LIC. EN ADMÓN. Y DIR. DE EMPRESAS

 

RELACIÓN DE PROBLEMAS

DE EXAMENES

 

ESTADÍSTICA II

 

Curso 2002-2003

 

 

TABLA DE CORRESPONDENCIAS ENTRE LOS TEMAS DEL PROGRAMA Y LOS PROBLEMAS

 

TEMA 1

1-3-41-78-89-95-106-107-112

TEMAS 1 y 2

2-4-6-7-9-10-12-16-17-19-21-23-24-27-31-32-34-42-46-51-52-54-56-58-61-63-66-68-71-76-81-84-86-92-97-99-108-113

TEMAS 1, 2 y 3

26-35-57-59-104

TEMA 4

29

TEMAS 1, 2, 3 y 4

73-102

TEMA 5

28-33-37-60-109

TEMA 6

111

TEMA 5 y 6

20-25-38-43-53-62-82-87-100

TEMA 7

5-22-36-50-65-70-74-77-83-88-91-9430-69

TEMAS 6 y 7

15-18-39-47-48-49-79-90-93-96-98-103-105-114

TEMAS 5, 6 y 7

11-13-14-40-44-45-55-64-67-72-75-85-103

TEMAS 1, 2, 5 y 7

8-80

 

 

PROBLEMA 1

 

Un gran lote de tubos catódicos de televisión es verificado inspeccionando uno a uno los tubos hasta encontrar el primero defectuoso. El número de tubos inspeccionados determina que el lote se acepte o no. Sea K dicho número; o sea, el lote es aceptado si K ó más tubos son inspeccionados.

a) Calcular la probabilidad de que un lote que contiene una proporción p de tubos defectuosos sea aceptado.

b) Si K=5 y p=0.1, calcular la probabilidad de aceptar el lote.

c) ¿Cual debe ser el valor de K, si se quiere rechazar por lo menos con probabilidad 0.9 un lote que tenga el 25% de los tubos defectuosos?.

 

SOLUCION:

a).- (1-P)K-1.   b).- 0.6561.   c).- 10.

 

 

PROBLEMA 2

 

De un estudio efectuado por la gerencia de la Facultad sobre el proceso de matriculación, se conoce que la proporción de solicitudes de matriculación en las ramas de Administración y Dirección de Empresas, Economía e Investigación y Técnicas de Mercado son del 0.5, 0.4 y 0.1 respectivamente.

Si en un día cualquiera se presentan 20 solicitudes de matriculación:

a) ¿Cual es la probabilidad de que dos de ellas sean para la rama de Investigación y técnicas de mercado y que el número de solicitudes para Administración y Dirección de Empresas duplique al de Economía?.

b) ¿Cual es la probabilidad de que las solicitudes para Economía y Admón. de Empresas supere el 90% de las presentadas?.

c) ¿Cual es la probabilidad de que la primera solicitud de matrícula para Investigación y Técnicas de Mercado sea la quinta de las solicitudes presentadas?. ¿Cuál será el número esperado de solicitudes presentadas dicho día hasta que aparezca la primera solicitud de matriculación en Economía?.

Para el próximo curso se desea establecer el siguiente cupo diario de admisión de solicitudes de matrícula: 20 para Admón. y Dir. de Empresas, 15 para Economía y 5 para Inv. y Téc. de Mercado. El porcentaje de solicitudes rechazadas, por diversas causas, en las ramas de Economía es del 2% , siendo idéntico porcentaje el de solicitudes de matrícula rechazadas en Admón de Empresas. En la especialidad de Téc. e Inv. de Mercado, por sus peculiares características, el porcentaje de rechazadas es sólo de 1 por mil. Siendo independientes las solicitudes rechazadas en las diferentes ramas, se desea conocer:

d) Valor esperado del total de solicitudes que se rechazarán diariamente entre las ramas de Economía y Admón de Empresas. ¿Cuál es la probabilidad de que el número diario de solicitudes rechazadas no supere dicho valor esperado?.

e) Número medio del total de solicitudes que serán rechazadas diariamente en el conjunto de las tres especialidades. ¿Cuál es la probabilidad de que el número diario de solicitudes rechazadas supere el valor medio?.

f) Si se espera que el próximo año el número de solicitudes de matrículas sea de 1200. ¿Cual es la probabilidad de que, en los 30 días establecidos para realizar la matrícula, el total de solicitudes rechazadas sea inferior al 5 por ciento de las presentadas?.

 

SOLUCION:

a).- 0'03527. b).- 0'3917. c).- 0'06561. 2'5. d).- 0'7. 0'4931 e).- 0'705. 0'5094 f).- 1.

 

 

PROBLEMA 3

 

Una empresa ha determinado que los precios de sus productos en un día cualquiera están relacionados con el nivel de demanda a través de la relación: P = 100 + (1/2)D

El nivel de oferta está relacionado con los precios que alcanza el producto mediante: O = (4/5)P

Si la demanda del producto es una variable aleatoria distribuida uniformemente entre 20 y 40:

a) Obtener la distribución de probabilidad del precio del producto y de la oferta.

b) Calcular el precio y la oferta esperados con sus correspondientes variancias.

c) Calcular la probabilidad de que exista un exceso de demanda y de oferta.

 

SOLUCION:

a).- P ~ U(110, 120). O ~ U(88, 96). b).- E[P]=115  Var[P] = 25/3. E[O] = 92  Var[O] = 16/3. c).- 0 y 1.

 

 

PROBLEMA 4

 

Para una compañía minera la función de densidad conjunta de la producción (X) y el índice de conflictividad (Y) de la zona donde se encuentra ubicada es la siguiente:

 

f(x,y) = 0.8 x e - x- 2y + 2.4 y e   x – 2 y,   x>0 ;   y>0

 

Ante el plan de reconversión de la empresa, la dirección ha pactado con los sindicatos un período de ausencia de conflictividad ya que piensa que la producción presenta (una fuerte) dependencia del índice de conflictividad. En base a esta información:

a) ¿Es admisible la hipótesis de dependencia que realiza la dirección de la empresa?. Justifíquela.

b) Obtenga la función de densidad de la producción condicionada al índice de conflictividad.

c) ¿Cuáles serían el valor medio y el valor modal de la producción, en el supuesto de que los sindicatos cumplan el compromiso pactado?.

d) La producción obtenida puede destinarse a dos mercados, con márgenes brutos gananciales G1 y G2, tales que Var(G1)=32.56 , Var(G2)=21.97 y Cov(G1,G2)=-4.31 . Si se adopta como función del riesgo de las ganancias: R= Var [a.G1 + (1-a).G2], estando comprendida a entre 0 y 1. ¿Cuál sería la partición de las ventas (a) que minimiza el riesgo?.

 

SOLUCION:

a).- Si. La función de densidad conjunta no es igual al producto de las funciones de  densidad marginales . b).- f(x/y)=(xe-x+3ye-x)/(1+3y) ,  x,y>0  c).- 2 y 1, respectivamente.   d).- a = 0'4161.

 

 

PROBLEMA 5

 

La compañía telefónica de un país determinado estudia continuamente la duración de las llamadas telefónicas y la variabilidad de su duración. Supongamos que la variancia de la llamadas de todo el país es de 4 (minutos)2. La compañía desea determinar si las llamadas efectuadas en cierta localidad difieren de las de todo el país en cuanto a su variabilidad, medida mediante la variancia. Suponiendo que la duración de las llamadas se distribuye Normalmente,

a) ¿Cuales serían las hipótesis nula y alternativa que habría que establecer en el caso descrito?.

b) ¿Que región crítica habría que usar en dicho contraste para un nivel de significación del 5% y una muestra aleatoria de 25 llamadas?. Obténgase dicha región crítica.

c) ¿Se aceptaría o se rechazaría la hipótesis nula si en tal muestra la variancia fuera 2.5?. Justifíquese.

 

SOLUCION:

a).- H0:s2=4   H1:s2¹4. b).- 6'25 S2<12'401  ó  6'25 S2>39'364. c).- Se acepta, pues 12'401<15'625<39'364.

 

 

PROBLEMA 6

 

En la famosa hamburguesería Pizza-Uff solo se venden dos tipos de refrescos de cola: Cola-Loca y Porsi-Cola. Por un estudio realizado sobre la demanda de bebidas de cola, en el entorno donde se localiza dicho establecimiento, se podría suponer que la demanda conjunta semanal de ambas marcas en la hamburguesería tiene una función de densidad proporcional al número de unidades vendidas de Cola-Loca, vendiéndose siempre menos unidades de Porsi-Cola que de la marca rival y siendo la venta semanal de Cola-Loca inferior a 2.000 unidades.

a) Admitiéndose el citado modelo, si la demanda de Cola-Loca durante una semana fuera de 1.500 unidades, ¿cual sería la demanda esperada de Porsi-Cola?.

b) El precio de venta al público de cada unidad de ambas marcas es de 80 pesetas, calcular el ingreso esperado por la venta de bebidas de cola en una semana cualquiera.

c) Calcular la probabilidad de que el ingreso obtenido por la venta de ambas bebidas en una semana sea superior a 240.000 pesetas.

d) La  factura  de electricidad  llega la  segunda  semana de cada   mes.  Calcular  la  probabilidad  de que se pueda hacer frente a dicha factura con las ventas de unidades deescos de Cola-Loca en dicho período?.

 

SOLUCION:

a).- 750. b).- 180.000 ptas. c).- 0'171875. d).- 0'51. e).- 0'5.

 

 

PROBLEMA 7

 

Los clientes de Pizza-Uff optan por pedir 0, 1, 2, o 3 rodajas de tomates en sus hamburguesas con probabilidades 0'15, 0'50, 0'25 y 0'10 respectivamente, se venden 500 hamburguesas durante la hora del almuerzo. De un tomate salen 6, 7 u 8 rodajas con probabilidad 0'2, 0'6 y 0'2 respectivamente. ¿Cual es la probabilidad de que con 100 tomates se tengan rodajas suficientes para la hora del almuerzo?.

 

SOLUCION:

0'9938.

 

 

PROBLEMA 8

 

Un fabricante de lámparas para proyectores crea un nuevo modelo cuyo proceso de producción consta de 2 fases independientes, cuyos tiempos de duración X e Y presentan la siguiente función de densidad conjunta:   f(x,y) = (k/2) e- k (x+y)  ,    x>0    y>0

En su opinión, este modelo bajo condiciones normales tiene un período de vida mínimo de C horas y un período de vida máximo de D horas, pudiendo fallar en cualquier momento entre C y D horas.

Por contra, uno de sus mejores clientes, tras utilizar varios pedidos, opina que el período de vida útil de las nuevas lámparas sigue un modelo exponencial con 7 horas de vida media útil.

El fabricante prueba 10 lámparas y registra los siguientes tiempos de duración:      9'5; 9'7; 8'2; 6'5; 6'0; 7'8; 10; 9'3; 8'6; 9'7. Tras dicha prueba, le acepta al cliente la distribución exponencial para el tiempo de duración de la nueva lámpara pero con una vida media útil de 8 horas. Obtener:

a) La duración esperada para el total del proceso de fabricación de una lámpara, conociendo que en la primera fase se ha empleado 1 hora y 30 minutos.

b) Probabilidad de que el tiempo de producción de 100 lámparas no sobrepase las 410 horas.

En base a los datos muestrales:

c) ¿Cual sería la estimación máximo verosímil para el tiempo medio de duración de una lámpara en base a la opinión original del fabricante sobre el tiempo de duración del nuevo modelo?.

d) Admitida por fabricante y cliente la distribución exponencial para el tiempo de vida útil de las lámparas, construya el test más potente (para un nivel de significación a = 0'05) para contrastar la hipótesis nula H0:l=l0 , siendo l0 el valor del parámetro de la distribución exponencial correspondiente a la opinión del fabricante; frente a la hipótesis alternativa H1:l=l1, que es el valor del parámetro que corresponde a la exponencial cuyo valor medio es el que mantiene el cliente.

e) Construir para l, por el método de la cantidad pivotal, un intervalo del 95% de confianza.

 

SOLUCION:

a).- 3h 30'. b).- 0'6368. c).- 8 horas. d).- R.C:  Sxi<43.4  e).- (0'056, 0'2).

 

 

PROBLEMA 9

 

Durante las fechas navideñas el 55% de los niños de 7 y 8 años de un colegio determinado escribe su carta a los Reyes Magos, y del 45% restante, 2/3 lo hace a Papa Noel, deseosos de disfrutar de sus juguetes la práctica totalidad de las vacaciones, y los demás niños no escriben carta, pues ya saben la auténtica procedencia de los regalos navideños.

a) Si se eligen al azar a 10 de estos niños,   calcula la probabilidad de que  6 escriban a  los   Reyes  Magos y al menos 2 lo hagan a Papa Noel.

b) Si en lugar de elegir 10 niños de entre todo el colectivo, se eligen al azar 50 de entre todos los que escriben carta, ¿ cual sería la probabilidad de que Papa Noel reciba a lo sumo 12 de esas 50 cartas?.

c) Hasta la víspera de Navidad sólo el 25% de los niños que escriben a los Reyes Magos ha depositado ya su carta en el buzón de Correos, mientras que el 90% de los seguidores de Papa Noel ya lo ha hecho, pues éste llega antes. Si se elige al azar un grupo de 15 niños de entre todos los de 7 y 8 años del colegio y suponemos que todas las cartas depositadas en Correos ya han llegado a su destino, calcula la probabilidad de que entre ambos ilustres y generosos destinatarios hayan recibido ya 5 cartas.

 

SOLUCION:

a).- 0'2119. b).- 0'0475.  c).- 0'18.

 

 

PROBLEMA 10

 

0

Sean las variables aleatorias independientes X e Y que expresan las desviaciones (en minutos) sobre las duraciones anunciadas de los trenes AVE y TALGO en el trayecto Madrid-Sevilla. La función de densidad conjunta de ambas variables es:

 

 

 


0

siendo sus respectivas funciones características:

 

 

 

A partir de esta información se desea conocer:

a) Los modelos de probabilidad y sus correspondientes funciones de densidad para cada una de las variables.

b) El valor medio y la variancia de las desviaciones de ambos trenes sobre el horario previsto.

c) ¿Existe alguna relación entre las probabilidades de retraso sobre el horario fijado de los trenes AVE y TALGO?. Justifíquelo. Para un viaje cualquiera, ¿para cual de ambos trenes existe mayor probabilidad de que el retraso sea, exactamente, de 5 minutos?.

d) ¿Que porcentaje de trenes AVE llegan con más de 2 minutos de retraso?. ¿Que proporción de trenes TALGO sufren retrasos inferiores a 2 minutos?.

e) ¿Cual sería el tiempo de retraso acumulado que no sería superado, con probabilidad 0'95, por el tren TALGO en sus 36 recorridos mensuales del trayecto Madrid-Sevilla, supuesta la independencia de las desviaciones de cada viaje?.

 

SOLUCION:

a).-X ~ N(0, 4) e Y ~ Exp(1/5).  b).-0 y 16 para la v.a X y 5 y 25 para la v.a. Y. c).- la probabilidad de retraso del Talgo es doble que la del AVE. Ambas son nulas. d).- 30'85% y 0'3297. e).- 229.35 minutos.

 

 

PROBLEMA 11

 

Para las variables aleatorias X e Y que modelizan las desviaciones (en minutos) sobre el horario previsto de los trenes AVE y TALGO, el gabinete de estudios de RENFE supone distribuciones Normal y Exponencial, respectivamente. Desconociendo los valores de los parámetros que caracterizan ambas distribuciones, con objeto de obtener información sobre dichos valores obtiene, para cada tipo de trenes, muestras de estas desviaciones con los siguientes resultados: 

AVE:       0, 1, -2, -1, 2, 0, 5, 2, -3, 1.

TALGO:  6, 3, 6, 5, 0, 8, 7, 9.

En base a esta información responda a las siguientes cuestiones:

a) Obtenga intervalos del 95% de confianza para la media y la variancia de la distribución de las desviaciones de los trenes AVE.

b) ¿Cual sería el máximo nivel de significación al que sería admitida la hipótesis nula de un valor medio de +2'525 minutos, para la distribución de las desviaciones sobre el horario previsto de los trenes AVE?.

c) Obtenga la estimación máximo verosímil del parámetro desconocido de la distribución exponencial supuesta para  las   desviaciones  de  los  trenes  

d) Si admitimos como cierta la distribución supuesta para las desviaciones de los trenes TALGO,¿cual sería la probabilidad de que uno de ellos llegase antes del horario previsto?.

e) Si en lugar de la hipótesis del gabinete de estudios de RENFE, se supone que ambas variables X e Y siguen distribuciones Normales, ¿sería admisible, para un nivel de significación del 5%, que ambas desviaciones presentan igual variabilidad?.

 

SOLUCION:

a).- (-1'12, 2'12) y (2'44,17'22).     b).- 2%    c).- 1/5'5 . Media muestral. (3'05, 12'74)  d).- 0.   e).- Si.

 

 

PROBLEMA 12

 

Los ingresos (variable X) y los gastos (variable Y)  mensuales de un negocio tienen una función de densidad conjunta proporcional al producto de ambos. Sabemos además que tanto los ingresos como los gastos son positivos y menores que 2 millones siempre, y que el negocio nunca produce pérdidas. Determinar:

a) La función de densidad conjunta, así como las marginales.

b) La probabilidad de que el ingreso sea superior a 1 millón, dado que el gasto ha sido inferior a 1 millón.

 

SOLUCION:

a).-f(x,y)=0.5xy, 0<y<x<2;  fx(x)=0.25x3, 0<x<2;  fy(y)=y-0.25y3 , 0<y<2.  b).- 6/7

0

 

 

PROBLEMA 13

 

Tres alumnos de cuarto curso de Admon. Y Dir. de Empresas de una Universidad cualquiera están realizando un trabajo para publicarlo en un número de la Gaceta Universitaria, sobre el retraso con que los profesores de su facultad comienzan sus clases. Los tres asumen que dicho retraso tiene un comportamiento Exponencial, cuyo valor medio quieren estimar a partir de una muestra aleatoria de n (mayor que 1) retrasos en otras tantas clases de diversas asignaturas, pero no logran ponerse de acuerdo acerca de la estimación más adecuada.

Emma María Varó es partidaria de utilizar el Estimador Máximo Verosímil, en base a sus buenas propiedades asintóticas, lo cual para ella siempre es una garantía; mientras que Ernesto Esteve sostiene que eso de las propiedades asintóticas es una pura cuestión teórica, sin mayor trascendencia en la práctica, por lo que, según él, es mejor atender a los criterios de insesgadez y mínima variancia, inclinándose por emplear el Estimador Eficiente, en caso de que exista.

