L = D
Evidentemente, estas soluciones sólo son válidas para triángulos rectángulos concretos, en particular el más sencillo donde          A = 3 , L = 4 , D = 5        así como todos los derivados del mismo multiplicando por un entero positivo estas dimensiones:     (3 k , 4k , 5 k) con k 0 Z⁺

El período seléucida es muy tardío ya que empieza en el siglo IV a.C. con la ocupación del trono babilónico por el rey de origen griego Seleuco I. Sin embargo, frente a reglas tan concretas y de aplicación tan poco generalizada, se encuentran otros resultados que denotan un conocimiento mayor y anterior. Así, en el período babilónico tardío se encuentra un problema como:

"Sea una caña de 0;30. Desde arriba, desciende 0;06. ¿Cuánto se ha alejado de abajo?".

Considerando que, en su descenso, la caña de longitud 0;30 forma un triángulo rectángulo ABC siendo AB, BC los catetos vertical y horizontal y AC la hipotenusa, la solución propuesta por el escriba denota un conocimiento general de la relación de Pitágoras:

4. "Resta 0;09.36 de 0;15, encontrarás 0;05.24".
BC ² = AC ² - AB ² = 0;15 - 0;09.36 = 0;05.24

5. "¿De qué es el cuadrado 0;05.24?. De 0;18. Sobre el suelo, está alejada 0;18".
BC = %BC ² = %0;05.24 = 0;18

Se registra así una aplicación general de las relaciones existentes en un triángulo rectángulo que implica, naturalmente, el cálculo de raíces cuadradas. Es indudable que este cálculo es frecuente en la matemática mesopotámica en tanto el área de un campo cuadrado permite determinar la longitud de su lado o en los planteamientos de ecuaciones cuadráticas. Que esta situación estaba presente en la matemática de esta cultura es evidente a partir del ejemplo siguiente, donde se puede encontrar una aproximación numérica muy exacta al valor de %2.

La tablilla muestra un cuadrado atravesado por una diagonal dándose un número (30) que corresponde a un lado y dos números interiores:
1.24.51.10
42.25.35

y que el valor de este factor, cuando se eleva al cuadrado, es
1;24.51.10 ² = 1;59.59.59.38.01.40
En otras palabras, este factor es una aproximación a %2, de manera que lo que el escriba refleja en la tablilla es el lado del cuadrado (30) que al multiplicarlo por la aproximación a %2 le permite obtener la longitud de la diagonal (42;25.35).

Vuelve a surgir así la cuestión del cálculo de raíces cuadradas. Existen bastantes tablillas que muestran en dos columnas distintos números y sus cuadrados, resultados que pueden invertirse a la hora de hallar la raíz cuadrada de un número.

Los pequeños errores que se pueden encontrar en estas tablas denotan que son ejercicios para estudiantes en los que estos practicarían la correspondencia entre unos valores y otros. Sin embargo, mientras la relación de números x es correlativa, sus cuadrados dejan, naturalmente, huecos numéricos entre ellos. Caben, entonces, dos procedimientos aproximativos: O bien una interpolación lineal simplemente, lo que dará lugar a un error no despreciable, o un método basado en la media armónica que trabaja explícitamente Diofanto en el siglo III d.C.
Considérese entonces que ha de determinarse el valor de %2. Gracias a la tabla de cuadrados podemos encontrar una primera aproximación algo grosera pero, en todo caso, superior al valor buscado. Sea esta aproximación 1;30. Resulta que es 1;30 ² = 2;15
de manera que %2 < 1;30

Si se divide 2 entre la aproximación postulada: 2 / 1;30 < 2 / %2 = %2 se encuentra entonces una aproximación a %2 por defecto, es decir, 2 / 1;30 = 2 x 0;40 = 1;20 < %2

Nuevamente, a esta aproximación por exceso le corresponderá otra por defecto,

de modo que la media de ambas volverá a constituir una mejor aproximación:

que coincide con el valor encontrado en la tablilla. La coincidencia del resultado alcanzado con el valor reflejado en la tablilla no es una prueba concluyente de que los mesopotámicos siguieran esta técnica de aproximación pero resulta una hipótesis creíble y coherente con otras formas de aproximación registradas en la época.

Quizá la más famosa de las tablillas mesopotámicas sea una de 13 x 9 cms aproximadamente, excavada de forma ilegal hacia 1920 en las ruinas de la ciudad de Larsa. Diversos aspectos de la misma, su aspecto tabular, la distribución de sus columnas, el período histórico característico de los documentos administrativos de Larsa permiten datar esta tablilla dentro de los sesenta años anteriores a la captura de la ciudad por Hammurabi en 1762 a.C. Es, por tanto, una tablilla del período babilónico tardío que fue a parar a manos de un editor neoyorquino, George Arthur Plimpton y donada a la universidad de Columbia en 1936, a su muerte, correspondiendo el 322 a su número de catálogo.

