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Figuras curvilíneas

               Círculos
            Fracciones de círculo

               Círculos

El cálculo del área del círculo es forzosamente aproximado y depende del valor de π considerado. Sin embargo, acostumbra a distinguirse en las culturas antiguas el descubrimiento de dos relaciones inicialmente distintas entre los elementos del círculo:

Constante I = Circunferencia / Diámetro
Constante II = Área / Radio²

La cuestión lingüística en Mesopotamia ya indica cierta preferencia por la primera constante. En efecto, la palabra "kippatum" que designa el círculo es la misma que se emplea para describir la circunferencia sugiriendo tal relación la posibilidad de que el círculo se conceptualice a partir de la circunferencia. En otras palabras, es el trazado de la circunferencia el que permitiría considerar el área del círculo y no la consideración de su radio. Los coeficientes empleados inciden en la misma interpretación:

Coeficiente A: "0;05 coeficiente del área del círculo".
Coeficiente B: "0;20 el diámetro del círculo".
Coeficiente C: "0;10 el radio del círculo".

Un problema donde se calculan los elementos fundamentales del círculo será especialmente ilustrativo de la secuencia de operaciones efectuadas.

"Triple 1;40, encima del registro, saldrá 5 la circunferencia del registro.
El cuadrado de 5 saldrá 25. Multiplicar 25 por 0;05, el coeficiente, y saldrá el área, 2;05".

Las operaciones indicadas se refieren a los siguientes cálculos:
En primer lugar, se considera el diámetro 1;40 y, para hallar la circunferencia, se multiplica por 3 obteniéndose 3 x 1;40 = 5. Esto indica que el escriba considera        C = 3 d         relación muy conocida en la Antigüedad por su sencillez, teniendo como origen, probablemente, la misma relación entre el diámetro y el perímetro del exágono regular que puede construirse a partir de la mitad de ese diámetro.

A continuación se eleva al cuadrado la longitud de la circunferencia de forma que, para hallar el área del círculo, se considera
                                       A = 0;05 x C² = C/12 (coeficiente A)

El origen de esta relación puede haber sido meramente empírico aunque es deducible también con bastante sencillez aritmética del hecho de que el área del círculo puede considerarse intermedio entre la del cuadrado inscrito (d²/2) y la del inscrito (d²) lo que daría lugar a tomar:

En todo caso, de la misma relación C = 3 d se deduce inmediatamente
                                                   d = 1/3 C = 0;20 C (coeficiente B)
                                                      r = d/2 = 0;10 C (coeficiente C)

             Fracciones de círculo

El interés de los escribas mesopotámicos no se reduce al círculo sino que considera como figuras de interés especial determinadas fracciones del mismo, en concreto, el semicírculo, un tercio y un cuarto de círculo. Todo ello en base a establecer sus elementos más fundamentales (área, diámetros, sector circular), paso previo al hecho de utilizarlos como elementos básicos de construcción.

Semicírculo

Respecto al semicírculo, los coeficientes que se consideran son los siguientes:

                         Coeficiente A: "0;40, el diámetro del semicírculo".
                          Coeficiente B: "0;20, el radio del semicírculo".
                          Coeficiente C: "0;02.30, coeficiente de un semicírculo".
                          Coeficiente D: "0;10, del área del semicírculo".
                          Coeficiente E: "0;15 , el coeficiente del semicírculo".
                          Coeficiente F: "0;45, del área del semicírculo".

Si S es la longitud de la semicircunferencia, será la mitad de la circunferencia completa de manera que, como C = 3 d, resultará:             
                                             S = 1;30 d
Pues bien, de esta forma puede determinarse el diámetro d a partir de la semicircunferencia:
                        d = 1/1;30 S = 0;40 S (coeficiente A)

Naturalmente, el radio será la mitad:                r = ½ 0;40 S = 0;20 S (coeficiente B)

Respecto al área, se sabe que en el caso del círculo A_C = 0;05 C ² de manera que el del semicírculo se reduciría a la mitad,
                                    A_S = ½ 0;05 C ² = 0;02.30 C ² (coeficiente C)
pero no debía ser usual expresar el área del semicírculo mediante elementos del círculo (circunferencia C). Por ello también se debía realizar lo siguiente:

  A_S = ½ 0;05 C ² = ½ 0;05 (2 S) ² = 0;05 2 S ² = 0;10 S ² (coeficiente D)

Sabiendo, no obstante, que S = 1;30 d, se puede eventualmente expresar este resultado de otro modo:
                                  A_S = 0;10 S (1;30 d) = 0;15 S d (coeficiente E)

Y aún, sabiendo que S = 3 r de igual manera:
                                     A_S = 0;15 (3 r) d = 0;45 r d (coeficiente F)

El cálculo de áreas de figuras limitadas por líneas curvas prosigue con la consideración de la tercera parte del círculo.