Myriam Martínez es más pragmática, y como ella no tiene claro lo referente a la insesgadez, propiedades asintóticas y demás historias, trata sin éxito de convencer a sus compañeros de que lo mejor es dejarse de cuentos chinos y emplear el método de los momentos, por ser el más sencillo y rápido.

Como quiera que los chavales no se atreven a consultar a sus profesores de Estadística, ante el temor (totalmente infundado, desde luego) de que se den por aludidos, debido a lo delicado de la variable que están analizando, imagínate que acuden a ti para que los asesores, y responde las tres siguientes sencillas cuestiones:

a) Calcula los tres estimadores, y diles cual es el que deben emplear, justificándolo.

b) Obtén por los métodos de Neyman y de la cantidad pivotal, sendos intervalos aleatorios, por si a estos alumnos se les ocurriera calcular algún intervalo de confianza.

c) Proporciónales la región crítica del test más potente para poder contrastar la hipótesis nula de un retraso medio de 6 minutos frente a uno de 8 minutos, pues los tres chavales han recopilado información de otros centros de la Universidad, y estos fueron los retrasos más frecuentes en cursos anteriores.

Nota: EMV, EE y MM insisten en que los que ellos pretenden estimar es el retraso medio.

 

SOLUCION::

a).- Los tres son  . b).- Los intervalos son:                                              c).-

 

 

PROBLEMA 14

 

Tras la reforma de los planes de estudio en la facultad de C.C. E.E. y E.E., se desea conocer la respuesta de los estudiantes. Para ello se pasa una encuesta en la que solo caben dos respuestas: si está a favor o no está a favor de la reforma. Para realizar dicha encuesta se hacen 1.000 entrevistas. Este trabajo arroja los siguientes resultados: contestaron todos los alumnos entrevistados, el número de respuestas en contra duplicaron al número de respuestas a favor de la reforma.  Se pide:

a) Obtenga el estimador de máxima verosimilitud de la proporción de respuestas a favor de la reforma.

b) Construya un intervalo del 95% de confianza para dicha proporción.

c) ¿Como podríamos reducir la amplitud del intervalo a la mitad, manteniendo el mismo grado de confianza (95%)?. ¿Qué número de entrevistas tendremos que realizar para reducir la amplitud del intervalo de confianza en los términos expresados?.

d) Si antes de realizar la encuesta deseáramos estimar un intervalo de confianza del 95% para la proporción de respuestas a favor de la reforma de los planes con una amplitud máxima de 0.06 . ¿Cual sería el número de entrevistas necesario?.

 

SOLUCION:

a).- = Sxi/1000  b).-(1/3 ± 0'0292).  c).- Aumentando el tamaño muestral. 4000  .d).- 1068.

 

 

PROBLEMA 15

 

El beneficio diario de una empresa de transporte es una variable aleatoria con distribución normal de parámetros desconocidos. De una muestra aleatoria de 20 días se observó un beneficio medio de 32 millones de pesetas y una variancia de 25. Determinar:

a) Un intervalo de confianza del 99% para el beneficio medio diario de la empresa.

b) Un intervalo de confianza del 100% para dicho beneficio diario medio.

c) Si la dirección de la empresa desea trabajar con una precisión de más-menos 2,4 millones de pesetas, ¿sería el grado de confianza superior al señalado en el apartado a) ?, razone la respuesta. Determine el nivel de confianza que le correspondería a la precisión indicada.

d) ¿Sería posible obtener un intervalo de confianza del 99% con una precisión de más-menos 2,4 millones de pesetas?. En caso afirmativo explique el modo de obtenerlo.

e) Contrastar con un nivel de significación de del 5% la hipótesis de que el valor de la variancia del beneficio diario coincide con el de la cuasivariancia de nuestra muestra.

 

SOLUCION:

a).- (28'718, 35'282). b).- (-¥,+¥). c).- No. 95%. d).- Si, con n > 20. e).- No se rechaza H0. 

 

 

PROBLEMA 16

 

Durante el pasado verano, las cadenas de TV Antena X y Tele Y han optado por diferentes parrillas de programación vespertina. Así, Antena X ha apostado por las retransmisiones futbolísticas, mientras que Tele Y prácticamente las ha suprimido de su programación.

Realizado un estudio comparativo de los ingresos diarios por publicidad de ambas cadenas y denotando por X e Y  (expresadas en 108 pesetas) las variables aleatorias representativas de dichos ingresos, se ha obtenido como densidad conjunta de los mismos: f(x,y) = k , 0 £ x £ 3 , 0 £ y £ x/3. Obtener:

a) ¿Qué cadena presenta mayor variabilidad en sus ingresos diarios por publicidad?.

b) ¿ Cual será el ingreso esperado en Tele Y el día que Antena X ha recaudado por publicidad 150 millones de pesetas?.¿Cual es la probabilidad que un día cualquiera las recaudaciones publicitarias de ambas cadenas coincidan con sus valores esperados?.

c) Calcule para la cadena Tn día determinado Antena X recauda más de 200 millones de pesetas. ¿Cual es la probabilidad de que la cadena Tele Y recaude:  1) Más de 100 millones de pesetas.  2) Menos de  100 millones  de pesetas. 3) Menos de 50 millones de pesetas?.

 

SOLUCION:

a).- Tele Y. b).- 25 millones. 0. c).-  No existe,  2'12. d).- 0, 1 y 0'6.

 

 

PROBLEMA 17

 

El número de personas que acuden diariamente a una sala de cine es una variable aleatoria, cuya media es de 100 y desviación estándar 50 personas. El propietario del establecimiento quiere hacer una reforma cuyos gastos ascienden a 1.800.000 pts. y le obliga a tener cerrado el cine durante un mes.

El precio de las entradas es de 400 pts. y solo hay una sesión diaria. El propietario desea que a partir de la reapertura del local se cubran los gastos ocasionados por la reforma en un plazo de dos meses. Conteste a las siguientes cuestiones:

a) ¿Puede mantener el mismo precio de las entradas para lograr su propósito con una probabilidad igual a 0'95, teniendo en cuenta que tiene unos gastos fijos de 20.000 pts. diarias?.

b) En caso de no amortizar con una probabilidad de 0.95 la inversión en el plazo de dos meses con el precio de 400 pts, tendrá que modificar, bien el precio de la entrada, bien el plazo de tiempo establecido para dicha amortización, para asegurar dicha probabilidad:

1.- Manteniendo el plazo de tiempo, ¿A que precio deberá vender las entradas?.

2.- Manteniendo el precio de 400 pts., ¿Cuanto tiempo necesitará para ello?

 

SOLUCION:

a).- No. b).- 560 ptas. c) 107 días.

 

 

PROBLEMA 18

 

Una encuesta realizada recientemente pone de manifiesto que en cierta capital de provincia, de un total de 2500 personas adultas consultadas, 1400 optan por realizar sus compras navideñas en las llamadas grandes superficies comerciales, mientras que las restantes se inclina por el comercio tradicional.

a) Obtén un intervalo del 99% de confianza para la proporción de habitantes de esta ciudad que prefiere las grandes superficies comerciales. Con este resultado, ¿se podría afirmar que la mayoría de las personas adultas de esta capital opta por este tipo de comercio?. Justifícalo.

b) Si el número de encuestados  hubiera sido 225 en lugar de 2500, ¿cuantos de ellos tendrían que haberse mostrado a favor de las grandes superficies para que el correspondiente intervalo del 99% de confianza tuviera idéntica amplitud al del apartado a)?.

c) A partir de los resultados de la encuesta realizada a 2500 personas, contrasta la hipótesis de que la mayoría de la población adulta se inclina por las grandes superficies, con un nivel de significación del 1%

d) ¿Cual debería haber sido, como mínimo,  la proporción muestral favorable, (para el mismo número de encuestados), a este tipo de comercio para aceptar la hipótesis del apartado c) al mismo nivel de significación?.

 

SOLUCION:

a).- (0'5344 , 0'5855) .Si  b).- 220.  c).- Se acepta la hipótesis.  d).- 0'4767.

 

 

PROBLEMA 19

 

A una parada de autobuses llegan diariamente 2 únicas líneas (1 y 2), siendo el número de pasajeros que llegan, en cada una de ellas, variables aleatorias, a las que llamaremos:

X: nº de pasajeros que llegan diariamente a la parada en la línea 1.(miles de personas).

Y: nº de pasajeros que llegan diariamente a la parada en la línea 2. (miles de personas).

Sabemos que la función de densidad conjunta de X e Y es constante (f(x,y)=k), además el número total de pasajeros que llegan diariamente a dicha parada está comprendido entre 2.000 y 4.000, siendo más numeroso el número de pasajeros procedentes de la línea 1, aunque la diferencia entre ambas líneas nunca supera los 2.000 pasajeros. Calcule:

a) La función de densidad conjunta de X e Y.

b) Si se sabe que un día llegaron 2.500 pasajeros en la línea 1, ¿Cual será el número esperado de pasajeros que llegaron en la línea 2?.

c) La probabilidad de que el número total de pasajeros que llegan a la parada en un día sea superior a los 3.500.

 

SOLUCION:

a).- f(x,y) = 1/2. b).- 1.000. c).- 0'25.

 

 

PROBLEMA 20

 

El número de días que transcurren entre la recepción de un aviso pedido y su expedición es una variable aleatoria distribuida según un modelo exponencial. La dirección de la empresa desea analizar el comportamiento de dicha variable mediante el método de la máxima verosimilitud, pero duda entre utilizar una muestra aleatoria de tamaño uno o bien otra, aleatoria también, de tamaño superior. Se pide:

a) Calcular el estimador máximo verosímil del parámetro del modelo probabilístico en ambos casos.

b) Se sospecha, por parte de la dirección de la empresa, que dicho parámetro solo puede tomar uno de los tres valores siguientes: 0.5, 1.0, 1.5 . Se decide por tanto tomar muestras de tamaño uno, pero debido a problemas en la toma de datos, al final del proceso de muestreo se desconoce el valor observado, aunque se puede afirmar que está comprendido entre 1.7 y 2.6. ¿Cuál será la estimación obtenida por la dirección de la empresa.?

c) En el supuesto de que la empresa opte por tomar muestras de tamaño superior a uno, ¿Cual sería el estimador de máxima verosimilitud del número medio de días transcurridos entre la recepción del aviso de pedido y su expedición?. Estudiar la eficiencia de dicho estimador.

d) Para el caso de muestras unitarias, aplique el método de Neyman para obtener un intervalo de confianza del 90% para el parámetro del modelo probabilístico si la observación muestral fuese 2?.

 

SOLUCION:

a).- Para n=1 es 1/x y para n>1 es   b).- 0'5.   c).-  la media muestral es eficiente.  d).- (0'026, 1'498).

 

 

 

PROBLEMA 21

 

Las características de tiempo de un determinado proceso productivo son las siguientes:

 - “Tiempo de producción X1": minutos que una unidad permanece en el proceso productivo.

 - “Tiempo de almacenamiento X2": minutos transcurridos desde que la unidad sale del proceso de producción hasta que es almacenada.

Para ambas características se especifica una función de densidad conjunta dada por:

0

Se desea conocer:

a) La probabilidad de que el tiempo de producción de un lote de 100 unidades sea superior a 4 horas y 30 minutos.

b) La probabilidad de que transcurran más de 5 minutos desde que una unidad inicia el proceso hasta que es almacenada.

 

SOLUCION:

a).- 0'999423. b).- 0'37976.

 

 

PROBLEMA 22

 

La hamburguesería Pizza-Uff adquiere cajas de tomates de 2 proveedores distintos, A y B. Las cajas procedentes de A tienen un peso medio de 5 Kgs. y las de B de 6 Kgs. En ambos casos es admisible un modelo Normal para representar el peso de las cajas de tomates, con desviación estándar común de 0,8 Kgs. Por dificultades surgidas  en el  abastecimiento,  desde hace algún tiempo  solo se  compra a uno de los proveedores, desconociendo cual de ellos es. Diseñe un test estadístico, de forma que las probabilidades de error tipo I y II sean, respectivamente, del 5% y 10%, determinando la región crítica y el tamaño de la muestra, para contrastar la hipótesis de que últimamente el abastecimiento corresponde al proveedor A (peso medio de la caja de tomates de 5 Kgs).

 

SOLUCION:

R.C.:  y tamaño de la muestra n= 6.

 

 

PROBLEMA 23

 

Una empresa se dedica a la fabricación y venta de un determinado producto A y un conjunto B de elementos accesorios. Las demandas semanales de ambos productos en miles de unidades que representamos por, X e Y respectivamente, pueden suponerse variables aleatorias con función de densidad conjunta: f(x,y)=2xy, 0<x<2   0<y<x/2

b) La probabilidad de que la demanda de elementos accesorios sea menor de 500 unidades, si la demanda del producto principal A es de 1.500 unidades.

c) Para una demanda de A de 1.000 unidades, la demanda esperada de productos accesorios.

d) La probabilidad que la demanda conjunta de A y B sea inferior a 1.200 unidades, si conocemos que la demanda de A ha sido de 1.000 unidades.

e) La probabilidad de que la demanda anual (50 semanas) de A sea inferior a 50.000 unidades.

 

SOLUCION:        

a).- No. b).- 4/9. c).- 1/3. d).- 0'16. e).- 0.

 

 

PROBLEMA 24

 

Una entidad bancaria dispone de 2000 agencias urbanas, cada una de las cuales dispone de un empleado dedicado exclusivamente a atender a los clientes que solicitan un préstamo en la entidad. El consejo de administración del banco ha realizado un estudio estadístico con el fin de conocer el número de personas que diariamente solicitan préstamo en dicha entidad, llegando a la conclusión de que la distribución del número de clientes por día que les solicitan un préstamo es del tipo Poisson, para cada oficina, recibiendo cada una de ellas el mismo número medio de solicitudes de préstamo diariamente. ¿Cual será la probabilidad de que el número total de clientes por día que solicitan un préstamo sea mayor que el valor esperado del total de personas por día que solicitan un préstamo de la entidad?.

 

SOLUCION:

0'5.

 

 

PROBLEMA 25

 

Una variable aleatoria X se distribuye normalmente con media m conocida y variancia s2. Para estimar dicha variancia se elige como más conveniente un estimador análogo al estimador de máxima verosimilitud del parámetro q de la función de densidad de la variable Y, cuya función de densidad es la siguiente:

0            La razón de es de esta elección es que el valor de la media poblacional (m, conocida) de la variable aleatoria X garantiza la insesgadez de dicho estimador para la variancia poblacional de X. A partir de esta información se pide:

La razón de esta elección es que el valor de la media poblacional (m conocida) de la variable aleatoria X garantiza la insesgadez de dicho estimador para la variancia poblacional de X. A partir de esta información, se pide:

a) Obtener el estimador de máxima verosimilitud para q y por analogía el estimador de la variancia de X.

b) El valor de la media poblacional de X.

c) Mediante una muestra aleatoria simple, construir un intervalo del 95% de confianza para la variancia poblacional de X si se conoce que la suma de los cuadrados de los veinte valores muestrales es igual a cinco.

 

SOLUCION:

a).- b).- 0.    c).- (0'1463271, 0'521322).

 

 

PROBLEMA 26

 

La vida útil (X), medida en años, del componente mecánico de un sistema de ensamblaje sigue una distribución de probabilidad exponencial de parámetro lx=1. A su vez, el período útil (Y) del componente eléctrico, también con distribución exponencial, tiene una duración media de 2 años. Ambos componentes constituyen un sistema que fallará tan pronto como uno de los componentes falle. Suponiendo la independencia de X e Y :

a) Encontrar la probabilidad de que el sistema no supere un año de funcionamiento.

b) Si mediante los oportunos cambios técnicos se lograse obtener el funcionamiento del sistema solo con uno de los componentes, entrando el otro en funcionamiento tras el fallo del primero. ¿En que porcentaje reduciríamos la probabilidad anterior?.

c) Si tras los cambios efectuados el número diario de unidades ensambladas (T) es una variable aleatoria con función de densidad: ft(t)= t e-t, para t>0. ¿Cual es la probabilidad de que en 32 días se satisfaga un pedido de 80 unidades?.

 

SOLUCION:

a).- 0'7769. b).- 80%. c).- 0'0228.

 

 

PROBLEMA 27

 

El número de alumnos matriculados en el primer ciclo de la Licenciatura en Administración y Dirección de Empresas (variable X, expresada en miles) y en el primer ciclo de la Licenciatura en Economía (variable Y, en miles), en una determinada Facultad, se pueden modelizar mediante la siguiente densidad conjunta:

f(x,y) = 3(x2+y2)/K  ,  0<x<1  ,  0<y <K/2

0

a) Calcula el valor de la constante K.

La experiencia indica que de la totalidad de los alumnos matriculados en el primer curso de la Licenciatura en Economía, la mitad pasa a segundo curso, la tercera parte repite curso, y del resto el 30% abandona los estudios de la Facultad y el 70% restante se matricula en primero de Administración y Dirección de Empresas. Pues bien, suponiendo que las calificaciones de los alumnos de Economía son independientes:

b) Calcula (o al menos plantea bien) la probabilidad de que en un grupo de 10 amiguetes de primero de Economía, 5 pasen a segundo y 2 abandonen los estudios de esta facultad.

Un departamento de esta Facultad ha invitado a un insigne y ameno economista de reconocido prestigio para pronunciar una conferencia, y según estiman los organizadores del evento, el número de asistentes a este tipo de actos sigue una distribución de Poisson con una media de 10 asistentes por cada cinco minutos, desde que el conferenciante comienza a hablar hasta que concluye. Las puertas de la sala no se abrirán al público hasta el momento que el conferenciante comience a disertar, y hasta ese momento sólo se permitirá la entrada a las 120 autoridades académicas que han recibido invitación, las cuales ya han confirmado su asistencia. La conferencia dura 3 horas, y los organizadores dan por seguro que debido al carisma y al desparpajo del conferenciante, nadie abandonará la sala hasta que finalice, ni aún sintiéndose indispuesto.

c) ¿Cuantas sillas, como mínimo, tendrá que haber en la sala, si el decano de la Facultad quiere asegurar con una probabilidad de al menos el 90% que haya asiento para todos los asistentes.

 

SOLUCION:

a).- K = 2. b).- 0'018. c).- 505 sillas.

 

 

PROBLEMA 28

 

La compañía de seguros PARTE S.A. está convencida de que el número de siniestros por robo en inmuebles

en una semana se ajusta a una ley de Poisson. Obtener para el número medio de siniestros semanal, un estimador máximo verosímil y comprobar su eficiencia.

Considerando que en las siete últimas semanas se produjeron 59 robos, calcular la estimación máximo verosímil del número medio de siniestros.

 

SOLUCION:

La media muestral: 8'4285.

