La elipse OH

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20000 Problems under the Sea - Problema 7618

Sea un triángulo acutángulo ABC con circuncentro O y ortocentro H.
  1. Demostrar que puede inscribirse en el triángulo una elipse con focos O y H.
  2. Mostrar cómo construir, con regla y compás, los puntos D, E, F donde esta elipse es tangente a los lados BC, CA y AB, respectivamente, del triángulo.
  3. Demostrar que AD, BE y CF concurren en un punto.

(Pulsa aquí para ver el enunciado original)

 

Solución:

Para la primera parte, puedes consultar la solución del problema 130 del F.G.M.

Para tener obtener el punto D, tenemos en cuenta la siguiente propiedad de la elipse: la circunferencia directriz trazada desde un foco es el lugar geométrico de los puntos simétricos del otro foco respecto a las tangentes de la elipse.

Por tanto, en la figura se cumplirá que la recta OD cortará a la circunferencia circunscrita a ABC en el punto K simétrico de H respecto de la recta BC, obteniéndose la siguiente construcción para el punto D:

  1. Prolongamos la altura AH hasta que corte a la circunferencia circunscrita en K.
  2. Unimos OK
  3. D es la intersección de AK y OK.

Los puntos E y F se obtienen de forma similar.

 

Para demostrar que AD, BE y CF son concurrentes, tracemos el diámetro AN y unamos KN.

U es la intersección de AN con BC.

Por ser AN un diámetro, ÐAKN es recto, por lo que KN es paralelo a BC. Como el triángulo OKN es isósceles, también lo será el triángulo ODU. Concluimos entonces, que D y U están a la misma distancia del punto medio de BC.

Entonces se cumple que BD = UC, o también que BU = DC.

Conociendo el concepto de puntos isotómicos se deducirá entonces que AD, BE y CF serán concurrentes y que el punto de intersección P será el punto isotómico del circuncentro O.

 

Para entrar en detalles, si procedemos de forma análoga y trazamos diámetros por B y C obtendremos en los lados CA y AB los puntos V y W, respectivamente, tales que CV = EA y AW = FB. Entonces, aplicando el teorema de Ceva, resulta que

ya que al ser AU, BV y CW concurrentes en O se tiene que

Observemos que el hecho de que P sea el conjugado isotómico de O proporciona otra construcción de D, E y F. En efecto, para construir el punto D, podemos:

  • Trazar el diámetro de la circunferencia circunscrita que pasa por A.
  • Hallar su intersección U con el lado BC.
  • D es el punto simétrico de U respecto del punto medio de BC.

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Francisco Javier García Capitán, 2004.