Sintonía: La campanella

Niccolo Paganini

Comité Editorial: 

José Manuel Arranz San José, IES Europa, Ponferrada, León


Ercole Suppa, profesor titular de matemáticas y física del Liceo Scientifico
 “A. Einstein”  Teramo, Italia

Julián Santamaría Tobar, profesor de Dibujo del IES La Serna de Fenlabrada, Madrid
 

Milton Favio Donaire Peña, Estudiante de la Universidad Nacional de Ingenieria Lima - Perú. 
Facultad de ciencias especialidad Física Pura. Asesor del equipo Olímpico del Perú en el curso de Geometría.

Quincena del 1 al 15 de Septiembre de 2010

Propuesto por  François Rideau, Maitre de Conférences à l'Université de Paris 7. Problema 577. Cuadrilátero de Lemoine. Se tienen cuatro puntos A,B,C y D sobre una circunferencia  T. Sea a el punto de Lemoine del triángulo BCD, b el punto de Lemoine del triángulo ACD, c el punto de Lemoine del triángulo ABD, y d el punto de Lemoine del triángulo ABC.   Sea f la transformación proyectiva  del plano, definida por: f(A)=a, f(B)=b, f(C)=c, f(D)=d. Determinar los puntos fijos y las rectas dobles en tal transformación. http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?8,606901

 

EXTRA DE VERANO DEL 1 de julio de 2010 al 31 de agosto de 2010

Propuesto por Vicente Vicario García, I.E.S. El Sur, Huelva Problema 573.-             Sea ABC un triángulo acutángulo. Consideremos las cevianas que partiendo desde cada vértice del mismo pasan por su circuncentro. Sean D, E, F los pies de estas cevianas respecto de los lados BC, AC y AB del triángulo, respectivamente. (a) Demostrar que al menos uno de los segmentos OD, OE, OF es mayor o igual que el radio de la circunferencia inscrita al triángulo. (b) Demostrar que se puede refinar el apartado anterior y garantizar que al menos uno de los segmentos OD, OE, OF anteriores, es mayor o igual que la mitad del radio de la circunferencia circunscrita al triángulo. Nota: Evidentemente, a partir de la desigualdad de Euler-Chapple , el apartado (a) se deduce como corolario del apartado (b) que es un resultado más fuerte. Por otra parte, se puede intentar demostrar (a) sin demostrar primero (b) Vicario, V.(2010): Comunicación personal. Solución de Vicente Vicario García, I.E.S. El SUR, Huelva (1 de Julio de 2010) Solución de Saturnino Campo Ruiz, profesor del IES Fray Luis de León, de Salamanca. (5 de Julio de 2010)

 

 

Propuesto por Ricard Peiró i Estruch Profesor de Matemáticas del IES "Abastos" (València) Problema 574. Dado el triángulo equilátero  de lado 1. Determinar el punto D del lado  y el punto E del lado  que al trazar paralelas por D al lado , y por E al lado , determinan 4 regiones  del triángulo tal que ls áreas están en progresión aritmética (ver figura). Tribunal de Oposiciones de Secundaria :(2010) Valencia Solución de Ricard Peiró i Estruch Profesor de Matemáticas del IES "Abastos" (València) (1 de Julio de 2010) (en valenciano) Solución de Ricard Peiró i Estruch Profesor de Matemáticas del IES "Abastos" (Valencia) (1 de Julio de 2010) (en español) El profesor Ricard Peiró tiene tiene una página Web Solución de Vicente Vicario García, I.E.S. El SUR, Huelva (2 de Julio de 2010) Solución de Ercole Suppa, profesor titular de matemáticas y física del Liceo Scientifico “A. Einstein”, 64100 Teramo, Italia (5 de Julio de 2010) Solución del director (10 de Julio de 2010)

 

Problema 575 Problema 5.c. ¿Cuál es el área máxima de un triángulo inscrito en un cuadrado de lado 1?. Halmos, P. (2000) Problèmes pour mathématiciens, petits el grands. Le sel et le fer Cassine. (P 36) Del prefacio He escrito este libro divirtiéndome, y espero que ustedes se diviertan al leerlo. .. Estos problemas me interesan, me han hecho reflexionar, he intentado resolverlos, modificarlos, reconstruirlos, y luego clasificarlos, y reescribir los que considero mejores. Y así ha nacido este libro Solución de Ricard Peiró i Estruch Profesor de Matemáticas del IES "Abastos" (València) (1 de Julio de 2010) (en valenciano) Solución de Ricard Peiró i Estruch Profesor de Matemáticas del IES "Abastos" (Valencia) (1 de Julio de 2010) (en español) El profesor Ricard Peiró tiene tiene una página Web Solución de Vicente Vicario García, I.E.S. El SUR, Huelva (2 de Julio de 2010)