 

 

PROBLEMA 29

 

Supongamos que las lámparas fabricadas mediante un determinado proceso tienen una vida media de 2.000 horas con una desviación estándar de 200 horas, siendo su distribución normal. Supongamos también que se considera aconsejable sustituir el proceso si la vida media puede aumentarse al menos en un 10%. Un ingeniero desea poner a prueba un nuevo proceso, admitiendo que la desviación estándar de la distribución de vida de las lámparas es, aproximadamente, la misma que para el proceso considerado al principio. ¿Que tamaño de muestra deberá examinar el ingeniero si quiere que la probabilidad de no adoptar el nuevo proceso sea de 0,01,  cuando con él se obtienen en efecto lámparas con una vida media de 2.250 horas?.

 

SOLUCION:

n = 87 lámparas.

 

 

PROBLEMA 30

 

El tiempo que emplean en realizar consultas a sus profesores, fuera de clase, en las horas de tutorías establecidas al efecto, los alumnos matriculados ean lang=ES-TRAD>, desconocido, que se desea verificar. Para ello se quiere contrastar la hipótesis nula q=1 hora frente a la alternativa q=1'5 horas por medio de la observación del tiempo que dedica a este menester un único alumno de segundo ciclo elegido al azar.

a) Calcula las probabilidades de cometer error de tipo I y error de tipo II, considerando como región crítica que el tiempo empleado por tal alumno sea inferir o igual a 30 minutos. Representar en un mismo gráfico la densidad poblacional suponiendo cierta la hipótesis nula y suponiéndola falsa, así como las regiones críticas y de aceptación.

Si se supone que la calificación obtenida en la convocatoria ordinaria de cierta asignatura curricular, por los alumnos que la cursan, se distribuye según el modelo Normal:

b) Obtener a partir de una muestra aleatoria simple de n alumnos (n > 1):

El estimador de máxima verosimilitud de la calificación media del curso, suponiendo conocida la variancia. ¿Influiría el hecho de que la variancia fuese desconocida?. Coméntelo brevemente.

El estimador máximo verosímil de la variancia de la calificación obtenida por los alumnos matriculados en esa asignatura, una vez que se conoce el estimador anterior. ¿Sería difícil a partir de este resultado obtener el estimador de máxima verosimilitud de la desviación estándar?. Justifícalo en pocas palabras y, en caso de no ser complicado, obténlo.

 

SOLUCION:

a).- 0'5 y 0'66. b).- Media, variancia y desviación estándar muestral.

 

 

PROBLEMA 31

 

Una cadena de grandes almacenes posee  treinta establecimientos en otras  tantas ciudades.  La demanda

mensual de 2 productos sustitutivos, A y B sigue en cada establecimiento una distribución conjunta Normal Bivariante, siendo la media de la demanda de A 100 Kgs y su desviación estándar 10 Kgs.

El coeficiente de  correlación  lineal de las  demandas  mensuales de A y B, por  mes y establecimiento es de –0'5. Se sabe, además, que la demanda media total de ambos productos, también por mes y establecimiento, es de 220 Kgs. y su variancia 124 Kgs².

Si el precio por Kg. de A es de 8 unidades monetarias y el de B, 10 u.m., y suponiendo que cada establecimiento tiene cantidad suficiente de producto para satisfacer la demanda:

a) Obtén el vector de medias y la matriz de variancias y covariancias de la demanda conjunta mensual de ambos productos, en uno cualquiera de los establecimientos.

b) Calcula la probabilidad de que la venta total de ambos productos supere en un mes las 2.000 u.m., en un establecimiento de los 30 de la cadena.

c) Suponiendo que la venta (y consecuentemente la demanda) en cada establecimiento es independiente de la de los 29 restantes, obtenga la probabilidad de que la venta del producto A sea dos tercios mayor que la de B en el conjunto de los 30 establecimientos.

 

SOLUCION:

a).-       b).- 0'5.   c).- 0'5.

 

 

PROBLEMA 32

 

Una empresa textil posee dos factorías con sistemas de producción diferentes. Sus producciones diarias (en nº de unidades producidas) son variables aleatorias con funciones de distribución:

0

Se desea conocer:

a) ¿ Cual de las dos factorías presenta mayor variabilidad en su producción diaria?. Justifíquelo.

b) ¿ Cual es la probabilidad que la producción diaria de la factoría Y sea igual o superior que la de X?.

 

SOLUCION:

a).- La factoría X. b).- 5/6.

 

 

PROBLEMA 33

 

Cierta empresa fabrica placas metálicas de diversos tipos y tamaños. Uno de sus problemas ha sido el establecer el tamaño exacto de las placas una vez cortadas, pues como fácilmente puede comprenderse, es de vital importancia que la longitud de la placa esté comprendida dentro de ciertos límites de precisión. Para ello, esta empresa ha adquirido un sofisticado aparato de medición de fabricación japonesa. Pero claro, la alta tecnología nipona no evita los errores aleatorios en la medida. Así, la medición efectuada por tan excelente aparato, que podemos denotar por la variable aleatoria X, según dicen los ingenieros japoneses tiene una distribución Normal centrada en la auténtica longitud de la placa. Para tratar de compensar los errores, los astutos japoneses lo han diseñado de tal modo que en lugar de efectuar una sola medición, ofrece dos valores independientes, que vamos a denotar por X1 y X2, para que el usuario haga las estimaciones que crea oportunas

a) Vamos nosotros a considerar los estimadores: T1= (1/3) X1+ (2/3) X2   y   T2= (1/2) X1+ (1/2) X2

En base a los criterios de insesgadez y eficiencia, razona y comprueba cual de los dos es preferible.

b) Supongamos ahora que una de las placas sometidas a control del aparato japonés es cuadrada, y se desea estimar su área. La dirección de la empresa que fabrica las placas se muestra confusa y duda entre: elevar al cuadrado cada una de las observaciones de la longitud y después obtener su media (criterio 1); o bien, obtener en primer lugar la media de las dos observaciones y posteriormente elevarla al cuadrado (criterio 2). En base al sesgo de ambos estimadores, ¿cual crees que debe ser el criterio adoptado?.

Razónalo y justifícalo debidamente.

 

SOLUCION:

a).- T2 . b).- Criterio 2.

 

 

PROBLEMA 34

 

Una máquina fabrica el 90% de los tornillos correctos, con una longitud media de 3 cms. y variancia de 0.64 cms2, y el resto de los tornillos no válidos con una longitud media de 4.5 cms. y variancia de 1 cms2. El peso del material con el que se fabrican los tornillos es de 11.1 grs por cm. Siendo la producción diaria de 100.000 tornillos, determinar:

a) La probabilidad de que el peso total de la misma pueda ser transportado por un camión de carga máxima autorizada de 3.500 Kgs.

b) Si a lo largo de 30 días se realizan 5 portes con carga superior a la autorizada, calcular la probabilidad de que un agente de tráfico que detiene tres veces al camión pueda imponerle al menos una sanción por exceso de peso. Suponer un porte diario.

 

SOLUCION:

a).- 0'8869. b).- 0.4335.

 

 

PROBLEMA 35

 

Dos alumnos acuden a resolver sus dudas a sendos departamentos (A y B) de una facultad. El tiempo empleado en cada consulta es una variable aleatoria de media 1/3 horas para el departamento A y 1/4 horas para el B .Admitiendo una distribución exponencial para ambas variables, así como si independencia calcular:

a) La probabilidad de que el último alumno que termina su consulta lo haga antes de 1/2 horas.

b) La probabilidad de que el primero en terminar lo haga antes de 1/6 horas.

c) Probabilidad de que el alumno que acude al departamento A acabe antes de que el que lo hace al B.

d) Si deciden ir juntos a ambos departamentos, obtener:

1.- tiempo esperado que invertirán en resolver las dos consultas.

2.- la probabilidad de que el tiempo total empleado en ambas consultas sea menor de 30 minutos.

 

SOLUCION:

a).- 0'67. b).- 0'69. c).- 3/7. d).-  7/12 h.   0'513.

 

 

PROBLEMA 36

 

Una empresa fabrica dos tipos de baterías A y B cuyos períodos de vida útil pueden considerarse variables aleatorias con distribución exponencial. El director de fabricación presume que la vida media de la batería tipo A es de 2 años, mientras que, por su delicado proceso de fabricación, para las baterías tipo B presupone una vida media de 4 meses(1/3 de año). Para contrastarlo estudia construir 2 tests de hipótesis (uno para cada tipo de batería) de idénticas características:

Nivel de significación:     a = 0'05

Tamaño de la muestra:   n = 1

Para la batería tipo A considera como hipótesis alternativa una vida media de 3 años. Para las de tipo B considerará como hipótesis alternativa 5 años, pues si su delicado proceso de fabricación se realiza con perfección se obtiene una batería de alta calidad. Se pide:

a) Obtener la mejor región crítica para cada uno de los tests de hipótesis.

b) Calcular la potencia de ambos contrastes.

c) Explique razonadamente y de forma concisa al sorprendido director de fabricación, porqué, pese a la similitud de características y proceso de construcción de los dos contrastes, los valores obtenidos para la potencia de cada uno de ellos son tan diferentes.

 

³ 5'99 y x ³ 1.  b).- 0'14 y 0'82  c).- Las poblaciones son muy parecidas en un caso y en el otro no

 

 

PROBLEMA 37

 

El director y el interventor de una sucursal bancaria discrepan sobre el nº medio de operaciones que diariamente se realizan en el servicio de cajero automático instalado en la oficina. El director opina que la media diaria es de 80 servicios, mientras que el interventor establece dicho nº medio en 50 operaciones diarias. Decididos a realizar una estimación de dicha media diaria de operaciones solicitan el asesoramiento de los servicios centrales de la entidad de los que reciben la siguiente información:

1º) La variable.aleatoria que representa el número de operaciones diarias puede modelizarse mediante una ley de Poisson.

2º) La muestra necesaria para obtener la estimación ha de ser obtenida mediante el registro del nº de operaciones diarias, realizadas en 30 días elegidos aleatoriamente.

3º) Para realizar la estimación les propone los estimadores E1 y E2, ambos sesgados, de los que le recomiendan utilicen el estimador E1. El sesgo de E1 es de 5 unidades y el de E2 de 3 unidades.

Para la obtención de la muestra es designado un alumno de 3º curso de la F.C.C.E.E que realiza su período de prácticas en dicha oficina, el cual, al conocer el problema sugiere que sería mas conveniente utilizar el estimador de máxima verosimilitud, que en este caso, es un estimador eficiente.

El director e interventor de la oficina, al suponer, tras esta indicación, amplios conocimientos de Estadística en el mencionado alumno, le piden dé respuestas a las siguientes cuestiones:

a) ¿Cual cree que ha sido el criterio utilizado por los servicios centrales para establecer la preferencia por el estimador E1?. En base a dicho criterio, ¿que condición cumple E1 para ser mejor estimador que E2?.

b) Obtenga cual es el estimador de máxima verosimilitud propuesto y pruebe su eficiencia.

c) Conseguida la muestra se ha obtenido para la misma una media de 65 operaciones diarias. En base a esta información y asumiendo un modelo de Poisson, justifique cuál de las dos opiniones considera más aceptable.

 

SOLUCION:

a).- Menor E.C.M.  La variancia de la distr. de E1 es menor que la de E2.  b).- La media muestral que es eficiente .  c).- La opinión del director.

 

 

PROBLEMA 38

 

Una entidad bancaria ha determinado que el volumen de ingresos (X) que diariamente se efectúan en la ventanilla de la oficina situada en una superficie comercial, es independiente del volumen de reintegros (Y). Ambas variables (X e Y) se distribuyen Normalmente, con desviación estándar de 9300 pta. la variable X y de 7400 pta. la variable Y.

Para estimar la diferencia media entre ingresos y reintegros, se extrajeron las siguientes nuestras:

                           Ingresos:          8 operaciones, con un importe medio de 22.800 pta.

                           Reintegros:    10 operaciones, con un importe medio de 14.300 pta.

a) Calcular un intervalo de confianza del 95 por ciento para la diferencia media entre ingresos y reintegros.

b) Puesto que se ha calculado para esta oficina un 50% más de reintegros que de ingresos en ventanilla, se define el coeficiente de caja:

Obtenga un intervalo del mismo nivel de confianza que el anterior para dicho coeficiente de caja, tomando como estimador del mismo

 

SOLUCION:

a).- (590, 16410). b).- (-8076'81, 10776'81).

 

 

PROBLEMA 39

 

La Consejería de Gobernación de  la  Junta de  Andalucía desea  investigar la proporción de electores que

estarían en desacuerdo con prorrogar los presupuestos para 1995, preguntando a una muestra aleatoria de ciudadanos mayores de 18 años.

a) ¿Que número de entrevistas ha de realizar en tal encuesta, si está dispuesta a admitir un error de ± 0'04 para un nivel de confianza del 95%?.

b) Los partidos que integran la oposición afirman que el 65% de los electores están en contra de una prórroga presupuestaria. La encuesta que ha decidido realizar la Consejería ha ofrecido los siguientes resultados:

                                              Nº de entrevistas realizadas ............ 500

                                              A favor de la prórroga .....................  200

                                             En contra de la prórroga .................  300

En base a estos datos de la encuesta y para un nivel de significación del 5%, ¿puede aceptarse la afirmación que hace la oposición?.

c) Determinar, a partir de los resultados de la encuesta, hasta que nivel de significación puede aceptarse la afirmación que realiza la oposición.

 

SOLUCION:

 a) 601. b).- No. c).- 2.2%.

 

 

PROBLEMA 40

 

La dirección de la hamburguesería Pizza-Uff conoce, gracias a un estudio de mercado realizado, que la mayoría de sus clientes son familias atraídas por los deseos de los miembros infantiles de los mismos. Con objeto de estimular la demanda ha decidido regalar una escopeta de juguete, siempre que la consumición alcance un determinado importe.

La escopeta en cuestión dispara un tapón de corcho que necesita tener un diámetro comprendido entre 1'8 cms y 2'3 cms, para de esta forma poder ser impulsado.

Su proveedor de tapones, le asegura que el diámetro medio de las unidades por él suministradas es de 2 cms, no indicándole nada acerca de la variabilidad . Al objeto de averiguar el numero de tapones que tendrá que rechazar, decide estimar la variancia. Para ello ha seleccionado una muestra aleatoria de 10 tapones, obteniendo los siguientes diámetros: 1'7; 1'9; 2'2; 2'1; 2'3; 2'2; 2'0; 1'9; 2'1; 2'2 . En base a esta información y admitiéndose una distribución normal del diámetro de los tapones, obtener:

a) Una estimación máximo verosímil para la variancia.

b) Un intervalo del 95% de confianza para la variancia.

c) La proporción estimada de tapones que deberá rechazar.

d) Contrastar, con una significatividad del 1%, la afirmación hecha por el proveedor de tapones, en base a los datos muestrales.

 

SOLUCION:

a).- 0'03. b).- (0'0146, 0'0924). c).- 0'1657. d).- No se rechaza H0.

 

 

PROBLEMA 41

 

Arrocerías YERBA S.A., envasa mediante un único sistema de empaquetado arroz de iguales características (peso, grados de humedad y pureza) en sacos de un mismo tipo. La distribución la realiza en tres tipos de contenedores A, B y C, cargados aleatoriamente con 6, 50 y 1.000 sacos, respectivamente. Considerando el peso del saco de arroz una variable aleatoria Normal de media 25 Kgs. y variancia 4 Kgs2, determine:

a) ¿Cuál es la probabilidad de encontrar exactamente 3 sacos que pesen más de 27 Kgs. en un contenedor de tipo A.?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que en un contenedor tipo B, al menos dos sacos pesen más de 29 Kgs?.

c) ¿Cuál es la probabilidad de que en un contenedor de tipo C, el número de sacos con peso mayor de 29 Kgs. esté entre 20 y 30?.

d) En los contenedores tipo A: el peso medio del saco en cada contenedor, ¿es una variable aleatoria? ¿cual es su distribución?.

 

SOLUCION:

 a).- 0'0476. b).- 0'3162. c).- 0'6581. d).- Si, N(25 , 2/).

 

 

PROBLEMA 42

 

Ante la proximidad de las fiestas navideñas, la empresa "Mantecados Estepeños, S.A." ha realizado un estudio acerca del coste de fabricación de sus productos, que está constituido exclusivamente por los costes laborales (variable X) y las compras de materias primas(variable Y). Las variables aleatorias X e Y expresan, en millones de pta, los valores semanales de ambas magnitudes. La gerencia de la empresa estima que las funciones de densidad de sus distribuciones respectivas son:

0

En base a esta información, el gerente de la empresa pide a su sobrino, estudiante de Admon y Dirección de Empresa, que le resuelva las siguientes cuestiones:

a) ¿Aportaría más información sobre ambas variables la gerencia de la empresa si ofreciese la función de densidad conjunta en lugar dr:

b) ¿Cual sería, en una semana cualquiera, el importe esperado del gasto en materias primas para unos costes laborales de 5 millones de pta.?.

c) Para una semana cualquiera, calcule la probabilidad de que los costes laborales (X) sean superiores a los gastos en materias primas(Y).

d) Calcular la probabilidad de que el coste total de fabricación anual (52 sem.) supere las 350000000 pta..

e) Para un período de 5 años, ¿cual sería la probabilidad que dicho coste anual de fabricación supere su valor esperado al menos una vez?.

 

SOLUCION:

a).- Sí. No. Sí: la independencia. b).- 1'5. c).- 1. d).- 0'1251 e).- 0'9687.

 

 

PROBLEMA 43

 

Suponga que dispone de 2 muestras independientes de tamaños n1=10 y n2=15 respectivamente, de una población Normal de media m desconocida y variancia s²=25. Sean (X1,...,X10) e (Y1,...,Y15) tales muestras. Como se sabe, las respectivas medias muestrales son estimadores insesgados de la media poblacional. A partir de ellas, se define el siguiente estimador lineal: .Se pide:

0

a) Calcule a y b para que  sea un estimador insesgado y con variancia igual a 1.

b) Obtenga la probabilidad de que la diferencia de medias muestrales, en valor absoluto, sea inferior a la unidad. ¿Cual es la probabilidad de que dicha diferencia sea nula?.

Si dispone de una sola muestra: (X1,...,Xn):

c) ¿Como debería ser ésta para conseguir que su media muestral fuese un estimador más eficiente que el obtenido en el apartado a)?.

d) ¿Que tamaño muestral será necesario para que con, al menos, una probabilidad del 0'95, el intervalo  contenga al parámetro m?.

 

SOLUCION:

a).- a= 2/5 y b= 3/5. b).- 0'3758. 0. c).- n > 25. d).- n ³ 97.

