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Ejercicio del Profesor 700.jpg (93202 bytes)

SUPERFICIES DE REVOLUCIÓN


Métodos geométricos de trazado

 

Esfera

El contorno aparente de una esfera es una circunferencia; ello solo se produce en perspectiva cónica, cuando el centro de la esfera coincide con el punto P de la proyección.

En todos las demás posiciones el contorno aparente de la esfera será elíptico, y su aspecto será el de un elipsoide.

Los trazados geométricos se fundamentan en el trazado de las circunferencias de diversas secciones planas, cuya evolvente tangente a ellas constituirá el contorno aparente de la esfera.

Trazado de la esfera 701.jpg (137341 bytes)

Para el trazado de estos dos casos sirve de base el eje vertical de la esfera, perpendicular al geometral. Por su punto medio se traza a compás una circunferencia paralela al cuadro. Se trazarán cuadrados horizontales que tenga de lado la longitud de las secantes horizontales de la circunferencia base. Con tres circunferencias hemos tenido suficiente para trazar el contorno aparente de la esfera. La segunda esfera toma el mismo cuadrado por base y se trazarán otros dos cuadrados ortogonales al primero.

Este tercer método soma por base de referencia el cuadrado horizontal que sirve para construir la proyección horizontal de la esfera. Por planos paralelos al cuadro se trazaran las secciones que se estimen pertinentes, y, desde el eje de centros se trazaran a compás circunferencia secantes, que delimitarán el contorno aparente de la esfera.

La esfera Dibujo de Leonardo de Vinci.jpg 701B(55944 bytes)  701c.jpg (36290 bytes)

Estos problemas de la deformación perspectiva de la esfera ya preocuparon a Leonardo de Vinci, como testimonia en varias ocasiones: en este pequeño dibujo del Códice E (f, 16v) y otro más explicito del códice Atlántico (f, 1 ter recto). Nosotros proponemos esos esquemas con mayor rigor geométrico, para apreciar mejor la propuesta.

 

Toro y Escocia

Toro y Escocia 702.jpg (115605 bytes)

Para cualquier superficie de revolución puede servir de base el cuadrado de la traslación. Sobre ejes notables, p.e. medianas y bisectrices, se trasladarán la figura generatriz de la superficie, tomándose por base o referencia la sección mediana paralela al cuadro (que presentará el perfil geométrico sin deformación perspectiva)

 

Hélice, base del Helicoide

Para la hélice, base de los helicoides y de las escaleras llamada de caracol, se emplearán métodos semejantes a los de la esfera, como se deducen de la adjunta figura.

Hélice 703.jpg (177387 bytes)

 

INTERSECCIONES

Cilindros

Interseciones de Cilindros 704.jpg (198912 bytes)

Recordemos el principio general para trazar las intersecciones entre dos superficies: consiste en cortar ambas superficies por otras superficies auxiliares comunes. Estas superficies auxiliares deberán ser las más directas y simples posibles. Los puntos comunes de las secciones auxiliares pertenecen a la línea de sección, común a ambas superficies.

Algunos teoremas sobre las intersecciones de las cuádricas nos anticipan y facilitan el entendimiento de las intersecciones y su trazado.

Los tres casos de intersecciones entre dos cilindros perpendiculares eran previsibles: doble tangencia, dos cónicas ortogonales; una solo tangencia, una sola curva alabeada (mordedura); y en tercer lugar dos curvas independientes (penetración).

Intersecciones de cilindros 705.jpg (117383 bytes)   708.jpg (160220 bytes)  Intersección de cilindros 706.jpg (112456 bytes)

Intersecciones Bóveda de aristas   Intersecciones Cilindros Doble Tangencia  Intersecciones cilindros

La aplicación a estructuras constructivas y a morfologías arquitectónicas es frecuente. En estos casos se resuelven las intersecciones por planos paralelos, que producen secciones planas paralelas, frontales y perpendiculares.

 

Cilindro y esfera

Intersecciones cilindro y esfera 707.jpg (121250 bytes)

Resuelto por planos paralelos cuyas secciones planas son circunferencias en ambas superficies.

 

Cilindro y paraboloide

Método intersección superficies regladas 708.jpg (160220 bytes)    Paraboloide hiperbólico con cilindro 709.jpg (149671 bytes)

Resuelto por secciones planas comunes, aprovechando los planos generatrices de la construcción del paraboloide.

Ejercicio del Profesor 710.jpg (175883 bytes)

Aplicación de las intersecciones del cilindro

Regladas alabeadas por el Profesor 711.jpg (264471 bytes)

Aplicaciones de las superficies regladas alabeadas

 

EJERCICIOS DE ALUMNOS