 

 

Problema 576 Consideremos los triángulos de área 1 ¿Cuál es el área máxima de un cuadrado contenido en uno de ellos? Halmos, P. (2000) Problèmes pour mathématiciens, petits el grands. Le sel et le fer Cassine (P 201) http://es.wikiquote.org/wiki/Paul_Halmos En un gran congreso de matemáticos en EEUU coincidieron por un lado Paul Halmos, y por otro, un joven profesor llamado Smith. El primer día que se encontraron en la cafetería, Halmos se acercó a Smith, diciendo: "hola, soy Halmos, ¿cómo se llama?" a lo que su compañero respondió educadamente: "Soy Smith, encantado". Al día siguiente, en el mismo lugar, Halmos volvió a acercarse, y se volvió a presentar, y Smith actuó como si el despistado matemático no se hubiera presentado el día anterior. Al tercer y último día del congreso, Smith vio cómo Halmos volvía a acercársele con intención de presentarse, por lo que antes de que hablase, le dijo: "Hola, usted es Halmos, ¿cómo me llamo?". Paul Halmos (1923-2006) documento "Paul Halmos: en sus propias palabras" Paul y su mujer, Virginia(tomada de maa.org/news)   Video con una entrevista con Halmos (MAA 2006) Traducción del Video hecha por mi alumna Julia Pérez de Guzmán, a quien agradezco la tarea" Solución de Vicente Vicario García, I.E.S. El SUR, Huelva (2 de Julio de 2010) Solución de Ricard Peiró i Estruch Profesor de Matemáticas del IES "Abastos" (València) (5 de Julio de 2010) (en valenciano) Solución de Ricard Peiró i Estruch Profesor de Matemáticas del IES "Abastos" (Valencia) (5 de Julio de 2010) (en español) El profesor Ricard Peiró tiene tiene una página Web Solución de Saturnino Campo Ruiz, profesor del IES Fray Luis de León, de Salamanca. (5 de Julio de 2010) Solución del director (10 de Julio de 2010)

 

 

Quincena del 16 al 30 de junio de 2010

 

Dedicado a Braulio de Diego Problema 569. 04.54 Las alturas de un triángulo ABC se cortan en un punto H. Determínese el valor del ángulo <BCA sabiendo que AB=CH. De Diego, B.,Llerena, A.,Baena,F.,Rodríguez,M.B.,Gamboa,J.M:,Lorenzo, J.M. (2005): Problemas de Oposiciones. Matemáticas. Oposiciones al Cuerpo de Profesores de Enseñanza Secundaria. p.745 (Ceuta) Año 2004. Con mi amigo Braulio de Diego. Feria Madrid es Ciencia (IFEMA) , 13 de abril de 2007   Solución de Ricard Peiró i Estruch Profesor de Matemáticas del IES "Abastos" (València) (17 de Junio de 2010) (en valenciano) Solución de Ricard Peiró i Estruch Profesor de Matemáticas del IES "Abastos" (Valencia) (17 de Junio de 2010) (en español) El profesor Ricard Peiró tiene tiene una página Web   Sevilla 31 de marzo de 2005: Reunión con mi amigo el profesor Ricard Peiró Solución de Ángel Montesdeoca Delgado, profesor del Departamento de Matemática Fundamental, Sección de Geometría y Topología, Universidad de La Laguna (17 de Junio de 2010). Solución de Vicente Vicario García, I.E.S. El SUR, Huelva (18 de Junio de 2010) Solución de Saturnino Campo Ruiz, profesor del IES Fray Luis de León, de Salamanca. (23 de Junio de 2010) El profesor Saturnino Campo en Cuenca Solución del director (25 de Junio de 2010)

 