 

 

PROBLEMA 44

 

Para analizar la calidad del servicio telefónico de la villa olímpica  se ha venido  observando  la  utilización de uno de los teléfonos con línea internacional. Una muestra de 150 usuarios elegidos al azar, ofrece un tiempo medio de espera de 20 minutos. Admitiendo que la variable aleatoria que modeliza el tiempo de espera en la cola de dicho teléfono sigue una distribución exponencial y que , dado el tamaño de la muestra, pueden ser obtenidas estimaciones máximo verosímiles de los parámetros poblacionales; se pide:

 

a) Obtenga y justifique razonadamente la validez de las estimaciones elegidas para la media y la variancia poblacional.

b) Obtener el menor valor posible para un tiempo de espera que no sería superado con una probabilidad estimada del 90%.

c) Obtener un intervalo del 95% de confianza para el tiempo medio de espera de la población.

d) Indicar el máximo nivel de significación al que sería admitida la hipótesis de que el tiempo medio de espera es de 25 minutos, en función del intervalo obtenido anteriormente.

 

SOLUCION:

a).- 20 y 400. b).- 46'0517 minutos. c).- (16'80, 23'20). d).- 0'2%.

 

 

PROBLEMA 45

 

Las cotizaciones diarias de las acciones de las entidades financieras Bankinze y Dondebank son variables aleatorias con distribuciones Normales, de las que sólo se conoce que la variancia de la distribución de las cotizaciones diarias de Dondebank es de 25.000 enteros. Un analista bursátil ha obtenido dos muestras aleatorias, una de 26 observaciones de las cotizaciones diarias de las acciones de Bankinze y otra de 10 observaciones de las cotizaciones diarias de las acciones de Dondebank. En base a la muestra obtenida para las cotizaciones diarias de las acciones de Bankinze y para un nivel de confianza del 95%,ha calculado el siguiente intervalo de confianza para el valor medio de dichas  cotizaciones:

(1.187'643 , 1.212'357)

Paralelamente, con igual nivel de confianza y en base a la misma muestra, obtiene un intervalo de confianza para la variancia poblacional.

Para las acciones de Dondebank, diseña un test para contrastar su hipótesis de que la cotización media de dichas acciones es de 1.000 enteros frente a una cotización media de 1.100 enteros que sostienen los servicios bursátiles de esta entidad. En base a la región crítica que obtiene para este test rechazará la hipótesis nula si la media de la muestra de las 10 cotizaciones observadas de las acciones de Dondebank supera los 1.098 enteros. A partir de esta información determine:

a) Los valores de la media y variancia de la muestra de 26 observaciones de la cotización de las acciones de Bankinze.

b) El intervalo de confianza para la variancia poblacional desconocida de la distribución de las cotizaciones de Bankinze.

c) El nivel de significación y la potencia del contraste diseñado para el valor medio de las cotizaciones de Dondebank.

d) Si la hipótesis alternativa de este contraste fuese que el valor medio es de 1.200 enteros, ¿afectaría al nivel de significación y a la potencia del contraste?. Razónelo.

 

SOLUCION:

a).- 1200 y 900. b).- (575'70241, 1783'5366). c).- 0'025 y 0'516. d).- Sí, a la potencia del contraste.

 

 

PROBLEMA 46

 

Sea X una variable aleatoria que especifica los minutos que una unidad permanece en el proceso productivo e Y una variable aleatoria que señala los minutos que transcurren desde que la unidad es acabada hasta que se almacena. Siendo la función de densidad conjunta de X e Y:

0

a) Para un tiempo de producción de 3 minutos, ¿cual sería la distribución del tiempo de almacenaje?.

b) Probabilidad que el tiempo de producción sea inferior a 1 minuto y el de almacenaje esté comprendido entre 1 y 2 minutos.

c) Probabilidad de que pasen más de cinco  minutos desde  que una unidad  inicia el proceso hasta que es

almacenada.

d) Probabilidad que la preparación (producción y almacenaje) de un pedido de 100 unidades no supere las 3 horas.

 

SOLUCION:

a) f(Y/X) = e -y. b).- 0'1469. c).- 0'04. d).- 0'0808.

 

 

PROBLEMA 47

 

La Agencia de Medio Ambiente de Andalucía ha efectuado mediciones de los niveles de partículas en suspensión en la atmósfera de dos puntos distintos del territorio andaluz. En el punto A se analizaron los valores de dicha variable durante 10 días, mientras que en el punto B se observaron durante 8 días, siendo todas las observaciones, tanto de A como de B independientes entre sí. Se registraron los siguientes resultados:

Punto A: 10  10  12  13   9   8  12  12  10  14

Punto B: 11    8    9   7  10   8    8  10      

Admitiendo que la variable bajo estudio sigue una distribución normal, conteste a las siguientes cuestiones:

a) Contrastar con un 90% de confianza, si la variabilidad de los niveles de partículas en suspensión es la misma en ambos puntos, o por contra es mayor dicha variación en alguno de ellos.

b) Entre que valores estaría comprendida la diferencia de niveles medios de partículas en suspensión con un 90% de confianza.

c) Si la Agencia de Medio Ambiente estuviera interesada en presentar un informe donde aparecieran ambos puntos con el mismo nivel medio de partículas en suspensión, ¿Con que nivel mínimo de confianza podría aceptar tal afirmación?.

 

SOLUCION:

a).- Se acepta H0. b.- (0'738, 3'512). c).- 

PROBLEMA 48

 

El Ayuntamiento de una ciudad desea averiguar si el inicio de las obras del metro ha repercutido, de alguna forma, en la fluidez del tráfico. Para ello, decide centrar el análisis en el servicio que realiza una línea de autobús urbano. Antes de iniciarse las obras, a las horas centrales del día, un autobús tardaba un tiempo medio de 60 minutos en completar su recorrido, con una desviación estándar de 5 minutos. En la actualidad después de medir el tiempo en 20 servicios, se calcula para los mismos, una media de 65 minutos y una desviación estándar de 8 minutos. Considerando el tiempo de realización del servicio una variable aleatoria normal, conteste a las siguientes preguntas:

a) ¿Puede asegurarse que, con un nivel de significación del 0,1, las obras del metro han modificado la fluidez del tráfico en la ciudad?

b) ¿Se ha alterado la regularidad en la llegada de los autobuses de la línea citada a las paradas, con un nivel de confianza del 95%?.

c) Una encuesta realizada al conjunto de la población revela que las obras han modificado la fluidez del tráfico produciendo retrasos de al menos 10 minutos. ¿Estaría Vd. de acuerdo con el resultado de dicha encuesta, con una probabilidad de error de tipo I del 10%?.

 

SOLUCION:

a).- Sí. b).- Sí. c).- No.

 

 

PROBLEMA 49

 

La fertilización aplicada por una cooperativa agrícola para las plantaciones de un determinado cultivo son de dos tipos: fertilización natural y química. En ambos casos se consiguen plantas cuyas alturas se distribuyen  normalmente con  variancias 47 y 39 cm2  respectivamente. Para  comparar la altura media de las plantas obtenidas con ambos procesos se seleccionaron 25 de ellas, 11 fertilizadas de modo natural y el resto con procesos químicos, observándose alturas medias de 102 y 95 cms. respectivamente.

Para un nivel de confianza del 95%, calcular:

a) Un intervalo de confianza para la diferencia de alturas medias de las dos plantaciones.

b) Contrastar la hipótesis de que ambos fertilizantes sean igualmente eficaces.

c) Los ecologistas de la comarca aseguran que el fertilizante natural consigue al menos 10 cms. más de altura que con el químico. ¿Estaría usted de acuerdo con ellos?. Justifíquelo.

 

SOLUCION:

a).- (1'8, 12'2). b).- Se rechaza. c).- Sí.

 

 

PROBLEMA 50

 

En la imprenta TUNERVA existen dos responsables para los trabajos de impresión (A y B). Después de realizado un control, se concluye que el número medio de erratas por página cometidas bajo la  responsabilidad de A es de 0.2 , mientras que si el responsable es B dicho número medio es de 0.1.

Conocedor de estos resultados, un profesor de estadística encarga a dicha imprenta le edición de un libro de 100 páginas, obteniendo la garantía de que la impresión del mismo se hará bajo la responsabilidad del empleado B.

Tras la recepción de un ejemplar de pruebas y la oportuna revisión por parte del profesor, se dirige a la dirección de TUNERVA manifestándole que ha detectado un número de erratas suficiente en el libro como para rechazar que el responsable de la edición de éste es B, con un nivel de significación del 5%, bajo el supuesto de que el número de erratas por página se distribuye según un modelo de Poisson.

En base a sus conocimientos justifique razonadamente el número de erratas que ha detectado el profesor de estadística en la revisión del libro para llegar a rechazar que el responsable de la edición es B.

 

SOLUCION:

Más de 15 erratas.

 

 

PROBLEMA 51

 

Las facturas cobradas por los servicios de reparación de una empresa constan de 2 conceptos: piezas y mano de obra. La media por factura por el primer concepto es 600 ptas y por el segundo 2.000 ptas. Las desviaciones estándares respectivas son 100 y 200 ptas. La relación existente entre las cantidades facturadas por ambos conceptos viene expresada por un coeficiente de correlación lineal igual a 0'7. Cada mes se realiza un número fijo de 90 servicios.

La dirección y el comité sindical de la empresa acuerdan establecer un plus mensual de beneficios en la nómina de los empleados si la facturación del mes supera una determinada cantidad.

¿Cual deberá ser esa cantidad si el comité sindical desea garantías de que sea superada el 90% de los meses?.

 

SOLUCION:

230.604 pesetas.

 

 

PROBLEMA 52

 

Una prestigiosa marca de automóviles ha inaugurado recientemente sus nuevas instalaciones en Sevilla. Para la gerencia de las mismas, que integran un servicio técnico de reparaciones y un servicio de    venta de accesorios, ha designado  a un  alumno de esta facultad .Para ayudarle en su gestión, la dirección de la firma, le ha facilitado el siguiente informe:

SERVICIO TECNICO: El tiempo invertido en cada reparación es una variable.aleatoria, X, con función de densidad lineal y decreciente entre 0 y 4 horas de la forma:

El importe de la factura(en miles de ptas) para cada servicio se determina en base al tiempo invertido en

la realización del mismo, así siendo Y la variable.aleatoria que representa el importe de la factura:

El vector de medias y la matriz de variancias y covariancias de la distribución conjunta de X e Y es:

SERVICIO DE VENTAS: El artículo de mayor venta durante los meses de verano es un ventilador portátil, fácilmente acoplable al vehículo, cuyas ventas diarias alcanzan un promedio de 15 unidades con una desviación estándar de 5 unidades.

A partir de esta información se solicita al gerente que responda a las siguientes cuestiones:

a) En base al rango de la matriz de variancias y covariancias, ¿es posible asegurar que entre ambas variables existe una relación lineal perfecta?.

b) Si un cliente sólo dispone de 500 ptas y el tiempo de reparación se cifra como mínimo en una hora. ¿Cual es la probabilidad de que pueda pagar el servicio?.

c) Si desea proveerse de ventiladores portátiles para la próxima campaña de verano (90 días).¿Que nº máximo de ellos habrá de solicitar en el pedido, si pretende una garantía del 95% de que transcurrida la campaña no le queden ventiladores en la tienda?.

 

SOLUCION:

a).- No.  b).- 0'3116.  c).- 1.272 ventiladores.

 

 

PROBLEMA 53

 

Se sabe, por experiencia que el numero de personas que acuden al mostrador de información de una Delegación Provincial de Hacienda en un período de 5 minutos es una variable aleatoria que se distribuye según un modelo de Poisson. Se ha observado que en un período muestral de 2'5 horas han acudido al mostrador 540 personas, y en base a esta información se desea conocer:

a) La estimación máximo verosímil y la estimación por el método de los momentos de la variancia de la distribución de esta variable aleatoria.

b) ¿Es eficiente el estimador máximo verosímil calculado en el apartado anterior?. Demuéstrelo.

c) El tiempo que permanece en dicho mostrador un contribuyente cualquiera es una variable aleatoria Normal y para su estudio se ha observado el tiempo de permanencia en el mostrador de 2 contribuyentes elegidos al azar, siendo dichos tiempos 8 y 10 minutos. Obtener un intervalo del 95% de confianza para cada uno de los dos parámetros poblacionales. Realice los comentarios que estime oportuno sobre la amplitud de estos intervalos.

 

SOLUCION:                                                                                                        

a).- 18. b).- Si. c).-Para la media: (-3'7064, 21'7064). Para la variancia: (0.398 , 2000). Poca información muestral.

 

 

PROBLEMA 54

 

En una importante ciudad de un país imaginario, existen dos clubes de fútbol, eternos rivales: el "Palangana F.C." y el "Real Verderones Balompié". En los 3 meses previos al inicio del Campeonato de Liga, el número diario de socios del "Palangana F.C." que renueva el carnet es una v.a. con distribución de media 256 y variancia 40. En el mismo período de 90 días, el número medio de socios que diariamente solicitan la renovación del carnet del "Real Verderones Balompié" es 336.

a) Calcular la probabilidad de que el número de socios que renuevan su carnet en el "Palangana F.C" durante el período considerado sea superior a 23.130.

b) Si la probabilidad de que el número de carnets renovados en el "Real Verderones Balompié", durante los 3 meses, supere los 30.300 es 0'05, cuantifique y compare la variabilidad del número de socios que renuevan su carnet en ambos clubes.

c) En el último pleno  del  Ayuntamiento  de la citada  ciudad, se ha decidido proponer  a  ambos clubes  la construcción de un estadio único. Tras esta decisión se ha estimado que el número de socios que estarían dispuestos a renovar el carnet en sus respectivos clubes presenta una correlación de -0'8 medida mediante el coeficiente de correlación  lineal. Según  esta  estimación,  calcule la  probabilidad  de que el número  de socios

 

que renuevan su carnet en el "Real Verderones Balompié" sea superior al del número de socios que lo hacen en el "Palangana F.C." en dicho período de 90 días.

 

SOLUCION:                                                             

a).- 0'0668. b).- C.V(P): 0'26%  C.V(V): 0'12%. c).- 1.

 

 

PROBLEMA 55

 

Sean X1 y X2 variables aleatorias con distribuciones Normales que representan los gastos semanales en publicidad, expresados en millones de ptas, de las empresas de las ramas de Alimentación y Perfumería. Se obtiene una muestra aleatoria en empresas de cada una de estas ramas de actividad con las siguientes características:

ALIMENTACION:

PERFUMERIA:   

a) Construir el estimador máximo verosímil de los gastos semanales medios en publicidad en la rama de Alimentación y el estimador por el método de los momentos de los gastos medios semanales en la rama de Perfumería. Obtener las respectivas estimaciones.

b) Para un nivel de significación a=0'05,contrastar la hipótesis de ambas muestras proceden de poblaciones con igual variancia.

Admitiendo que ambas poblaciones se distribuyen con igual variancia:

c) Obtener para la diferencia de medias poblacionales intervalos de confianza del 90% y del 95%.

d) En base a la información proporcionada por los anteriores intervalos de confianza, ¿admitiría la hipótesis de que las muestras proceden de poblaciones con igual media?.

e) Contrastar para niveles de significación a=0'1 y a=0'05 la hipótesis de igualdad de las medias poblacionales y compare los resultados obtenidos con la respuesta dada al apartado anterior.

 

SOLUCION:

a).- 18 y 10 respectivamente. b).- No se rechaza H0.  c).- ( 0'8 , 15'2) y (-0'8 , 16'6) d).- No se rechaza para un nivel de confianza del 95% e).- Igual que en aptdo d.)

 

 

PROBLEMA 56

 

El gerente de una empresa pretende aplicar sus conocimientos de estadística para el estudio del coste de producción (variable Y) y el precio de venta (variable X) de uno de los productos que dicha empresa fabrica. Pues bien, con relación al coste de producción, ha sido capaz de establecer que se distribuye uniformemente entre 7 y 13 ptas. Asimismo, la función de densidad de la distribución del precio del producto, conocido el coste de producción, es proporcional a éste, siendo siempre el precio inferior a las 30 ptas y garantizando un beneficio de al menos 10 pesetas por unidad.

Para simplificar sus planteamientos, el gerente considera únicamente el coste de producción, sin incluir en su análisis otros posibles costes. Teniendo en cuenta todos los supuestos anteriores, el gerente de la empresa precisa de su ayuda para obtener respuestas a las siguientes cuestiones:

a) Compruebe que la constante de proporcionalidad antes mencionada es 1/97. Calcule el beneficio esperado por unidad de producto.

b) Probabilidad de obtener beneficio y probabilidad de que el beneficio obtenido coincida con el valor del beneficio esperado.

 

SOLUCION:

a).- 15 ptas.  b).- 1 y 0 respectivamente.

 

 

PROBLEMA 57

 

El equipo de ciclismo "Dondebanestos" está formado por diez corredores. Actualmente, su director técnico está preparando la próxima prueba de la temporada y para ello desea conocer algunos datos, más allá de los que conoce, de cara a prever las posibilidades de éxito de su equipo. La próxima prueba consta de 30 etapas, con la particularidad de que pueden considerarse todas ellas de características similares en cuanto a distancia y orografía del terreno, e independientes en cuanto al tiempo que debe emplearse en recorrerlas. A tenor de la experiencia de años anteriores, el director técnico considera que el tiempo, en horas, que uno cualquiera de sus ciclistas emplea en recorrer una etapa es una variable aleatoria con distribución Exponencial de media 2 horas, siendo dicho tiempo independiente del empleado por otro corredor. En base a los conocimientos del director del equipo, ayúdele a contestar las siguientes cuestiones:

a) ¿Cual es la probabilidad de que el tiempo mínimo, empleado en recorrer una etapa por uno de los ciclistas, sea inferior a 1 hora?.

b) ¿Cual es la probabilidad de que el tiempo máximo, empleado por un corredor en una etapa, sea superior a 2'5 horas?.

c) ¿Cual es la probabilidad de que un ciclista tarde 1'75 horas en recorrer una etapa?.

d) El año pasado, el ganador de la prueba empleó 50 horas en recorrer las 30 etapas. ¿Cual es la probabilidad de que "Andurrián", el mejor ciclista del equipo, consiga superar dicha marca esta temporada?.

Nota: Para los cálculos considere las horas fraccionadas en centésimas y no en minutos y segundos.

 

SOLUCION:

 a).-0'9933. b).- 0'9658. c).- 0. d).- 0'1814.

 

 

PROBLEMA 58

 

El proceso de fabricación de un determinado producto consta de dos fases independientes, la fabricación en sí y el almacenaje. Considerando la duración (en minutos) de cada una de estas fases variables aleatorias que siguen una ley exponencial de medias 4 y 1 respectivamente.

a)Calcular la función de densidad del tiempo transcurrido desde el comienzo del proceso hasta que el producto esté preparado para la comercialización.

b) El jefe de producción considera que la duración máxima para que el proceso completo sea óptimo es de 5 minutos. ¿Cual es la probabilidad de que dicho proceso sea óptimo?.