Presenta cuatro columnas de números que suelen denominarse, de izquierda a derecha, como I, II, III y IV, mostrándose el encabezamiento de las tres últimas columnas, no así de la primera que presenta, además de una melladura amplia en la parte superior, la ruptura de la tablilla en todo el lado izquierdo, siendo muy probable que la tabla continuara hacia ese lado con nuevas columnas cuya reconstrucción es objeto de todo tipo de discusiones.

La tablilla presenta los datos numéricos presentados en la tabla posterior. Hay que tener en cuenta, sin embargo, que aparecen diversos errores corregidos según lo presentado por Robson. Respecto a la tabla de Robson, se ha añadido en negrilla y cursiva, bajo el valor probablemente correcto, el número erróneo que aparece realmente en la tablilla.

Las letras que aparecen junto a los encabezamientos de cada columna son también actuales mientras que el número 1, que aparece entre paréntesis en la columna I, corresponde a una hipótesis que será también discutida. Por último, a la derecha de la columna IV, que señala tan sólo el número de la fila correlativamente, se ha añadido una quinta columna con un dato hipotético que podrá entenderse seguidamente.

I. (d/l)² ó (b/l)²	^II b	^III d	^IV	l
^{(1) 59 00 15}	^{1 59}	^{2 49}	¹	²
^{(1) 56 56 58 14 50 06 15}	^{56 07}	^{1 20 25 3.12.01}	²	^{57 36}
^{(1) 55 07 41 15 33 45}	^{1 16 41}	^{1 50 49}	³	^{1 20}
^{(1) 53 10 29 32 52 16}	^{3 31 49}	^{5 09 01}	⁴	^{3 45}
^{(1) 48 54 01 40}	^{1 05}	^{1 37}	⁵	^{1 12}
^{(1) 47 06 41 40}	^{5 19}	^{8 01}	⁶	⁶
^{(1) 43 11 56 28 26 40}	^{38 11}	^{59 01}	⁷	⁴⁵
^{(1) 41 33 45 14 03 45 (1) 41 33 59 03 45}	^{13 19}	^{20 49}	⁸	¹⁶
^{(1) 38 33 36 36}	^{8 01 9 01}	^{12 49}	⁹	¹⁰
^{(1) 35 10 02 28 27 24 26 40}	^{1 22 41}	^{2 16 01}	¹⁰	^{1 54}
^{(1) 33 45}	⁴⁵	^{1 15}	¹¹	¹
^{(1) 29 21 54 02 15}	^{27 59}	^{48 49}	¹²	⁴⁰
^{(1) 27 00 03 45 (1) 27 03 45}	^{2 41 7 12 01}	^{4 49}	¹³	⁴
^{(1) 25 48 51 35 06 40}	^{29 31}	^{53 49}	¹⁴	⁴⁵
^{(1) 23 13 46 40}	^{28 56}	⁵³	¹⁵	⁴⁵

Aparentemente, los datos numéricos presentes no siguen un modelo reconocible. Tan sólo en la más compleja columna I los números aparecen en forma decreciente. Sin embargo, es posible, en una segunda lectura, reconocer el modelo que subyace a los datos presentes. Para comprobarlo, considérese la fila 1.

Restando ambas cantidades se obtiene un cuadrado perfecto, a cuya raíz cuadrada podemos dar la denominación de l:

de forma que se cumpliría la relación pitagórica b² + l² = d². Este hecho se puede comprobar en todos los casos.

Así pues, la tablilla Plimpton parece ser una colección de tripletas pitagóricas donde faltan los valores de uno de los catetos, quizá presentes en otra columna a la izquierda de los anteriores. Este hecho viene refrendado en gran medida por los encabezamientos de las columnas II y III que, respectivamente, vienen a indicar "el cuadrado del lado corto" y "el cuadrado de la diagonal". En acadio, la palabra "cuadrado" puede referirse también al lado de la figura cuadrada.

Sin embargo, no se obtienen tripletas pitagóricas de una forma aleatoria, máxime cuando los valores del cateto hipotético l son relativamente simples pero no así los correspondientes al otro cateto b ni a la hipotenusa d. Además, tampoco se observa ni presencia de relaciones pitagóricas simples (como la más sencilla 3,4,5) ni otras derivadas de las anteriores (para el caso anterior, 6,8,10 ó 9,12,15). Así pues, debe haber un método que permita generar tripletas de este tipo de forma que la tablilla sea una relación de los resultados obtenidos.

