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Homología y afinidad en el espacio

 

HOMOLOGÍA

Las transformaciones homológicas como base de la perspectiva cónica.

 

El paralelismo que se establece entre una homología, fundamentada en el teorema de Desargues, y el sistema de la perspectiva cónica, solo es accidental. Los principios son los mismos, pero la perspectiva trata de adecuarse al mecanismo de una visión humana monocular. El centro O de la homología es sustituido por el punto de vista V, situado frente al plano de proyección PP, a una distancia variable, que influye en el ángulo de visión y en el aspecto de la representación de las formas perspectivas sobre el plano PP.

Las formas, tanto planas como tridimensionales que se registran sobre el plano geometral, tienen su forma homológica en el plano del cuadro.

Los procesos gráficos que establece la geometría descriptiva, como son los abatimientos, giros, cambios de planos, traslaciones, etc., permiten situar las formas del espacio en el plano del cuadro, o en otros paralelos, por lo que las funciones gráficas y métricas del plano son posibles. Es, por ello, imprescindible, entrar equipado con los conocimientos de los trazados de la geometría plana, si se pretenden resolver los problemas de la geometría del espacio.

Homología en el espacio
Dos figuras planas triangulares en el espacio 
donde se aprecian sus propiedades proyectivas

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El proceso puede plantearse en el plano 
conservando sus propiedades perspectivas

 

ESTUDIO PERSPECTIVO DE LAS CÓNICAS:

ELIPSE, PARÁBOLA, HIPÉRBOLA

Se impone, pues, el conocimiento de las construcciones de las figuras poligonales y curvas planas; sus relaciones de igualdad, simetría, proporción, equivalencia, etc. para abordar con éxito las formas del espacio geométrico. Traemos aquí el repaso de las llamadas curvas cónicas, tanto por su origen espacial, como por los métodos de trazado, que nos remontan a toda la geometría del plano. Del estudio de estas curvas cónicas, obtenidas por las secciones planas del cono, se deducen importantes propiedades geométricas, con base en las intersecciones planas y en la proyectividad, que son de gran importancia para comprender los mecanismos espaciales de las representaciones gráficas de la perspectiva cónica. Pues, bien mirada, la perspectiva cónica no es más que la sección plana (hecha por el plano de proyección o cuadro) con el cono visual, cono que tiene por vértice el centro O (punto de vista) y por directriz el contorno de las formas en el espacio.

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Ilustración en una perspectiva axonométrica

Cuando el punto de vista V, sustituye al centro de la homología O; el eje de homología es la línea de tierra, y la circunferencia directriz del cono visual está en el plano geometral, el plano del cuadro provoca la sección plana como ELIPSE, PARÁBOLA o  HIPÉRBOLA.

Cuando la recta límite, situada en el plano de desvanecimiento, es exterior al círculo directriz del cono visual resulta la ELIPSE. Si es tangente al cono visual se produce la PARÁBOLA, y si es secante corta las dos ramas del cono y producirá la HIPÉRBOLA. Naturalmente que el plano que produce las secciones es el Plano de Proyección.

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La sección plana del cono visual, produciendo la ELIPSE, es una homología del espacio. Llevadas las formas al plano, por abatimientos, podemos realizar los trazados propios de la geometría plana.

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De semejante modo se pueden trazar en el plano las secciones que producen la PARÁBOLA y la HIPÉRBOLA

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Para mejor comprensión de las propiedades de estas "cónicas" se puede recurrir al teorema de Apolonio sobre las cónicas. Los trazados geométricos que exponemos en el siguiente apartado son de gran utilidad conocer el origen y las propiedades de estas curvas fundamentales que, por extensión, son aplicables a otras formas de la geometría plana.

 

GEOMETRÍA DEL PLANO:

ESTUDIO GRÁFICO DE LAS CÓNICAS COMO SECCIONES PLANAS

Los trazados geométricos sobre el plano revisten gran interés, pues es sabido que las transformaciones geométricas de la perspectiva, permiten la manipulación métrica y formal de una figura, siendo reversible el paso del espacio al plano.

De la atenta observación de los siguientes dibujos podrá deducir el experto lector los métodos utilizados, sin precisar, por nuestra parte, explicaciones de metodologías farragosas, propias de otro lugar y nivel.

Insertamos aquí estos trazados geométricos de las curvas cónicas no como un método de iniciación sino, más bien, como un recordatorio sobre la lógica y precisión que requieren las formas geométricas, en su concepción y trazado, si optamos por expresar el espacio por medio de la geometría proyectiva. Son apuntes a mano alzada que ponen más énfasis en el concepto que en la pulcritud del delineado.


Elipse

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Los trazados geométricos de la ELIPSE tienen gran importancia para el trazado geométrico de la circunferencia en perspectiva. Pero debe tenerse presente que la perspectiva cónica "deforma" la circunferencia de un modo particular, que hace más complejo el uso de los elementos de la elipse: focos, vértices, diámetros conjugados, tangentes, etc.

TANGENTES. Los trazados geométricos de las rectas tangentes a la elipse tienen interés para los trazados en perspectiva cónica de conos, en el enlace de la curva directriz con las rectas generatrices; sobre todo cuando se realizan las operaciones en planos no perspectivos, o paralelos al cuadro.

 

Parábola

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Los trazados geométricos de la PARÁBOLA tienen gran interés para hacer en perspectiva este tipo de curvas abiertas de ramas en el infinito. La transformación de curva aguda, que produce un vértice curvilíneo, frente a la curva que se rectifica progresivamente hasta el infinito, es eficazmente formativa para el estudiante de la perspectiva cónica.

TANGENTES. Los trazados geométricos de las rectas tangentes a la parábola tienen particular interés para concretar el lugar geométrico, o punto de enlace  de la curva con la recta, en perspectiva cónica.

 

Hipérbola

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Los trazados geométricos de la HIPÉRBOLA tienen un relativo interés cuando esta curva se presenta en perspectiva cónica con sus dos ramas, o bien como generatriz del hiperboloide hiperbólico, como superficie de revolución. 

TANGENTES. Los trazados geométricos de las rectas tangentes a la hipérbola tienen  interés en el trazado geométrico de enlaces y convergencias en el infinito de sus ramas.