 

SOLUCION:

a).- 0.25 e – 0.25 x - y.   b).- 0'62024.

 

 

PROBLEMA 59

 

El tiempo que tarda un niño travieso con vocación precoz de dibujante en destrozar la mina de un lápiz mientras hace garabatos en  un papel se distribuye uniformemente entre 0 y 1 minuto. Este niño tiene tal afición al dibujo que es capaz de estar entretenido "dibujando" horas y horas sin parar, mientras tenga lápices (con mina) a su alcance.

a) ¿Cuantos lápices necesitarán dar los padres al niño para que puedan tener "garantizado" con una probabilidad superior a 0.95 el entretenimiento del niño durante más de media hora?.

b) Si a este niño le regalan una caja de 36 lápices, ¿cual sería la dispersión relativa del tiempo que emplearía la criatura en dejarlos todos inservibles?.

c) Determina cuantos lápices como mínimo tienen que preparar los padres del niño, si con una probabilidad mayor que 0.95 quieren que el lápiz que antes destroce, le dure por lo menos medio minuto.

Nota: Se supone que este niño aun no sabe que existen sacapuntas.

 

SOLUCION:

a).- 68 lápices. b).- 9'61 %. c).- 1 lápiz.

 

 

PROBLEMA 60

 

La longitud de las piezas fabricadas por una determinada máquina es una v.a. con distribución Uniforme. Se obtiene una muestra aleatoria de 10 piezas. En base a la información proporcionada por dicha muestra, los 3 responsables del control de calidad de la empresa realizan las siguientes estimaciones:

 

Resp. A: La longitud de las piezas elaboradas por la máquina oscila entre 80 y 90 cms.

Resp. B: El valor esperado y la variancia de la distribución de la longitud de las piezas hechas por la máquina son 85 cms y 3 cms², respectivamente.

Resp. C: Las piezas producidas por la máquina miden como mínimo 82 cms.

a) Cuantifique la verosimilitud que le ofrece cada una de las tres estimaciones.

b) Basándose en la información muestral, realice y justifique razonadamente la estimación de los parámetros de la distribución de la longitud de las piezas que ofrece mayor verosimilitud.

 

SOLUCION:

a).- 10-10, 6-10, no puede ser cuantificada la del responsable C. b).- Mín {xi} y Máx {xi}.

 

 

PROBLEMA 61

 

Joaquín Villalón Benítez, experto conocedor del mercado oleícola y presidente de una cooperativa de la Sierra Norte de Sevilla, conoce que sus producciones anuales (en miles de litros) de aceite de oliva y de orujo tienen una distribución conjunta Normal con medias 100 y 30 y desviaciones estándares 40 y 15, respectivamente. Para la presente campaña, los precios para cada tipo de aceite son de 500 pta. el litro de aceite de oliva y 300 pesetas para el litro de aceite de orujo.

Si supone que las variables aleatorias que modelizan ambas producciones son independientes:

a) ¿Cual será la probabilidad de que el valor total de la venta de la producción de la cooperativa supere su valor esperado?.

b) ¿Cual será la probabilidad de que dicho importe sea distinto de dicho valor medio incrementado en un 10%?.

c) Si en lugar de suponer la independencia de las variables aleatorias que representan las producciones de aceite de oliva y orujo, admitiese que las mismas siguen siendo conjuntamente Normales, pero incorreladas, modifica, justificándolo debidamente, los resultados de los dos apartados anteriores.

d) Si como parece más razonable presupusiese la dependencia entre ambas variables, siendo su distribución Normal Bivariante con un coeficiente de correlación de 0.95, calcula de nuevo las probabilidades requeridas en los apartados a) y b).

e) Manteniendo los supuestos del apartado  d), ¿cual sería el ingreso esperado por la venta de la producción de aceite de orujo, si la producción de aceite de oliva ha sido de 105000 litros?.

 

SOLUCION:

a).- 0.5  b).- 1  c).- no se modifican  d).- 0.5 , 1  e).- 9534375 pesetas.

 

 

PROBLEMA 62

 

Nuestro amigo Joaquín está interesado en conocer la distribución de probabilidad de la proporción de aceituna que recibe en su cooperativa en condiciones desfavorables para la obtención del aceite de calidad que caracteriza la producción de la cooperativa que tan dignamente dirige, habiendo llegado a determinar que tal proporción, variable X, se puede modelizar mediante la función de densidad f(x,q)=qxq-1, siendo q un parámetro desconocido que habrá que estimar a la luz de una muestra aleatoria de n (mayor que 1) proporciones de aceituna de mala calidad recibida en otras tantas campañas anteriores.

a) Obtén un intervalo aleatorio del 99% de confianza para dicho parámetro por el método de la cantidad pivotal. ¿Sería posible a partir de la información suministrada obtener el correspondiente intervalo de confianza?. Justifícalo y en caso afirmativo, obtenlo.

b) Determina el estimador máximo verosímil del parámetro

c) ¿Es eficiente el estimador obtenido en el apartado anterior?. Compruébalo.

d) Determina alguna función del parámetro q (la que quieras, hay infinitas) que admita estimador eficiente, así como la expresión de éste.

 

SOLUCION:

a).-  b).-  c).- No. d).-

 

 

PROBLEMA 63

 

El Decanato de cierta Facultad estudia conceder para el próximo curso becas por desplazamiento desde la residencia familiar y bolsas de viaje para alumnos que deseen realizar sus estudios en universidades extranjeras.

Los criterios adoptados para la concesión de becas por desplazamiento han sido los ingresos familiares anuales y la distancia a la facultad de la residencia familiar. Sólo serán becados los alumnos cuyos ingresos familiares anuales no sobrepasen los 2 millones de pesetas y su residencia familiar diste de la Facultad un radio máximo de 200 Kms.

Siendo X la v.a. que representa los ingresos familiares (expresados en millones de pesetas) e Y la v.a. que designa la distancia a la Facultad (expresada en cientos de Kms) la función de densidad conjunta de ambas variables para el conjunto de estudiantes becados es: f(x,y)=1/2,  0 < x < y < 2

Calcular:

a) ¿Que proporción de becarios tienen ingresos familiares superiores al millón de pesetas y su residencia familiar dista de la facultad entre 100 y 150 Kms? ¿Que porcentaje de becarios tienen su residencia familiar a menos de 100 Kms de la facultad y sus ingresos familiares oscilan entre 1'5 y 2 millones de pesetas?.

b) Entre los becarios con ingresos familiares de 1 millón de pesetas ¿ que porcentaje vive a mas de 150 Kms de la facultad?. ¿Que proporción de becarios viven a una distancia de la facultad igual a sus ingresos familiares?.

c) De los 10 becarios que residen en un municipio que dista de la facultad 100 Kms ¿cual es la probabilidad que al menos uno de ellos tenga ingresos familiares mayores de 500.000 ptas?.

d) En virtud de los datos del problema ¿ es admisible la independencia de las variables aleatorias X e Y?. Justifíquelo. Calcule el valor esperado de los ingresos familiares de los becarios que viven a 100 Kms de la facultad y el valor esperado de la distancia a la Facultad de la residencia de los estudiantes con ingresos familiares de 1 millón de pesetas.

e) ¿Cual es la probabilidad que el total de los ingresos familiares de una muestra de 72 estudiantes becados sea superior a 72 millones de pesetas?.

 

SOLUCION:

a).- 0.0625 ,   0   b).- 50%,  0 c).- 0.99   d).- no es admisible,  0.5 y 1.5 millones  e).- 0

 

 

PROBLEMA 64

 

En el mismo contexto del problema 63, para intentar determinar la cuantía económica que supondrá la concesión de bolsas de viaje a los estudiantes que decidan realizar estudios en el extranjero, el decanato de la facultad realiza una encuesta. Se ha preguntado sobre la intención de estudiar el próximo curso en universidades extranjeras, a una muestra de 500 estudiantes elegida al azar. El porcentaje de respuestas afirmativas de dicha muestra ha sido del 25%. Obtener:

a) El estimador de máxima verosimilitud de la proporción poblacional y razone su consistencia. ¿Sería diferente del estimador obtenido por el método de los momentos?.

b) La estimación máximo verosímil de la proporción de estudiantes que piensan estudiar en el extranjero y un intervalo de confianza del 95% para dicha proporción, a partir de los datos de la muestra.

c) Previo a conocer los resultados de la encuesta, el decanato suponía que el porcentaje de estudiantes que desean estudiar en universidades extranjeras era del 30%. Para un nivel de significación del 5%, ¿sería admisible esta hipótesis teniendo en cuenta los resultados de la muestra?. Razónelo.

d) Si antes de realizar la encuesta, el decanato deseara estimar la proporción de estudiantes con intención de estudiar en el extranjero con un error máximo de ± 0'03 y una confianza del 95% ¿cual sería el tamaño muestral necesario?.

e) Dado que la preocupación del decanato es la cuantía económica de esta iniciativa,  está más interesado en la estimación del importe total de la misma que de la proporción de estudiantes con intención de estudiar fuera del país. Sabiendo que hay 5.000 estudiantes matriculados y que la cuantía de cada bolsa de viaje es de 40.000 ptas, si pretende estimar el importe total con un error máximo de ± 7.000.000 ptas con una confianza del 95%,¿cuál será el tamaño muestral necesario?

 

SOLUCION: 

a).- ambos son la media muestral, es consistente   b).- (0.21204   0.28795)  c).- no es  admisible  d).- 1068 encuestas   e).- 784 encuestas

 

 

PROBLEMA 65

 

En un determinado Departamento se clasifican los alumnos en tres categorías, según su nota en el examen final de la asignatura Mamotrística II, con objeto de elegir los futuros becarios del Departamento, entre los alumnos de mejor nivel académico. Históricamente, los alumnos presentados al examen de dicha asignatura se han repartido del siguiente modo entre dichas categorías: 30% con nota inferior a 3, 50% con nota entre 3 y 7 y 20% con nota superior a 7, categoría esta última de donde son elegidos los futuros becarios. En el presente curso académico se ha elegido aleatoriamente una muestra de 305 alumnos del total de presentados que ha proporcionado los siguientes resultados:

 

0-3

3-7

7-10

Totales

Mañana

50

80

30

160

Tarde

40

70

35

145

Totales

90

150

65

305

 

En función de los resultados de la muestra:

a) ¿Puede admitirse que los alumnos del presente curso han seguido, en cuanto a calificaciones, las pautas tradicionales de la asignatura Mamotrística II?.

b) ¿Aceptaría que las calificaciones obtenidas por los alumnos están asociadas a su pertenencia a los turnos de mañana y tarde?

c) Si consideramos suspendidos los alumnos con nota igual o inferior a 3, ¿podría afirmarse que suspender o aprobar la asignatura está relacionado con ser alumno de los grupos de mañana o de tarde?. Justifíquese, teóricamente, la aplicación de la corrección de continuidad de Yates al estadístico experimental y razone si modificaría la conclusión obtenida.

d) ¿Existe diferencia significativa entre las proporciones de alumnos de mañana y tarde que obtienen nota superior a 7?.

e) ¿Puede afirmarse que los alumnos con nota superior a 7 se distribuyen uniformemente entre los turnos de mañana y tarde?.

Nota: Contraste todas las hipótesis planteadas para un nivel de significación del 5%

 

SOLUCION:

a).- Si  b).- No  c).- No, la corrección no afecta a la conclusión  d).- No e).- Si

 

 

PROBLEMA 66

 

En el mismo contexto del problema 63, el importe de la bolsa de viaje para cada alumno que desea realizar sus estudios en universidades extrajeras está modelizado por una variable aleatoria con distribución uniforme entre 20000 y 60000 pesetas. El Decanato ha establecido cuatro tipos de bolsas: tipo A, con importe comprendido entre 20000 y 30000 pta.; tipo B, entre 30000 y 45000; tipo C, entre 45000 y 55000, y tipo D entre 55000 y 60000 pesetas.

Calcular, empleando como unidad decenas de miles (10000) de pesetas:

a) Que proporción de estudiantes que recibe cada tipo de bolsa y el importe medio de la bolsa de viaje.

b) De los 12 alumnos a los que se ha concedido bolsa para estudiar en universidades portuguesas, ¿cual es la probabilidad de que el número de bolsas de cada tipo sea el mismo?. Si conocemos que de estas 12 bolsas, 2 son de tipo A, 3 de tipo B y 4 de tipo C, ¿cual sería la distribución del número de bolsas concedidas de tipo D para estudiar en Portugal?.

c) De los 10 alumnos de la especialidad de Admon. y Dir. de Empresas que han conseguido una bolsa, ¿cual es la probabilidad de que al menos 2 de ellos tengan concedida beca de tipo A ó C?.

d) ¿Cuantas bolsas de viaje tendría que conceder el Decanato, para que con una probabilidad del 18.75% conceda la primera de tipo A?. ¿Cual sería el número medio de bolsas de viaje concedidas hasta la primera de tipo A?.

e) ¿Cual es la probabilidad  de que la  cuantía  total de   las   225   bolsas de   viaje  concedidas  no supere la cantidad asignada por el Rectorado para esta Facultad, cifrada en 9 millones de pesetas?.

 

 

SOLUCION:

a).-0.25,  0.375,  0.25  y  0.125.  Importe medio:  40000  pta b).- (12!/3!3!3!3!)(0.25)3(0.375)3(0.25)3(0.125)3 c).- 0.9892   d).- 2 bolsas, 4 bolsas   e).- 0.5

 

 

PROBLEMA 67

 

En el mismo contexto del problema 63, basándose en datos históricos, el Decanato asume que el número de becas concedidas por desplazamiento para cada uno de los grupos de los diversos cursos sigue una distribución de Poisson de parámetro 4. Con objeto de confirmar tal hipótesis, el equipo decanal obtiene una muestra aleatoria de 36 grupos, obteniendo los siguientes resultados:

 

Nº de becas concedidas por grupo          0       1         2       3       4 ó más

--------------------------------------------------------------------------------------------------

Número de grupos                             3        8       10       6           9

 

a) Contrastar si los datos muestrales confirman la hipótesis del Decanato, para un nivel de significación del 5%.

b) Tras el resultado del anterior apartado, se decide estimar el valor desconocido del número medio de becas concedidas por grupo, mediante el método de la máxima verosimilitud. Obtenga tal estimador, compruebe su eficiencia y obtenga la estimación máximo verosímil conociendo que el total de alumnos becados en los 36 grupos que constituyen la muestra es 72.

c) Obtenga un intervalo del 95% de confianza para la variancia desconocida de la distribución de Poisson supuesta por el Decanato, a partir de los datos muestrales. (Consultar formularios).

d) En función del intervalo calculado anteriormente, ¿cual de los dos valores -el supuesto por el Decanato o el obtenido en el apartado b-, considera aceptable para un nivel de significación del 5%?. 

e) Si deseasemos contrastar el valor supuesto por el Decanato (hipótesis nula) frente al valor obtenido por el método de la máxima versimilitud (hipótesis alternativa), ¿como afectaría a la potencia del contraste que dicha estimación máximo verosímil hubiese sido 3 en lugar de 2?. Razónelo debidamente, sin efectuar cálculos.

 

SOLUCION:

a).- No   b).- Media muestral. 2).- Es eficiente   c).- (1.58  2.5184)  d).- el obtenido en b)   e).- si fuese 3 la potencia sería menor

 

 

PROBLEMA 68

 

Durante los dos últimos meses, hasta ayer mismo, uno de tus compañeros, aquí presente, con el firme propósito de superar de una vez esta asignatura, ha dedicado diariamente un tiempo a estudiar teoría (variable X) mayor que el dedicado a problemas (variable Y), pues es en el test donde ha venido fallando en convocatorias anteriores. En ningún caso dedica al día más de dos horas ni a teoría ni a problemas, siendo la función de densidad conjunta de dichos tiempos proporcional al producto de ambos, y la misma para todos los días.

Para un día cualquiera:

a) Determina la densidad conjunta de X e Y, así como la marginal de cada variable. Representa gráficamente el recinto de variación del vector aleatorio (X,Y).

b) Calcula la probabilidad de que haya dedicado más de una hora a teoría, si en ese día dedica 30 minutos a problemas.

Para un periodo cualquiera de 45 días consecutivos:

c) ¿Cual sería el numero esperado de horas dedicadas a estudiar teoría?.

 

SOLUCION:

a).- f(x,y)=0.5xy, 0<x<2, 0<y<2, x>y   b) 0.8  c) 72 horas

 

 

PROBLEMA 69

 

El tiempo que tarda tu compañero en resolver cada uno de los problemas de los propuestos en la relación de exámenes de convocatorias anteriores es una variable aleatoria que puede describirse mediante el modelo uniforme. Por muy sencillo que le resulte el problema, tarda en resolverlo siempre más de 15 minutos, y un máximo que depende de la dificultoso que le resulte.

Ayer por la tarde, sin ir más lejos, eligió al azar 5 problemas de la relación, y los tiempos, en minutos, que tardó en resolverlos fueron: 24, 35, 25, 40 y 32. En base a esta información:

a) Obtén el estimador y la estimación por el método de los momentos del tiempo que hubiera tardado a lo sumo en resolver cualquier otro problema elegido al azar de la relación, hoy mismo a las 7 de la mañana.

Supongamos ahora que queremos contrastar la hipótesis nula de que tu compañero tarda 45 minutos, como mucho, en resolver el problema 68 de esta relación frente a la hipótesis alternativa de que tarda 55 minutos, a partir del conocimiento del tiempo que ha tardado en resolver un problema cualquiera de la relación elegido al azar, considerando como región crítica que tal tiempo fuera superior a una hora.

b) Calcula las probabilidades de cometer error de tipo I y error de tipo II, y representa dichas probabilidades en un mismo gráfico. ¿Cual sería el nivel de significación?. ¿Cuanto debería haber tardado en resolver el problema elegido al azar de la relación, para aceptar la hipótesis nula?.

 

SOLUCION:

a).- 47.4 minutos  b).- 0 y 1. 0. Menos de una hora

 

 

PROBLEMA 70

 

Mendel, experimentando con sus guisantes, observó que 315 eran lisos y grises, 108 lisos y verdes, 101 rugosos y grises y 32 rugosos y verdes. De acuerdo con su teoría de la herencia, el número  observado debería ajustarse a la proporción 9:3:3:1. ¿Existen motivos para dudar de su teoría, a un nivel de significación del 5%?.

 

SOLUCION:

No

 

 

PROBLEMA 71

 

Una central eléctrica suministra energía a dos provincias  A y B . El consumo doméstico mensual (en miles de kilovatios) en cada uno de los 50 pueblos de la provincia A sigue una distribución de media 14 y variancia 18. El total  del consumo doméstico de los 40 pueblos que integran la provincia B sigue una distribución Normal de moda 500 y desviación estándar 20.

a) Obtenga  el vector de medias y la matriz de variancias y covariancias de la distribución conjunta de los consumos domésticos provinciales sabiendo que el coeficiente de correlación lineal entre ambos es 0'9.