Propuesto por Vicente Vicario García, I.E.S. El Sur, Huelva Problema 570.-             Sea ABC un triángulo escaleno en el que una altura, una bisectriz interior y una mediana (cada una de las cevianas anteriores parten de un vértice distinto) son iguales. Supongamos, sin pérdida de generalidad, que . Demostrar que las longitudes de los lados del triángulo ABC cumplen la siguiente relación:   Vicario, V. (2010): Comunicación personal Solución de Vicente Vicario García, I.E.S. El SUR, Huelva (18 de Junio de 2010) Solución de Ricard Peiró i Estruch Profesor de Matemáticas del IES "Abastos" (València) (17 de Junio de 2010) (en valenciano) Solución de Ricard Peiró i Estruch Profesor de Matemáticas del IES "Abastos" (Valencia) (17 de Junio de 2010) (en español) El profesor Ricard Peiró tiene tiene una página Web Solución de Ángel Montesdeoca Delgado, profesor del Departamento de Matemática Fundamental, Sección de Geometría y Topología, Universidad de La Laguna (17 de Junio de 2010). Solución de Francisco Javier García Capitán , profesor del IES Álvarez Cubero (Priego de Córdoba) (17 de Junio de 2010) El profesor García Capitán edita la página web problemas de matemáticas / bella geometría Con mi amigo Francisco Javier García Capitán (Bella geometría) En las jornadas de Granada (Febrero 2004)

Propuesto por Juan Bosco Romero Márquez, profesor colaborador de la Universidad de Valladolid Problema 571 Sean T=ABC de lados a(hipotenusa),b,c,  y T¨=A´B´C´ de lados a´(hipotenusa), b´,c´, dos triángulos rectángulos en A y A´, cuyas alturas desde A, A´,  son ha, ha´, respectivamente. Sean m, n, m´, n´, las proyecciones ortogonales sobre la hipotenusa a, a´, de los catetos b,c y b´, c´, de los triángulos T y T´, respectivamente. Probar que : a) 1/(mm´) + 1/(nn´)-  2/(ha ha´) >= 0. ¿ Cuándo se alcanza la igualdad? b) 1/(mn´)+ 1/(m´n)-  2/(ha ha´) > =0.  ¿ Cuándo se alcanza la igualdad? Romero, J.B.(2010): Comunicación personal. Con mi amigo Juan Bosco Romero Márquez, Sevilla 29 de noviembre de 2004 Solución de Juan Bosco Romero Márquez, profesor colaborador de la Universidad de Valladolid (16 dejunio de 2010) Solución de Ricard Peiró i Estruch Profesor de Matemáticas del IES "Abastos" (València) (17 de Junio de 2010) (en valenciano) Solución de Ricard Peiró i Estruch Profesor de Matemáticas del IES "Abastos" (Valencia) (17 de Junio de 2010) (en español) El profesor Ricard Peiró tiene tiene una página Web Solución de Vicente Vicario García, I.E.S. El SUR, Huelva (18 de Junio de 2010)

 

Problema 572 Construir sobre los lados BC, CA, AB de un triángulo ABC, exteriormente, los cuadrados BCDE, ACFG, BAHK, y construir los paralelogramos  FCDQ, EBKP. Demostrar que APQ es un triángulo rectángulo isósceles. Demir, H ()American Mathematical Monthly(1968), Vol 75 p 899 problem E2124. Propuesto por Hüseyin Demir; Midle East Technical University, Ankara, Turkey Solución del profesor Nicolás Rosillo Fernández, IES Máximo Laguna (Santa Cruz de Mudela, Ciudad Real).(16 de junio de 2010) Solución de Ricard Peiró i Estruch Profesor de Matemáticas del IES "Abastos" (València) (17 de Junio de 2010) (en valenciano) Solución de Ricard Peiró i Estruch Profesor de Matemáticas del IES "Abastos" (Valencia) (17 de Junio de 2010) (en español) El profesor Ricard Peiró tiene tiene una página Web Solución de Ángel Montesdeoca Delgado, profesor del Departamento de Matemática Fundamental, Sección de Geometría y Topología, Universidad de La Laguna (17 de Junio de 2010). Solución de Vicente Vicario García, I.E.S. El SUR, Huelva (18 de Junio de 2010) Solución de Saturnino Campo Ruiz, profesor del IES Fray Luis de León, de Salamanca. (23 de Junio de 2010) Solución del director (25 de Junio de 2010)