Es por este motivo que Neugebauer postula el conocimiento de los escribas mesopotámicos de la relación pitagórica que puede establecerse entre los tres números definidos a partir de otros más básicos p, q siempre que cumplan dos condiciones:

b = p² - q² l = 2 p q d = p² + q²donde b² + l² = ( p² - q²)² + ( 2 p q )² = ( p² + q² )² = d²

A partir de los datos de la tablilla no resulta complicado hallar los valores p, q que corresponden en cada caso. Veamos su deducción para la filas 1

De este modo, se puede defender una tabla que diera validez a las columnas II y III a partir de los valores originarios de p y q (tabla inferior). Los valores de p y q resultan sencillos estando todos incluidos en las conocidas tablas de recíprocos que construían en esta época. Sin embargo, no se comprende bien por qué escoger los valores que se presentan o, en otras palabras, qué criterio consideraría el escriba para tomar los valores p y q de la forma en que supuestamente lo hizo.

A este respecto, se ha sugerido que la razón p/q (columna derecha de la tabla) desciende de forma monótona desde el primer valor (2;24) hasta el último (1;48) pero tampoco es posible justificar la importancia de esta variable p/q, aparentemente no utilizada para formar las tripletas pitagóricas, ni por qué debe oscilar específicamente entre estos valores.

p	q	p²	^q2	^2pq	^II p2 - q²	^III p2 + q²	^IV	^{p / q}
¹²	⁵	^{2 24}	²⁵	^{2 00}	^{1 59}	^{2 49}	¹	^2;24
^{1 04}	²⁷	^{1 08 16}	^{12 09}	^{57 36}	^{56 07}	^{1 20 25}	²	^{2;22 13 20}
^{1 15}	³²	^{1 33 45}	^{17 04}	^{1 20 00}	^{1 16 41}	^{1 50 49}	³	^{2;20 37 30}
^{2 05}	⁵⁴	^{4 20 25}	^{48 36}	^{3 45 00}	^{3 31 49}	^{5 09 01}	⁴	^{2;18 53 20}
⁹	⁴	^{1 21}	¹⁶	^{1 12}	^{1 05}	^{1 37}	⁵	^2;15
²⁰	⁹	^{6 40}	^{1 21}	^{6 00}	^{5 19}	^{8 01}	⁶	^{2;13 20}
⁵⁴	²⁵	^{48 36}	^{10 25}	^{45 00}	^{38 11}	^{59 01}	⁷	^{2;09 36}
³²	¹⁵	^{17 04}	^{3 45}	^{16 00}	^{13 19}	^{20 49}	⁸	^2;08
²⁵	¹²	^{10 25}	^{2 24}	^{10 00}	^{8 01}	^{12 49}	⁹	^2;05
^{1 21}	⁴⁰	^{1 49 21}	^{26 40}	^{1 48 00}	^{1 22 41}	^{2 16 01}	¹⁰	^{2:01 30}
²	¹	⁴	¹	⁴	³	⁵	¹¹	²
⁴⁸	²⁵	^{38 24}	^{10 25}	^{40 00}	^{27 59}	^{48 49}	¹²	^{1;55 12}
¹⁵	⁸	^{3 45}	^{1 04}	^{4 00}	^{2 41}	^{4 49}	¹³	^{1;52 30}
⁵⁰	²⁷	^{41 10}	^{12 09}	^{45 00}	^{29 31}	^{53 49}	¹⁴	^{1;51 06 40}
⁹	⁵	^{1 21}	²⁵	^{1 30}	⁵⁶	^{1 46}	¹⁵	^1;48

La aparente sencillez de los datos numéricos correspondientes a las columnas II y III junto a la hipotética columna que diera los datos del otro cateto l, contrastan con la misteriosa complejidad que presenta la columna I. Considerando los datos hasta ahora citados, es decir, la presencia de un triángulo rectángulo de catetos l (el mayor) y b (el menor) y de hipotenusa d, los datos de la columna I presentan dos posibilidades:

1) Pueden corresponder a la operación ( d / l )² siempre que se considere que falta un uno sistemáticamente (tal como se presenta en la primera tabla). Ello es perfectamente admisible por cuanto esa unidad puede haberse sobreentendido en el momento de escribir los datos de la columna I.
2) Otra posibilidad es que los datos se ajusten a la operación ( b / l )², en cuyo caso aparecerían correctamente escritos sin la unidad antecediéndolos.

La gran extrañeza y el misterio que rodean a esta tablilla Plimpton reside en la necesidad que tuviera un escriba, dedicado aparentemente a escribir una relación de triadas pitagóricas, para calcular esa expresión. Desde el punto de vista trigonométrico, d/l y b/l corresponden a funciones trigonométricas que estaban lejos de los conocimientos mesopotámicos. Por ello, la hipótesis inicial de que la Plimpton fuera una tablilla trigonométrica ha de ser excluido. Ni tales funciones ni siquiera la noción de ángulo como tal pertenecían por entonces al acervo conceptual de la matemática mesopotámica. Otra cuestión sería si las relaciones d/l y b/l fueran importantes por algún motivo, preludiando entonces de una forma primitiva el concepto de dichas funciones trigonométricas.