Los consumos industriales mensuales de cada provincia son 1100 y 900 miles de kilovatios,

b) Si el consumo total entre ambas provincias supera los 3.300 miles de kilovatios al mes, se producirá un apagón. ¿Cual es la probabilidad de que ésto ocurra?.

c) En la provincia A se paga 0'3 u.m. por cada 1000 kilovatios, siendo su precio en la provincia B de 0'4 u.m.. Calcule la probabilidad de que la factura eléctrica de la provincia A supere a la de la provincia B.

 

SOLUCION:

a).-    b).- 0'0202.   c).- 0.

 

 

PROBLEMA 72

 

La dirección de la central eléctrica considera aceptable el valor de la variancia (400) de la distribución del consumo doméstico mensual de la provincia B. Por el contrario, teniendo serias dudas sobre su valor medio decide estimarlo mediante el método de máxima verosimilitud.

 

a) Obtenga el estimador máximo verosímil de la media de una población Normal, conocida la variancia.

Para una muestra de 10 observaciones obtiene un valor medio de 520 y una variancia de 625.

b) Construya un intervalo de confianza del 99% para el valor medio del consumo doméstico de la provincia B bajo el supuesto de que :

1) la variancia poblacional es conocida.

2) la variancia poblacional es desconocida.

Conocido los valores de ambos intervalos y para un nivel de significación del 1%, ¿sería aceptable el valor medio de 500 miles de kilovatios para el consumo doméstico de la provincia B?.  Comente razonadamente su respuesta.

c) En función de los datos muestrales y para un nivel de significación del 5%, ¿considera aceptable el valor supuesto para la variancia poblacional?.

 

SOLUCION:

a).- La media muestral   b).- 1) (503.7 , 536.3). No es aceptable. 2) (492.9 , 547.1)  Si es aceptable   c).- Si

 

 

PROBLEMA 73

 

Dos alumnos, A y B, han de realizar un test teórico de la asignatura "Mamotrística II". El tiempo, expresado en minutos, que emplea el alumno A en responder una pregunta del test es una variable aleatoria con distribución Ji cuadrado con 2 grados de libertad. El tiempo de respuesta del alumno B es una variable aleatoria con distribución Exponencial de media 1 minuto. Dada la independencia de ambos tiempos de respuesta, para una pregunta cualquiera respondida por ambos alumnos:

a) Probabilidad de que el primero que responda lo haga antes de 1'5 minutos.

b) Probabilidad de que cada alumno tarde en responderla 1'5 minutos.

c) Tiempo esperado en responderla el alumno A si sabemos que el alumno B ha empleado 1'5 minutos.

d) Probabilidad de que el alumno A responda dicha pregunta antes que el alumno B.

Si el test consta de 30 preguntas:

e) Probabilidad de que el alumno A responda antes que B al menos una pregunta.

f) Probabilidad de que el alumno A finalice el examen antes que el alumno B, respondiendo ambos todas las preguntas del test.

 

SOLUCIÓN:

a).- 0.89461   b).- 0 , 0   c).- 2 minutos  d).- 1/3  e).- 1  f).-0.0071

 

 

PROBLEMA 74

 

El número de llamadas telefónicas semanales anunciando la colocación de artefactos explosivos recibidas en una determinada Facultad durante el curso académico se ofrecen en el siguiente cuadro:

Nº de llamadas:    0         1        2          3          4 ó más

Nº de semanas:  13       10         4          2               1

a) ¿ Para un nivel de significación del 5%, aceptaría la hipótesis de que el nº de llamadas semanales sigue una distribución de Poisson de media 1 llamada por semana?. Justifíquelo.

b)  Supuesta la distribución de Poisson y para un nivel de significación del 5%, se ha obtenido la región crítica del test más potente para contrastar la hipótesis de que el nº medio de llamadas semanales es 1, frente a la alternativa de que el nº medio de llamadas semanales es 2. Dicha región crítica resultó ser: . Calcule la potencia de este contraste.

c) Si la hipótesis alternativa fuese que el nº medio de llamadas semanales es 3. ¿Cual sería la región crítica del contraste?. ¿Cual sería su potencia?. Comente breve y razonadamente los resultados.

 

SOLUCIÓN:

a).- Si  b).- 0.9966  c).-   ,  1

 

 

PROBLEMA 75

 

Cierto partido político decide abrir un proceso de elecciones primarias para designar candidato a las elecciones generales. Para competir en dicho proceso se presentan dos candidatos A y B. Con objeto de adoptar una decisión colegiada, cierta ejecutiva regional ha decidido realizar una encuesta entre sus 100.000 afiliados. Para ello elige aleatoriamente una muestra de 100 militantes de los que 36 responden que votarán al candidato A. Con esta información, dicha ejecutiva estima que el número de votos de sus afiliados a favor del candidato A estará entre 26.592 y 45.408.

a) Obtenga el nivel de confianza con el que ha sido realizada dicha estimación.

b) Con idéntico nivel de confianza, la ejecutiva desea obtener una estimación más precisa, concretamente reducir la amplitud del anterior intervalo de estimación a un tercio de la misma. ¿Cual sería el tamaño de la muestra necesario para conseguir dicho objetivo?. Razónelo y señale que propiedad del estimador justifica los cálculos realizados.

 

SOLUCIÓN:

a).- 0.95  b).-900, la consistencia de la media muestral.

 

 

PROBLEMA 76

 

Un muchacho que ya ha aprobado  el examen teórico, necesita ahora aprobar el práctico para obtener el carnet de conducir. El responsable de la autoescuela que lo instruye, cree que está bien preparado; pero a la vez es consciente de que los nervios son su principal enemigo, por lo que le asigna una probabilidad “objetiva” del 15% de aprobar en cada una de las convocatorias, con independencia del número de veces que tenga que presentarse. El chaval, por su parte, está dispuesto a seguir tomando clases de prácticas hasta conseguir el ansiado permiso de conducir.

a) ¿Cuál será la probabilidad de que tenga que examinarse más de 7 veces para obtener el carnet?. ¿Cuál será el número medio de convocatorias a las que tendrá que presentarse para obtenerlo?.

Por lo que respecta a las clases, el tiempo que transcurre en cada una, desde que empieza hasta que se le cala el vehículo se distribuye Exponencialmente, con una desviación estándar de 10 minutos.

b) Si en una semana toma cinco clases, ¿cuál sería la probabilidad de que en tres se le cale el coche antes de un cuarto de hora?. ¿Y cual será la probabilidad de que una cualquiera de esas cinco clases tarde exactamente un cuarto de hora?.

Debido a los nervios, en cada clase comete 1, 2 ó 3 infracciones graves. Es igualmente probable que cometa 1 ó 2; sin embargo, la probabilidad de cometa 3 es la mitad de que cometa 2.

c) Si en un mes toma 30 clases, ¿cuál será la probabilidad de que cometa como máximo 60 infracciones, y a la vez más de 45?.

 

SOLUCION

a).- 0.32057 y 6.66 convocatorias.  b).- 0.23 (ó 0.2048, tomando p=0.8) y 0.  c).- 0.914

 

 

PROBLEMA 77

 

En el año 2005, un analista cree que la cotización rublo/euro puede describirse mediante una distribución Normal de variancia 16. Según indican otros expertos, últimamente la cotización media ha permanecido muy estable en torno a 82.5 rublos/euro, pero él tiene indicios para sospechar que tal cotización permanece por debajo de su nivel medio. Por ello, quiere contrastar la hipótesis nula H0:m=82.5 frente a la alternativa H1:m<82.5, estando dispuesto a rechazar la hipótesis de estabilidad si obtiene una cotización media muestral inferior a 80.5 rublos/euro, en 25 cotizaciones diarias anteriores, elegidas al azar.

a) Cuál es el nivel de significación de este contraste?.

b) Si observa una cotización media muestral de 80.1 rublos/euro, ¿aceptaría la hipótesis nula al nivel de significación obtenido anteriormente?. Obtener el valor p (menor nivel de significación al que se rechazaría la hipótesis nula) del contraste; compáralo con el nivel de significación obtenido en a), y realiza los comentarios que creas oportunos.

c) Calcula la función de potencia para un valor de m=82.5 y relaciónalo, razonando, con el resultado obtenido  en   el  apartado a).  Calcula,  también  la  función  de  potencia  para  un  valor  de  m=80,  y,  sin efectuar cálculos, explica que tendría que ver el resultado que obtengas con el contraste que pretende realizar el analista, si su hipótesis alternativa fuese m=80 (manteniendo, lógicamente, la hipótesis nula).

 

SOLUCIÓN:

a).- 0.0062   b).-No. 0.0013   c).-  0.0062 y 0.7324

 

 

PROBLEMA 78

 

Veinte alumnos de tercer curso de ADM han solicitado beca para realizar estudios en el extranjero el próximo curso, acogiéndose al programa Erasmus. Ocho de ellos son repetidores, y los 20 tienen el mismo nivel de ingreso familiar. Como quiera que éste es el único criterio a tener en cuenta por la autoridad académica encargada de conceder las becas, finalmente,  se decide asignar al azar las 10 becas previstas.

a) Obtén la distribución de probabilidad de la variable aleatoria que expresa el número de becas obtenidas por los alumnos repetidores, y calcula (o al menos plantea bien) a partir de dicha distribución, la probabilidad de que el número de becas obtenidas por los alumnos repetidores sea el mismo que el número obtenido por los que no lo son.

El 20% de los alumnos presentados al examen de cierta asignatura troncal son repetidores. Una tarde, el profesor de esta asignatura comienza a corregir los exámenes, con el firme propósito de no parar hasta que haya corregido 8 repetidores. Los exámenes están “ordenados”, tal y como los alumnos los fueron entregando.

b) ¿Cuál será la distribución de probabilidad del número de exámenes que calificará esa tarde el   profesor?.¿Cual será el número de exámenes que espera calificar dicha tarde?.

Por lo observado en cursos anteriores, cada una de las clases de cierta asignatura curricular de libre configuración ,comienza con un retraso Exponencial de media 5 minutos. Esta asignatura es de 5 créditos (50 clases) y durante el presente curso está previsto perder sólo una clase por la celebración de la fiesta de la primavera. Si se cuantifica en 0.5987 la probabilidad de que el retraso acumulado durante todo este curso sea inferior a 253.75 minutos,

c) ¿Cuál sería la variancia del retraso con que comienza una clase cualquiera?.

 

SOLUCIÓN:

a).- H(N=20 M=8 n=10)      b).-B-(r=8, p=0.2)   40 exámenes   c).- 25 (minutos)2

 

 

PROBLEMA 79

 

El profesor de la asignatura curricular del apartado C) del problema anterior recrimina constantemente a su colega de la asignatura del apartado B), por su nivel de exigencia a la hora de calificar exámenes. Éste segundo, harto ya de aguantar siempre la misma tabarra, propone al primero corregir por separado el mismo montón de exámenes, y comparar los resultados, en lo que a aprobados se refiere. Tras la corrección, el profesor de la curricular aprueba a 248 de los 400 alumnos presentados, mientras que el segundo suspende a 186.

a) ¿Estarías tu de acuerdo, a un nivel de significación del 5% en que el profesor de la asignatura curricular es más generoso a la hora de calificar?. ¿Y a un nivel del 10%?. Realiza los comentarios oportunos, una vez obtenidos los resultados. 

El responsable máximo de la concesión de las becas del apartado A) del problema anterior tiene dos caminos alternativos para llegar al Rectorado, desde su domicilio: uno, atravesando la ciudad, y , otro, por una carretera de circunvalación.  Tras efectuar cada uno de los trayectos, de forma aleatoria, durante 20 días, por el primer camino ha tardado una media de 33 minutos, con una desviación estándar de 6 minutos, y por el segundo, el tiempo medio ha sido de 35 minutos, y la correspondiente desviación estándar 5 minutos. Suponiendo que los tiempos empleados por cada uno de los trayectos se distribuyen Normalmente,

b) ¿Se puede afirmar, que a lo largo de todo un curso el tiempo medio empleado atravesando la ciudad, sea menor que yendo por la carretera?

De  cursos  anteriores, se  sabe que  las  calificaciones  obtenidas  por  los  alumnos  de  tercero en cierta asignatura   obligatoria,   se distribuyen   Normalmente.   A   la   convocatoria   de   febrero  de  este  curso académico se han presentado 65 alumnos, y la variancia de sus calificaciones ha sido 16. Considerando a estos 65 alumnos como una muestra aleatoria lo suficientemente representativa del total de matriculados, se ha obtenido el siguiente intervalo de confianza par ala calificación media del total de matriculados: (3.2011 , 5.1988).

c) Obtén la nota media de los alumnos presentados, así como el nivel de confianza del intervalo anterior

 

SOLUCIÓN:

a).- Si, si.  b).- Si  c).- 4.2,  0.95

 

 

PROBLEMA 80

 

Érase una vez una facultad de Ciencias Económicas y Empresariales, donde

a) La cantidad de dinero que semanalmente gasta en el bar cada uno de sus estudiantes es una variable aleatoria. con distribución Normal de desviación estándar 250 pesetas. El 10% de los estudiantes gastan más de 1500 pesetas, ¿Qué porcentaje de alumnos gastan menos de 1000 pesetas?. ¿Cuántos alumnos integran una determinada pandilla en la que la probabilidad de que al menos uno de sus integrantes gaste menos de 1000 pesetas semanales es 0.9328?.

b) El tiempo de atención a un alumno (expresado en minutos)  del servicio de información de la biblioteca viene modelizado por una variable aleatoria con una distribución  tal que la probabilidad que dicho tiempo de atención sea superior a 3 minutos es e-3l. Para un alumno que lleva más de 3 minutos siendo atendido por el servicio de información, ¿cual sería la probabilidad de que el tiempo de atención supere los 6 minutos?. Comente el resultado. Conociendo que el estimador máximo verosímil del parámetro l de esta distribución es el inverso de la media muestral, ¿cual sería el estimador máximo verosímil del valor esperado de dicha distribución?. ¿ Son ambos  estimadores eficientes?. Razone todas las respuestas.

c) Se ha realizado un estudio sobre licenciados en la rama de A.D.E de las últimas promociones y que, sorprendentemente, disfrutan de un empleo a tiempo completo. Una muestra aleatoria simple de 138 licenciados pertenecientes a familias de nivel socio económico alto ofrece un salario medio de 3635800 pesetas. Otra muestra independiente de 266 licenciados de origen socio económico bajo ofrece un salario medio de 3749900 pesetas. Si conocemos que las desviaciones estándares poblacionales son 1162400 pesetas y 1652100 pesetas, respectivamente, obtenga un intervalo del 90 % de confianza para la diferencia de medias poblacionales. A la vista de dicho intervalo y para un nivel de significación del 10%, ¿puede rechazarse que el origen familiar no influye en la categoría salarial del empleo obtenido por los recientes licenciados?. Razónelo. Si desconociésemos los valores de las variancias poblacionales, ¿qué procedimiento hubiese seguido para obtener el anterior intervalo?. Justifíquelo razonadamente.

d) Para muestras independientes de alumnos y alumnas se han obtenido los siguientes datos para las horas diarias de estudio:

                                                Menos de 2 horas          Más de 2 horas

                        Alumnos                       18                                 10

                        Alumnas                       17                                 13

Para un nivel de significación del 5%, ¿puede rechazarse la hipótesis de que no existe relación entre sexo y horas de estudio?. Razone la conveniencia de realizar o no la corrección por continuidad de Yates.

e)  Se supone que el 50% de los alumnos opinan que es necesaria una revisión del actual plan de estudios. ¿Cual es la probabilidad de que más del 58% de los componentes de una muestra aleatoria de 250 alumnos compartan dicha opinión?. ¿Cómo afectaría a dicha probabilidad que hubiésemos supuesto cualquier otro valor para la proporción poblacional?. Coméntelo razonadamente.

 

SOLUCION:

a).-  23.58%,  10 alumnos.   b).-  e-3l,  Sxi/n,  sólo éste es eficiente.   c).-   (-346333.183  ,  118133.183), no puede rechazarse.   d).- No puede rechazarse, no procede realizar la corrección   e).- 0.0057, si fuese mayor que 0.58, la probabilidad aumenta.

 

 

PROBLEMA 81

 

Juan y Antonio acuden un día a un Departamento de la Facultad  para  resolver   dudas de una asignatura, con sus respectivos profesores. Juan llega a las 10 de la mañana para consultar dudas de teoría, y Antonio llega a las 10 y cuarto para consultar dudas de problemas. El tiempo que tarda en resolver dudas (de teoría o de problemas) cada profesor, es independiente del que emplea el otro. El tiempo que tarda cada uno de ellos en atender dudas de teoría es Exponencial de media 15 minutos, y el empleado en resolver dudas de problemas sigue la misma distribución, pero con media 25 minutos, con independencia de aquella.

a) Calcula la probabilidad de que Antonio permanezca en el Departamento más tiempo que Juan.

b) Calcula la probabilidad de que ambos hayan acabado antes de las 10 y media.

c) ¿Cuál sería la probabilidad de que cuando acabe Juan, coincida en el Departamento con Antonio, justo cuando éste llega?.

 

SOLUCIÓN:

a).-  0.625   b).-  0.39    c).- 0

 

 

PROBLEMA 82

 

Juan y Antonio están realizando un trabajo para "Estadística II", y han diseñado una encuesta con dos preguntas, para pasarla a sus compañeros. Tales preguntas son:

Pregunta   1: ¿Cuánto dinero gastas en el bar de la facultad mensualmente?,

Pregunta   2: ¿Tienes intención de realizar estudios en el extrajero durante tu licenciatura?.

  De la primera pregunta se encarga Juan, y de la segunda Antonio.

  Juan pretende estimar el gasto mensual medio en el bar con un error de 300 pesetas, con una confianza del 99%. Para ello considera que tal gasto se distribuye Normalmente con una desviación estándar de 1000 pesetas.

  Antonio se ocupa de la segunda pregunta, y pretende estimar la proporción de alumnos que piensan desplazarse con una confianza del 95%, y un error de 0.06.

  Sin necesidad de determinar los estimadores a utilizar, pero justificando su empleo:

a) ¿A cuantos alumnos deberá entrevistar Juan?.

b) ¿A cuantos alumnos deberá entrevistar Antonio, suponiendo que todos contestan?.

Juan cifra el coste de cada una de sus entrevistas en 100 pesetas, y Antonio, el de las suyas, en 125 pesetas. Sólo disponen de una asignación del Departamento de 25000 pesetas.

c) ¿Podrán realizar el trabajo con dicha cantidad?. En caso negativo, indica, a grandes rasgos y sin entrar en cálculos, pero justificándolo razonadamente, que modificaciones podrían realizar para ajustarse a la cantidad asignada.