                            Coeficiente A: "0;30, el radio del área del arco".
                             Coeficiente B: "0;52.30, el diámetro del área del arco".
                             Coeficiente C: "0;06.33.45, coeficiente del área del arco".
                             Coeficiente D: "0;16.52.30, el coeficiente del ojo de buey".

Se considera que la tercera parte de la circunferencia, como en casos anteriores, tiene por arco DHL la unidad. En ese caso, la circunferencia tendrá de longitud 3 y el área del tercio de círculo será

A_TERCIO = 1/3 0;05 C ² = 0;01.40 x 9 ² = 0;15

Pues bien, el diámetro d será, según la fórmula del semicírculo,
                                         d = 0;40 S = 0;40 x 1;30 = 1
de donde                         r = ½ d = 0;30 (coeficiente A)

En la figura se puede comprobar que el cuadrilátero HLOD es un rombo que tiene por lado el propio radio de longitud 0;30 y está formado por dos triángulos equiláteros HOL y HOD. Por ser este tipo de triángulos, el área de cada uno de ellos será, por aplicación de lo obtenido anteriormente para triángulos:
                                   A_HOL = A_HOD = (0;30)² x 0;26.15 = 0;06.33.45

de modo que el rombo completo:
                                        A_HLOD = 2 x 0;06.33.45 = 0;13.07.30

Ahora bien, el área de este rombo es igual al semiproducto de sus diagonales, de donde podemos deducir el valor de la diagonal mayor:
                                    A_HLOD = ½ (DL x 0;30) = 0;13.07.30
                                               DL x 0;30 = 0;26.15
                                DL = 2 x 0;26.15 = 0;52.30 (coeficiente B)

El último coeficiente no se refiere tanto al área del rombo (que resulta auxiliar) como al "área del arco" y muestra un elemento que luego es utilizado al tratar otro tipo de figuras. Así, el tercio de círculo, de área total 0;15, se puede dividir en dos partes, una de tipo triangular (A₁) y otra delimitada por el arco (A₂). El área triangular se hallará teniendo en cuenta la base del triángulo isósceles que lo constituye (DL) y la altura del mismo, que es igual a la mitad del radio (0;15) tal como aparece en la figura:

de manera que el área limitada por el arco del tercio de circunferencia, la denominada "ojo de buey", será:
                        A₂ = 0;15 - 0;06.33.45 = 0;16.52.30 (coeficiente D)

La división del círculo en cuatro partes iguales viene a completar las particiones de un objeto más usuales, en mitad, tres y cuatro partes. Téngase en cuenta que la división entre cinco no era frecuente y la realizada en seis partes es deducible de las anteriores. De manera que se presentan también unos coeficientes asociados a cálculos sobre un "campo de grano", como se denominaba esta porción de círculo.

Coeficiente A: "0;13.20, el coeficiente de un campo de grano".

Para que el arco del cuarto de círculo, como en casos anteriores, tenga por longitud la unidad, la circunferencia C = 4, de manera que el diámetro resultante del círculo será:

d = 0;20 C = 0;20 x 4 = 1;20

Del mismo modo, el área del cuarto de círculo resultará ser:

A_CUARTO = 1/4 0;05 x 4 ² = 0;20

De nuevo, el cuarto de círculo puede dividirse en dos áreas, una triangular (A₁) y otra delimitada por el arco (A₂). Sus áreas se pueden calcular con facilidad:

A₁ = ½ 0;40 x 0;40 = 0;13.20 (coeficiente A)
A₂ = A_CUARTO - A₁ = 0;20 - 0;13.20 = 0;06.40

superficie que será utilizada en la siguiente figura.

Una aplicación inmediata de una de las áreas asociadas al cuarto de círculo la constituye la determinación del área de un cuadrado cóncavo. En efecto, dicha figura está formada por la parte interior que queda tras trazar los llamados "ojos de buey" completos en cada cuarto de círculo.

Coeficiente A: "0;26.40, coeficiente de un cuadrado cóncavo".
Coeficiente B: "0;53.20, el área de un harpa".

Cada uno de estos "ojos de buey" consistirá en un área doble de la A₂ obtenida antes, de manera que                                                   A_OB = 2 x 0;06.40 = 0;13.20
Los cuatro tendrán por superficie:
A_TOTAL = 4 x 0;13.20 = 0;53.20

Como el área del círculo que tiene por circunferencia 4 es

A_CIRCULO = 0;05 x 4² = 1;20
A_CONCAVO = A_CIRCULO - A_TOTAL = 1;20 - 0;53.20 = 0;26.40 (coeficiente A)

Se ha visto anteriormente que cada triángulo correspondiente al cuarto de círculo tiene por superficie,       A₁ = 0;13.20     de modo que el cuadrado completo (denominado harpa) que aparece en la figura en punteado, es
                                                     A_CUADRADO = 4 x 0;13.20 = 0;53.2
lo que permite deducir que el cuadrado cóncavo tiene por superficie la mitad del cuadrado indicado.