Los datos, hay que reconocer, son sugerentes. La razón b/l, en su valor inicial, es casi la unidad (0;59.00.15) correspondiendo entonces a una figura prácticamente cuadrada, de manera que el ángulo α fuera aproximadamente de 45º. El valor final (0;23.13.46.40) correspondería a una relación b/l sobre un ángulo de unos 30º (o 60º tomando la relación contraria entre los catetos), con la importante observación de que la columna I sería entonces la de los valores de esta relación entre catetos expresada de un modo monótono decreciente desde los mencionados 45º hasta los 30º. La regularidad de tal disminución induce a sostener, precisamente, que la columna I es la guía para la obtención de las triadas pitagóricas que le corresponden.

Pese a ello cabe afirmar que la relación d/l ó b/l pueda tener importancia para definir la tabla, no tanto por la perspectiva anacrónica de que se establezcan unas funciones trigonométricas, sino por motivos distintos que no tienen nada que ver con ellas.

Friberg plantea la posibilidad de que los datos en ella encerrados correspondan a un triángulo rectángulo "normalizado", entendiendo por tal aquel que se obtiene dividiendo la longitud b, l, d de los lados de un triángulo rectángulo por la longitud de uno de sus catetos (por ejemplo, l).

De este modo, en el nuevo triángulo deducido del original se cumpliría la relación pitagórica:
1 + (b/l)² = (d/l)² o bien: (d/l)² - (b/l)² = 1

Ello justificaría el cálculo tanto de (b/l)² como de (d/l)² en la columna I por motivos distintos de los trigonométricos. Si lo que se pretendiese, entonces, es determinar las relaciones existentes en el triángulo rectángulo normalizado que puede construirse a partir del más general (l,b,d) de dimensiones presentes en las columnas II y III, habrá entonces que justificar la utilidad de este nuevo triángulo. ¿Para qué les podía servir el establecimiento de datos del triángulo rectángulo original y del normalizado?. ¿Qué aplicaciones se pueden encontrar a los mismos?.

Ahora, si sustituimos b, l, d por su valor en función de p y q, se encuentra una interesante simplificación:

x = d + b / l = p² + q² + p² - q² / 2pq = 2 p² / 2 pq = p/q
1/x = d - b / l = p² + q² - p² + q² / 2pq = 2 q² / 2 pq = q/p

Hay que recordar que este valor hipotético de p/q era, al igual que los valores de la columna I, monótonamente decreciente desde 2;24 hasta 1;48.

Con estos resultados puede deducirse un posible camino de construcción de la tablilla Plimpton.

1) Se consulta inicialmente la tabla de recíprocos para obtener p y q con p > q > 0. Con ello está garantizada la división tanto por p como por q.
2) Se han escogido p y q primos entre sí para poder formar p/q (que actuará como x) y su recíproco q/p (que tomará el papel de 1/x).
3) Se forman, en función de p y q, los valores característicos de las tripletas pitagóricas:
                                                        b = p² - q² l = 2 p q d = p² + q² 4) Se tiene en cuenta cualquiera de las dos siguientes posibilidades:
                                       x + 1/x = p/q + q/p = p² + q² / pq = 2 (d / l) = C
                                        x - 1/x = p/q - q/p = p² - q² / pq = 2 (b / l) = D
5) Habiendo llamado C o D al resultado habido, resulta que desarrollando la suma o resta de un término y su recíproco, resulta
                                                         x + 1/x = C x² + 1 = C x
                                                          x - 1/x = D x² - 1 = D x

6) Se tienen así ecuaciones cuadráticas que pueden presentarse a los estudiantes para su resolución. El método que se aplicaba a dicha resolución implicaba el cálculo inicial de (½ C)² o bien (½ D)² para luego sumarle la unidad, hallar su raíz cuadrada y, finalmente, sumarle o restarle el mismo término (½ C) o (½ D). Ahora bien, ese valor que debe calcular el estudiante inicialmente es (½ C)² = (d / l)² (½ D)² = (b / l)² que resulta ser el que se presenta en la columna I.

Desde el planteamiento de la construcción del triángulo rectángulo normalizado, por tanto, se ha podido llegar a postular el hecho de que los valores presentados en la tablilla Plimpton no respondan tan sólo al hecho de constituir triadas pitagóricas, sino que su funcionalidad se basa en servir de referencia para que el maestro de escribas, a partir de una serie de valores de una incógnita x (p/q), pueda construir los términos necesarios (columna I) para la resolución de ecuaciones cuadráticas que proponer a sus estudiantes.