 

SOLUCIÓN:                          

a).-  74   b).-  267   c).-  No. Ampliar los errores muestrales y/o reducir los niveles de confianza

 

 

PROBLEMA 83

 

Las calificaciones de Estadística II en los respectivos grupos de Juan y Antonio se distibuyen Normal e independientemente. Del grupo de Juan se extrajo una muestra de 20 alumnos, y del grupo de Antonio, otra de 25. Las respectivas variancias muestrales fueron 3.18 y 1.37, respectivamente; y los alumnos observados en ambos grupos, obtuvieron, curiosamente, idéntica calificación media.

a) ¿A partir de que nivel de significación se aceptaría que la nota media de ambos grupos es la misma?: Justifícalo.

b) Obtén el menor nivel de significación, al que se rechazaría que la variancia de las calificaciones del grupo de Juan es menor que la variancia de las del grupo de Antonio.

c) Para los mismas tamaños muestales ¿cuanto tendría que valer el cociente de variancias muestrales, para que el nivel de significación pedido en el apartado B) fuese del 1%. Interpreta el resultado.

 

SOLUCIÓN:

a).-  A cualquier nivel de significación  b).-  2.5%   c).- 2.733

 

 

PROBLEMA 84

 

Doña Josefa Room Room  propietaria de un hostal cercano a un parque natural   de Andalucía,  tiene dos tipos de habitaciones, unas con vista  al valle del parque cuyo precio es  7.000 ptas  diarias, y otras  sin las mismas cuyo precio es de 5.000 ptas. Sabiendo que  el número de habitaciones alquiladas mensualmente tiene una distribución conjunta Normal con medias 55 y 30 y desviaciones estándares 20 y 15, respectivamente ; y  que la dueña ha comprobado que no existe ningún tipo de relación entre  el número de habitaciones alquiladas  de ambos tipos:

a) ¿Cuál será la probabilidad de que la recaudación total de Doña Josefa supere su valor esperado. ¿Cuál es la probabilidad de que  Doña Josefa alquile todas sus habitaciones?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que el número de habitaciones alquiladas   con vistas al valle supere al número de habitaciones del otro tipo en los últimos 3 años? ¿Qué supuestos habría que realizar para calcular dicha probabilidad?

c) Si en un mes se han ocupado más de 30 habitaciones con vistas al valle. ¿Cuál es la probabilidad de que  se ocupen más de 15 sin vistas?. Si en dicho mes se han ocupado menos de 12 habitaciones con vistas, ¿cuál  sería la correlación  de tal número, con el número medio de habitaciones sin vistas alquiladas en el mes anterior?

D )Para la próxima temporada, está prevista la realización de unas reformas  tendentes a que las habitaciones sin vistas sean más confortables  que las habitaciones con vistas, manteniendo su precio, tras lo cual se espera que  el público cambie sus preferencias de forma que  los clientes no se decanten por las segundas, de tal modo que el coeficiente de correlación lineal entre ambos tipos de habitaciones ocupadas mensualmente sea  de 0,8. ¿Cuál será la probabilidad de que tras la reforma, el número de habitaciones alquiladas  sin vistas al valle supere el 60% del  otro tipo de habitaciones?

 

SOLUCION: a).-  0.5 , 0  b).-  1, los habituales. c).-  0.8413,  0   d).-  0.3707

 

 

PROBLEMA 85

 

La empresa "El Pastorcito" sabe que la cantidad de almendra que contienen sus mantecados sigue una distribución normal con desviación típica 0'765 gramos.

a) Se extrae una muestra aleatoria de 25 mantecados y, a partir de la misma, el hijo del encargado, que estudia Estadística II en la Facultad de Ciencias Económicas y Empresariales de Sevilla, construye un intervalo de confianza para el peso medio de almendra por mantecado que va de 0'18 a 0'78. ¿Qué nivel de confianza ha utilizado? ¿Cuál será el error muestral cometido? ¿Depende tal error del tamaño muestral?.

b) Un gerente de esta empresa exige un intervalo de confianza del 99% con una amplitud de 0'4 gramos. ¿Cuántas observaciones son necesarias para alcanzar este objetivo?.

c) Sin necesidad de realizar cálculos, y manteniendo el número de mantecados obtenido en el apartado b), razonar si un intervalo de confianza del 90% para la media poblacional tendría mayor, menor o igual amplitud que el anterior intervalo del 99%.

Si para 1-a=0'90 se quiere mantener la amplitud anterior (0'4 gramos), ¿cuál debería ser el nuevo tamaño muestral?.

d) De la anterior muestra aleatoria de 25 mantecados se obtiene que la desviación estándar es de 0'68 gramos. Hallar el menor nivel de significación para el cual puede aceptarse la hipótesis alternativa de que la media no es 0'15 gramos. Con este resultado, ¿resulta coherente la hipótesis nula del contraste con la muestra?. ¿Cuál será el valor p (o valor de probabilidad) de este contraste? Justifique todas las respuestas.

Responda a las mismas cuestiones si la hipótesis nula a contrastar fuese que el peso medio es mayor de 0'15 gramos.

 

SOLUCIÓN: a).-  0.95,  ÷0.3÷, si.  b).- 97  c).-menor,  40  d).- 0.0308, no,  0.0308.  no.  0.9846,  si,  0.9846.

 

 

PROBLEMA  86

 

Una entidad financiera tiene abierta oficina en cada una de las 52 capitales de provincia españolas. El volumen de pasivo (expresado en millones de euros) de cada una de estas oficinas es una variable aleatoria cuya función de distribución es:

                                                        

Se estima que sólo son rentables aquellas oficinas cuyo volumen de pasivo supera los siete millones de euros.

a) Defina una variable aleatoria para clasificar una oficina como rentable o no rentable y determine su modelo de distribución.

b) En una Comunidad Autónoma constituida por 8 provincias, ¿cual es la probabilidad de que sean rentables, al menos, 2 oficinas?. ¿Y la probabilidad de que sean rentables más de la mitad del total de oficinas instaladas en España?.

 

SOLUCION: a).- Yi=1, si la oficina i es rentable , Yi=0, si la oficina i no es rentable    B(1, p=0.5)

b).-  0.9648  ,  0.5

 

 

PROBLEMA 87

 

Las nuevas normas urbanísticas de un Ayuntamiento han de ser aprobadas mediante referendum entre los 10.000 electores del municipio. Con objeto de estimar el resultado de la consulta, se realiza un sondeo entre 100 de estos electores de los que 30 se manifiestan contrarios a las nuevas normas.

a) ¿Que estimador considera más adecuado para pronosticar la proporción de electores contrarios a las nuevas normas?. ¿Cuál es la distribución muestral de dicho estimador?. Explique razonadamente sus respuestas y calcule la estimación de dicha proporción a partir de los datos del sondeo.

b) Como observadores de sondeos electorales, conocemos que difícilmente dichos sondeos aciertan al pronosticar dicha proporción. Calcule y justifique de forma razonada cual sería, teóricamente, la probabilidad de acertar.

c) Del resultado del sondeo se ha estimado que el número de electores contrarios a las nuevas normas está entre 2.100 y 3.900. ¿Que nivel de confianza se ha utilizado en dicha estimación por intervalos?.

 

SOLUCION:  a).- la media muestral. N(p, (p(1-p)/n)1/2)    0.3   b).- 0   c).-  0.95

 

 

PROBLEMA 88

 

Una muestra de las calificaciones en Estadística de los estudiantes de cierta facultad ofrece el siguiente resultado:

Calificaciones:               0-3                    3-5                    5-7                    7-10

Nº de alumnos:              8                      18                     24                     10

a) ¿ Son compatibles estos resultados con la hipótesis de que las notas de Estadística se distribuyen Normalmente con media 7 y variancia unitaria?. Contrástelo (α=0'05). ¿ Que modificaciones habría que realizar si hubiesemos supuesto para las calificaciones distribución Normal de variancia unitaria pero de media desconocida?. Indíquelas sin realizar cálculos.

b) De los 60 estudiantes de la muestra anterior, la mitad son alumnas, con media 7'2 y desviación estándar 0'5. Los alumnos de dicha muestra tienen una calificación media de 7'5 y variancia igual a 4. Con esta información y para un nivel de significación del 5%, contraste la hipótesis de que las calificaciones medias en Estadística son iguales frente a la alternativa de que la media de las alumnas es mayor.

 

SOLUCIÓN: a).- No. Obtener su estimación máximo verosímil y restar un grado de libertad.  b).- Aceptar (o no rechazar) la igualdad de calificaciones medias.

 

 

PROBLEMA 89

 

Una empresa pone a la venta un stock de 4.000 piezas de cubertería, en lotes indivisibles de 80 piezas. Se conoce que el 5 por mil de las 4.000 piezas del stock son defectuosas. Esta empresa se compromete a aceptar la devolución, y reponer al comprador un nuevo lote, si el adquirido presenta 2 o más piezas defectuosas.

a) Haciendo uso, previa justificación, de las aproximaciones que crea oportunas, calcule la probabilidad que un lote determinado sea devuelto.

b) Si son vendidos 45 lotes, ¿cual es la probabilidad que la empresa no pueda cumplir su compromiso?.

 

SOLUCION: a).-  0.0616    b).-  0.0943 ó 0.0838, dependiendo de la aproximación

 

 

PROBLEMA 90

 

Una empresa de cosméticos sostiene que su tratamiento contra el acné juvenil es eficaz en el 80% de los casos. Para contrastarlo, aplica el tratamiento a una muestra de 100 jóvenes con acné, resultando eficaz en 72 de ellos.

a) Haciendo uso de la técnica de contrastación de hipótesis estadísticas y para un nivel de significación del 5%, ¿cree aceptable la opinión de la empresa?.

b) Para un nivel de confianza del 95%, estime un intervalo numérico para el valor de la proporción poblacional de éxitos del tratamiento.

c) Utilice el intervalo estimado para realizar la contrastación pedida en el primer apartado. ¿Son coincidentes los resultados de ambas contrastaciones?. Señale y explique razonadamente las diferencias en los cálculos efectuados en ambos procedimientos que justifique su respuesta.

 

SOLUCIÓN:  a).- No   b).-  (0.6319  ,  0.8079)   c).-  No, por la distinta estimación de la variancia del estadístico

 

 

PROBLEMA 91

 

Durante su estancia en Sevilla, un conocido periodista deportivo ha entrevistado a 100 aficionados futbolísticos de los que 55 se declararon béticos y 45 sevillistas. Para un nivel de significación del 5%, son compatibles estos datos con su apreciación que los aficionados sevillanos se reparten por igual entre los dos equipos de Segunda División de la capital andaluza.

 

SOLUCIÓN:   Si

 

 

Problema 92

 

Para la campaña de Navidad la empresa "Mantecados del Sur" presenta una oferta a sus clientes de algunos de sus productos. Para beneficiarse de esta oferta el cliente debe comprar una cantidad mínima, lo que implica realizar un gran desembolso.

El Departamento Comercial de la empresa estima que por las condiciones de la oferta y las características de sus clientes, dicha oferta la aceptarán el 80 por ciento de éstos. En cualquier caso, para estudiar la posible acogida, se efectúa un primer lanzamiento realizando la oferta a 20 clientes escogidos al azar.

a) Si se admite la estimación del Departamento de Comercial ¿cuál es la probabilidad de que el 70 por ciento de los 20 clientes seleccionados acepten la oferta?

b) Considerando exitosos los resultados obtenidos con estos 20 clientes, se efectuó un segundo lanzamiento ampliando el número de clientes a 200. ¿Cuál es el porcentaje mínimo, en este caso, de clientes que aceptará la oferta con una garantía del 90 por ciento?

 

SOLUCIÓN:  a).-  0.1091    b).-   83.62%

 

 

Problema 93

Los mantecados elaborados por la empresa del problema 92 para su comercialización se envasan en cajas cuyo peso medio, asegura la empresa, es como mínimo de 5 kilos. Antes de la puesta a disposición de los distribuidores de las cajas de mantecados, éstos realizaron una inspección que les permitió analizar 30 cajas seleccionadas al azar. Se obtuvo un peso neto medio de 4,95 kilos con una desviación típica de 0,2 kilos. De acuerdo a los resultados obtenidos en dicha inspección, y suponiendo que la variable que representa el peso neto de una caja sigue una distribución Normal, ¿Puede aceptarse, para un nivel de significación de un 5 por ciento, que las cajas de mantecados alcanzan el peso neto medio que asegura la empresa?

 

SOLUCIÓN:  Si

 

 

Problema 94

La empresa "Mantecados del Sur" tiene prevista la siguiente distribución de producción anual: en el primer trimestre producirá la quinta parte de la producción anual; en el segundo la cuarta parte; en el tercero un cinco por ciento menos que la producción conjunta del primer y segundo trimestre; y el resto en el cuarto y último trimestre.

Sin embargo, observa la empresa que el volumen total de la producción en el año 2.000, cifrada en 1.500 toneladas, se distribuyó de la siguiente forma: el primer trimestre un 22 por ciento; el segundo un 23 por ciento; el tercero un 42 por ciento; y el cuarto un 13 por ciento del total anual  ¿Debe concluir que la distribución de la producción del año 2.000 no ha sido la prevista, a un nivel de significación del 1 %?

 

SOLUCIÓN:  Si

 

 

Problema 95

 

La agencia tributaria nº 1, situada en una zona residencial de cierta capital de provincia, estima que, para este año, los importes de las devoluciones fiscales de los contribuyentes de su distrito pueden ser aproximados mediante una distribución Normal de media 150000 pesetas y variancia 4'096x109 ptas2.¡Error! Marcador no definido.

Una devolución mayor de 332772 pesetas se considera "importante".

a) El director de la agencia desea saber que porcentaje de devoluciones actuales excede a esta cantidad.

b) Un agente fiscal de dicha agencia se pregunta cuál es la probabilidad que de los 30 contribuyentes que tiene asignados, al menos uno tenga una devolución "importante".

Como consecuencia de las reformas fiscales anunciadas por el gobierno se espera que los importes de las devoluciones del próximo año 2002 se incrementen en 16.386 pesetas por devolución.

c) El director quisiera conocer cual sería entonces el porcentaje de devoluciones "importantes".

d) Otro agente fiscal de dicha agencia desea conocer la probabilidad de tener que revisar 100 declaraciones de dicho año hasta encontrar 2 devoluciones "importantes".

Realice los cálculos oportunos para dar respuestas a las interrogantes planteadas por el director y los agentes de dicha agencia y, ante las dudas que les plantea el hecho de que en el año 2002 las diversas cantidades vendrán expresadas en euros, responda, además, a los apartados c y d realizando los cálculos con las magnitudes monetarias expresadas en dicha moneda. Comente brevemente los resultados.

 

SOLUCIÓN: a).-  48%     b).-  0.22     c).-  0.48%        d).-  0.001423.   los resultados de c) y d) no se alteran por el cambio de unidad monetaria

 

 

Problema 96

 

El director de la agencia tributaria número 1 del problema 95, desea estimar el porcentaje de declaraciones con derecho a devolución presentadas en su oficina, pues presume que el número  de declaraciones con derecho a devolución es el 55% de las presentadas. Uno de los empleados de la agencia le indica que tome una muestra aleatoria de tamaño suficiente para facilitar los cálculos. Por ello, elige al azar una muestra de 50 declaraciones de las que resultan 20 con derecho a devolución.

En la agencia tributaria numero 2, también se ha elegido una muestra aleatoria simple de 50 declaraciones, de las que encuentran 22 con derecho a devolución.

Ateniéndose a estos resultados, el director de la agencia número 2 sostiene que en su agencia se presenta una proporción mayor de declaraciones con derecho a devolución, opinión que no comparte el director de la agencia número 1 que opina lo contrario.

Con esta información, responda las siguientes cuestiones:

a) Justifique, de forma razonada, la sugerencia del empleado de la agencia nº1.

b) Para niveles de confianza del 95% y 99%, obtenga estimaciones por intervalos para la proporción de declaraciones con derecho a devolución presentadas en la agencia número 1.

c) En función de los valores de dichos intervalos, ¿le parece aceptable la presunción realizada por el director de la agencia nº1? ¿Por qué?

d) Para mediar en la disputa entre los directores de ambas agencias se decide realizar una contrastación de hipótesis con un nivel de significación del 1%. ¿Cual sería el planteamiento adecuado de dicho contraste para que su resultado sea favorable a la opinión del director de la agencia número 1? Justifíquelo razonadamente y realice dicho contraste.

 

SOLUCIÓN: a).- distrib. asint. de la media muestral (T.C.L.)     b).-   (0.2642  ,  0.5358)    (0.2219  ,  0.5781) 

c).-   si para a =0.01 , no para a=0.05    d).- establecer como hipot. nula la opinion del  dir. la agencia 1

 

 

Problema 97

 

El departamento de calidad de una empresa desea verificar el peso de los sacos llenados de trigo por una empacadora. El peso correcto de cada saco, marcado en su correspondiente etiqueta, es de 125 Kg., pero es habitual que dicho peso varíe. Por estudios preliminares se conoce que dicho peso suele fluctuar entre 115 y 135 Kg. El margen de tolerancia en el peso para poder enviar un saco al mercado se ha determinado en ± 5 Kg.

a) ¿Qué porcentaje de sacos empacados están dentro de dicho margen? La furgoneta de reparto tiene capacidad para 20 sacos, ¿cuál es la probabilidad que, en un viaje cualquiera de reparto, más de la mitad de los sacos tengan un peso fuera de dicho margen?

b) ¿Que margen de tolerancia en el peso permitiría enviar al mercado el 75% de los sacos empacados?

c) ¿Cual es el peso medio y la desviación estándar de los sacos empacados?

d) ¿ Qué porcentaje de los sacos empacados supera en más de un 10% el peso señalado en la etiqueta? ¿Qué porcentaje de sacos empacados presentan un peso inferior en más de un 8% el peso señalado en el etiquetado?

e) El departamento de calidad ordena que no sean enviados a la venta sacos con un peso inferior a 123 Kg. Si la empacadora llena diariamente 2.500 sacos, ¿ Cuál es la probabilidad de que hayan de ser retirados más de 500 sacos para cumplir dicha orden? ¿ Cual es la probabilidad que el peso total de trigo empacado en un día supere las 312'5 Tm?

 

SOLUCIÓN: a).-  50%  ,  0.4119      b).-   ± 7.5 kg.     c).-  125 kg.   ,    5.7 kg.     d).-  0%   ,    0%    e).-  1   , 0.5

 

 

Problema 98

 

Un analista económico quiere determinar si la tasa de desempleo es o no la misma en dos regiones de un determinado país. De la población activa de la región A obtiene una muestra aleatoria simple. de 550 personas de las que 55 resultan desempleadas. De forma análoga, en la región B, de una muestra aleatoria simple de 750 personas, 90 se encuentran sin empleo.

a) Para un nivel de significación del 5%, ¿cuál sería la conclusión del correspondiente contraste a tenor de los datos obtenidos?

b) Aunque, quizás la obtenida sea la conclusión correcta, ¿es posible que la decisión sea errónea? ¿cómo se denomina dicho error? ¿podría usted calcular la probabilidad de cometer dicho error en este contraste? ¿Por qué? ¿Qué cálculos debería realizar? Coméntelo breve y razonadamente.

c) Realice el mismo análisis mediante la construcción de los correspondientes intervalos de confianza del 95% y del 99%. Razone brevemente sobre los intervalos obtenidos si las tasas de desempleo son o no iguales en ambas regiones.

 

SOLUCIÓN:  a).- se acepta la igualdad de la igualdad de tasas.   b).-  si, error de tipo II, no por se compuesta la hipótesis alternativa, la función de potencia  c).-  (-0.054     0.014)    ,   (-0.065      0.025)

 

 

Problema 99

 

El peso de las bolsas de pipas de girasol que procesa una máquina envasadora, un tanto obsoleta, sigue una distribución Normal de media 150 gr. y variancia 1600 gr.2. Un mayorista sólo acepta bolsas cuyo contenido oscile entre 140 gr. y 190 gr.

a) Calcular la probabilidad de que tras procesar 8 bolsas, al menos 3 sean aceptadas por el mayorista.

b) Si cada caja contiene 25 bolsas, calcula cuantas bolsas deben ser procesadas por la máquina, para que con una garantía del 90% se pueda suministrar al mayorista un lote de 50 cajas.

c) ¿Cuál será el número medio de bolsas de pipas que deberá procesar la envasadora para poder completar una de esas cajas de 25 bolsas?

 

SOLUCIÓN: a).-  0.7799      b).-   2854    c).-  56

 

 

Problema 100

 

La dirección de una empresa dedicada a la fabricación de pilas alcalinas ha recibido últimamente quejas de sus clientes por la baja duración de las pilas tipo AA-LR6. Por ello, el gerente se plantea realizar un estudio para controlar la calidad de dicho producto; para lo cual supone que la duración de dichas pilas sigue una distribución Exponencial, y selecciona una muestra de 200 pilas, obteniendo una duración media de 30 horas.

a) ¿Cuáles serian los extremos del intervalo, que con una confianza del 95%, puede ofrecer a sus clientes el gerente para la duración media de las pilas?.

b) Algunos clientes, más osados, pretenden obtener estimaciones puntuales para la duración de este producto, a partir de la observación de la duración  de pequeñas muestras de pilas. ¿Cuál sería el estimador que tu propondrías a estos clientes?. Justifica tu elección. Obtén dicho estimador y comprueba adecuadamente la(s) propiedad(es), que te han conducido a tu elección, sin perder de vista el tamaño muestral utilizado.

 

SOLUCIÓN: a).-  (1.26  ,  78,94)      b).-   El eficiente, que en este caso existe: la media muestral

 

 

Problema 101

 

En un análisis sobre renta familiar de un área urbana, se han considerado los siguientes tramos: menos de 100000 u.m., entre 100000 y 150000, entre 150000 y 200000, entre 200000 y 250000, y más de 250000 u.m. Un analista sostiene que el 10% de las familias se encuentran en el tramo inferior;  que en los tres tramos intermedios se acumula la misma proporción de familias, y que 15% restante de las familias se concentra en el tramo superior. Otro analista sostiene que la renta familiar de dicho área se distribuye uniformemente entre 80000 y 300000 u.m. Contrasta, a un nivel de significación del 5% las tesis de ambos analistas, a partir del nivel de renta de las siguientes 150 familias, elegidas aleatoriamente en tal área urbana.

 

Nivel de renta

< 100000

100000-150000

150000-200000

200000-250000

>250000

Nº de familias

29

48

31

34

8

 

SOLUCIÓN: a).-  ambas tesis se rechazan

 

 

Problema 102

 

Como es sabido, y fácil de comprobar, el contenido de muchísimos productos envasados rara vez coincide exactamente con la cantidad que dicen contener. Pues bien, el contenido de los paquetes de pistachos de un kg. envasados por una empresa dedicada a la distribución de frutos secos es una variable aleatoria Normal de media 1000 gr. y variancia 64 gr2 . Por otra parte, el contenido de los envases de nueces de un kg. es una variable aleatoria distribuida Uniformemente entre 950 gr. y 1050 gr. e independiente de la anterior.

a) Representa gráficamente el recinto de variación de la distribución conjunta de ambas variables aleatorias. Calcula la probabilidad de que, elegidos al azar un envase de cada producto, simultáneamente el peso de ambos supere su respectivo valor medio. ¿Te atreverías a comparar la dispersión de ambas variables sin más que comparar las variancias?. ¿Por qué?. En caso afirmativo, hazlo.

b) Si se eligen al azar 10 paquetes de pistachos, ¿cual es la probabilidad de que el número de paquetes con peso superior a 1010 gr. supere al de paquetes con peso inferior a dicha cantidad?. Si se eligen al azar 8 envases de nueces, ¿cuál es la probabilidad de que 2 paquetes pesen menos de 975 gr. y 4 tengan un peso comprendido entre 975 y 1025 gr.

c) Si se elige una muestra aleatoria simple de paquetes de pistacho, y se desea que el peso medio de dichos paquetes no supere los 1005 gr. con una probabilidad del 95%, ¿cuál debería ser el tamaño de muestra elegido?. Si se quisiera reducir la probabilidad anterior, que ocurriría con el tamaño muestral obtenido anteriormente. Justifica la respuesta. Si la muestra fuese de envases de nueces, ¿bajo que condición, el peso medio seguiría, en el muestreo, el mismo modelo probabilístico que en el caso de la de pistachos?

d) Tanto los paquetes de pistachos como los de nueces son empaquetados en cajas de 50 unidades para su distribución a las llamadas grandes superficies comerciales. Calcula la probabilidad de que el peso del  producto contenido en una caja de paquetes de pistachos no supere en un 10 por ciento el peso del producto de una de nueces. Explica el fundamento del empleo de la(s) distribución(es) de probabilidad que utilices para dicho cálculo.

 

SOLUCIÓN: a).-  0.25 . Si  . El peso de los envases de nueces tiene más dispersión    b).-  0.001  ,  0.4101     c).-   7. Aumentando el tamaño muestra.  Para una muestra de gran tamaño     d).-  1

 

 

Problema 103

 

Una empresa dedicada a la producción de helados sabe que la cantidad de sucedáneo  hiperconcentrado de fresa que contiene sus helados de marca Supremme “de fresa” sigue una distribución Normal con desviación típica (o estándar) 0.765 gramos.

Se extrae una muestra aleatoria simple de 25 helados, y partir de la misma, se ha construido un intervalo de confianza para el peso medio de sucedáneo por helado, de extremos 0.18 y 0.78.

a) ¿Qué nivel de confianza se ha utilizado?. ¿Cuál ha sido el error muestral realizado?.

b) Si se quisiera construir ahora un intervalo del 99% confianza, para el mismo parámetro, con una amplitud de 0.4 gramos. ¿Cuántos helados habría que observar para conseguir dicho objetivo?.  Manteniendo dicho número de helados, razona sin un intervalo de confianza del 90% tendría mayor, menor o igual amplitud. Si se deseara mantener la amplitud de 0.4 gramos con una confianza del 90%, ¿cuál debería ser el nuevo tamaño muestral

c) A partir de la primera muestra aleatoria de 25 helados se ha obtenido una desviación estándar (o típica) de 0.68 gramos. Halla el menor nivel de significación para el cual se aceptaría la hipótesis alternativa de que la media de sucedáneo por helado no es de 0.15 gramos, tomado como hipótesis nula dicho peso medio. ¿Apoya la muestra la hipótesis nula de este contraste? Coméntalo.

d) Obtén el estimador de máxima verosimilitud del peso medio de sucedáneo. ¿Cuál sería la correspondiente estimación?. ¿Cuáles serían el estimador y la estimación obtenidos mediante el método de los momentos?. ¿Es consistente el estimador obtenido por este método?, ¿por qué?.

 

SOLUCIÓN: a).-  0.95  ,  ï0.3ï     b).-   97  ,   menor  ,   40      c).-  0.0308  ,  no     d).-  media muestral  ,  0.48. Los mismos. Si

 

 

Problema 104

 

En una determinada facultad, la cantidad semanal de dinero que gastan los alumnos en el bar es una variable aleatoria  Normal con desviación típica (o estándar) 250 u. m. Se sabe, por la experiencia de cursos anteriores, que el 10% de los alumnos gastan semanalmente mas de 1500 u. m.

a) ¿Qué porcentaje de alumnos gastan menos de 1000 u. m?. ¿Cuántos alumnos integran una pequeña pandilla en la que la probabilidad de que al menos unos de sus integrantes gaste menos de 1000 u. m. a la semana es 0.9328

El tiempo de atención que un alumno, en minutos, que ha de esperar en el mostrador de información de la biblioteca se puede describir mediante una variable aleatoria, tal que la probabilidad de que dicho tiempo sea superior a 3 minutos es e-3l , siendo l un parámetro positivo.

b) Para un alumno que lleva esperando más de 3 minutos, ¿Cuál será la probabilidad de que dicho tiempo supere los 6 minutos?.

Si durante la mañana de un viernes, después de un jueves festivo, el tiempo medio de espera en dicho mostrador es de medio minuto, y solo acuden 5 alumnos que no se conocen:

c) ¿Cuál es la probabilidad de que el alumno que menos tenga que esperar, sea atendido antes de 15 segundos?.

Se supone que el 50% de los alumnos de esta facultad cree necesaria una ampliación de la barra del bar.

d) ¿Cuál es la probabilidad de que más del 58% por ciento de una muestra aleatoria de 250 alumnos comparta esa opinión?.

 

SOLUCIÓN: a).-  23.58%  ,  10      b).-   e-3l     c).-  0.9179     d).-  0.0057

 

 

Problema 105

 

Se ha realizado un estudio sobre los licenciados en las dos ultimas promociones de cierta facultad que, sorprendentemente  gozan de un empleo a tiempo completo acorde a su titulación. La unidad utilizada ha sido decenas de miles de unidades monetarias.  El salario medio de una muestra de 138 licenciados pertenecientes a una de sus licenciaturas (llamémosla A) es  de 363. Otra muestra de 266 licenciados de la otra licenciatura (llamémosle B) ofrece un salario medio de 375 u m. Las desviaciones típicas poblacionales son, respectivamente 116y 165. Se supone que dichos salarios se distribuyen Normalmente

A) Obtén un intervalo del 90% de confianza para la diferencia de salarios medios poblacionales; a la vista de dicho intervalo, ¿se puede rechazar a un nivel de significación del 10% que la licenciatura no influye en el salario de los recientes licenciados de esta facultad

Para muestras independientes de alumnos y alumnas de primer curso de esta facultad se han obtenido los siguientes datos relativos a las horas diarias de estudio:

 

 

Menos de 2 horas

Mas de 2 horas

Alumnas

            170

          130

Alumnos

            180

          100

 

b) Para un nivel de significación del 1%, ¿puede rechazarse la hipótesis de que no existe relación entre sexo y horas de estudio?. Razona la conveniencia de realizar o no la corrección por continuidad (de Yates ¿Habría que realizarla en este contraste concreto?. ¿Por qué?. En caso afirmativo, realízala.

Se pretende estimar con una confianza del 90% y un error muestral de ½0.02½, la proporción de alumnos matriculados que estarían dispuestos a cambiar los horarios de los turnos de mañana y tarde para impartir docencia a un tercer turno, mediante una única pregunta a la que solo tendrían que  responder “Si” o “No”.

c) ¿A cuantos alumnos habrá que encuestar, suponiendo que todos responden

d) Realiza, a un nivel de significación del 5%, un contraste paramétrico que permita contrastar la hipótesis de que la proporción de estudiantes de esta facultad que estudia menos de dos horas al día es la misma para ambos sexos.

 

SOLUCIÓN: a).-  (-35.254  ,  11.254). No     b).-   No. No habría que realizar corrección  c).-  1691  d).- Se acepta tal hipótesis.

 

 

Problema 106

 

Una maquina fabrica ejes cuyos radios, en metros, se distribuyen con función de densidad:

            f(x) = k  1 £ x £ 3      ;      f(x) = 0            en el resto

Con esta información:

a) Obtenga el valor de k.

b) Los ejes son desechados cuando su radio se desvía de 2 metros en  ± 80 cm. Obtenga la proporción de ejes que serán rechazados. ¿Cuál es la probabilidad de tener que inspeccionar más de 5 ejes para encontrar uno defectuoso?

c) Los ejes pueden acoplarse entre sí siempre que sus radios estén entre 1’7 y 2’4 metros. Si tomamos 5 ejes al azar ¿cuál es la probabilidad de que puedan acoplarse entre sí? 

d) ¿Cuál es la longitud media o esperada de los ejes?, ¿y su variancia?

e) ¿Cuál es el área media o esperada de la sección de un eje?

 

SOLUCIÓN: a).-  0.5    b).-   80%    c).-  0.35    d).-  2  ,  1/3    e).-  13/3 

 

 

Problema 107

 

Las retribuciones percibidas por los empleados de una determinada empresa se han modelizado mediante una variable aleatoria con distribución Normal.  Se conoce, por las relaciones de seguros sociales, que el 1% de los empleados perciben retribuciones superiores a  5800 euros y el 10% inferiores a 1200 euros.

a) ¿Qué proporción de las retribuciones son superiores a 3000 euros?

b) ¿Cuál es la probabilidad que en una sección donde trabajan 10 empleados, al menos 2 tengan retribuciones superiores a 3000 euros?

c) ¿Qué porcentaje de trabajadores de la empresa reciben una retribución superior a la media?

d) ¿Considera apropiado el uso del modelo Normal para estudiar las retribuciones de esta empresa? Coméntelo razonadamente.

 

SOLUCIÓN: a).-  44.83%     b).-   0.9767     c).-  50%    d).-  Si , muy pocos salarios bajos y altos, y muchos concentrados en torno al salario medio.  

 

 

Problema 108

 

Se estima que el 43% de los alumnos de la licenciatura de ADE consideran muy importante que se imparta un curso de ética empresarial para inculcar valores éticos y de compromiso social a los futuros empresarios. Hallar la probabilidad de que más de la mitad de los 80 alumnos de un grupo opinen de este modo.

 

SOLUCIÓN:  0.1020

 

 

Problema 109

 

 

Sea (X1, X2, X3) una muestra aleatoria simple de una población con media μ y variancia s2. Considere los siguientes dos estimadores puntuales de :

 

 

Probar que ambos estimadores son insesgados ¿Cuál es más eficiente?

 

SOLUCIÓN: E(T1) = E(T2) = μ  , E1

 

 

Problema 110

 

De una muestra aleatoria de 802 clientes de supermercados, 378 fueron capaces de decir el precio correcto de un artículo inmediatamente después de ponerlo en el carro. Contrastar, para un nivel de significación del 10%, la hipótesis nula de que al menos la mitad de los compradores son capaces de decir el precio correcto. Indique el p-valor (valor de probabilidad) de este contraste y explique brevemente su significado.

 

SOLUCIÓN:  Se rechaza la hipótesis nula, 0.5050

 

 

Problema 111

 

Una muestra aleatoria simple de 15 pastillas para el dolor de cabeza tiene una desviación estándar de 0’8% en la concentración del ingrediente activo. Supuesto que el porcentaje de concentración del ingrediente activo siga una distribución Normal, calcule un intervalo del 90% de confianza para la desviación estándar poblacional.

 

SOLUCIÓN:   (0.61  ,  1.17)

 

 

Problema 112

 

Una fábrica tiene una cadena de montaje que se para un promedio de 8 veces al mes, de acuerdo a una distribución de Poisson ¿Cuál es la probabilidad de que  se pare al menos una vez durante un mes concreto?. ¿Cuál es la probabilidad de que se pare más de 8 veces durante un mes concreto? ¿Cuál es la probabilidad de que la cadena se pare al menos una vez durante una semana concreta? Para un año concreto, ¿cuál es la probabilidad de que ningún mes la cadena supere su promedio de paradas?

 

SOLUCIÓN: 0.9997  ,  0.4075  ,  0.00187

 

 

 Problema 113

 

El tiempo empleado por un asesor fiscal en rellenar un formulario de Hacienda es una variable aleatoria que sigue una distribución de media 5 minutos y desviación estándar 2 minutos ¿Cuál es la probabilidad de que tarde más de tres horas en rellenar 32 formularios? Sin efectuar los cálculos, indique en cual de los siguientes intervalos, expresados en minutos, es más probable que esté contenido el tiempo que tardará en llenar los 32 formularios: 165-175; 135-145; 140-150 ; 170-180. Explique razonadamente la respuesta.

 

SOLUCIÓN:   0.0384  ,  165-175

 

 

Problema 114

 

Del conjunto de alumnos de esta facultad matriculados en el último curso se extrajeron dos muestras aleatorias independientes: una de 92 alumnos matriculados en la licenciatura de Economía y otra de 82 alumnos matriculados en A.D.E. Entre los alumnos de Economía 49 esperaban “disfrutar” de un trabajo fijo antes de 5 años. Entre los futuros licenciados en A.D.E compartían dicha esperanza 36 de ellos. Obtenga un intervalo de confianza del 95% para la diferencia de las proporciones poblacionales de ambas licenciaturas de los alumnos que esperan alcanzar un trabajo fijo antes de 5 años. Para un nivel de significación del 5%, ¿podríamos afirmar que la proporción de alumnos que esperan obtener un trabajo fijo antes de 5 años es la misma en ambas licenciaturas? ¿Y para un nivel de significación del 1%?

 

SOLUCIÓN:  (-0.02  ,  0.22)  ,  si  tanto al 5% como al 1%

 

 

Problema 115

 

Un profesor de Estadística está pensando en utilizar un nuevo libro para seguir su curso, dudando entre los tres siguientes: Puñetera Estadística, Maldita Estadística y Estadística Confusa. Para salir de duda elige 60 ex-alumnos, y solicita que revisen los tres libros y le comenten sus preferencias. Los resultados fueron:

 

Libro:                                        P. Estadística                M. Estadística               Estadística C.

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                         Nº de alumnos que lo elige:                                                17                                 25                                18

 

Contrastar, para un nivel de significación del 5%, la hipótesis nula de que no hay un libro que sea más valorado que los otros.

 

SOLUCIÓN: Se acepta dicha hipótesis nula