 

 

 

 

Quincena del 1 al 15 de junio de 2010

 

Propuesto por Juan Bosco Romero Márquez, profesor colaborador de la Universidad de Valladolid Problema 566 Sea ABC un triángulo y d=AD una ceviana arbitraria con D su pie sobre  el  lado BC. Por D trazamos paralelas a AC, AB lados del triángulo ABC que cortan  a éstos, en los puntos H y F, respectivamente. Por F,H se trazan paralelas al lado BC cortando éstas a la  ceviana AD, en los puntos G e I, respectivamente. Por F, H se trazan paralelas a la ceviana d=AD hasta que corte cada una al  lado BC, en los puntos E, y J respectivamente. Probar si es cierto o no que : a)  HF, JG, EI, se cortan en el punto X b)  Si Y=HD y JG,  Z= DF y IE,  entonces los triángulos ABC y XYZ  son semejantes. Hallar su centro que denotamos por X*, y su razón c)Lugar geométrico descrito por cada uno de los infinitos puntos siguientes  : X, Y, Z, cuando  D varía sobre BC. Romero, J.B. (2010): Comunicación personal. Solución de Ángel Montesdeoca Delgado, profesor del Departamento de Matemática Fundamental, Sección de Geometría y Topología, Universidad de La Laguna (7 de Junio de 2010). Solución de Francisco Javier García Capitán , profesor del IES Álvarez Cubero (Priego de Córdoba) (9 de Junio de 2010) El profesor García Capitán edita la página web problemas de matemáticas / bella geometría

 

Problema 567. En un triángulo ABC cuyo ángulo C es de 30º, se construye sobre el lado AB un triángulo equilátero hacia el exterior. Demostrar que con los segmentos CA, CB y CD se puede construir un triángulo rectángulo. Rabinowitz, S. (1963): Mathematics Student Journal 10, 6 Solución de Ricard Peiró i Estruch Profesor de Matemáticas del IES "Abastos" (València) (30 de Mayo de 2010) (en valenciano) Solución de Ricard Peiró i Estruch Profesor de Matemáticas del IES "Abastos" (Valencia) (30 de Mayo de 2010) (en español) El profesor Ricard Peiró tiene tiene una página Web Solución de Vicente Vicario García, I.E.S. El SUR, Huelva (31 de Mayo de 2010) Solución de Ángel Montesdeoca Delgado, profesor del Departamento de Matemática Fundamental, Sección de Geometría y Topología, Universidad de La Laguna (7 de Junio de 2010). Solución del director (10 de Junio de 2010)

 

Propuesto por Vicente Vicario García. I.E.S. El Sur, Huelva Problema 568  Es bien conocido que si un triangulo ABC tiene dos medianas, o dos bisectrices interiores, o dos cevianas Gergonne, o dos simedianas de la misma longitud, entonces el triangulo es necesariamente isósceles. Por otra parte, también es conocido que si un triangulo tiene dos bisectrices exteriores iguales, el triangulo no es necesariamente isósceles. (A este tipo de triángulos se les denomina pseudoisósceles). Si denominamos antisimediana al segmento conjugado isotomico de la simediana, es decir, el segmento cuyo pie es simétrico del pie de la simediana respecto del punto medio del lado, probar o refutar la siguiente proposición: “Existen triángulos no isósceles con dos antisimedianas de la misma longitud ”. Vicario, V. (2010): Comunicación personal. Solución de Vicente Vicario García, I.E.S. El SUR, Huelva (29 de Mayo de 2010) Solución de Ángel Montesdeoca Delgado, profesor del Departamento de Matemática Fundamental, Sección de Geometría y Topología, Universidad de La Laguna (7 de Junio de 2010).

 

Quincena del 16 al 31 de Mayo de 2010

Propuesto por Ercole Suppa, profesor titular de matemáticas y física del Liceo Scientifico  “A. Einstein”  Teramo, Italia   Problema 563   Para todos los triángulos de área máxima inscritos en una elipse de ejes 2a y 2b, el área del triángulo pedal del punto de Lemoine es constante e igual a     Barisien E.N., Il Periodico di Matematica (1911), pag. 40, problema 785 Solución de Vicente Vicario García, I.E.S. El SUR, Huelva (18 de Mayo de 2010)

 

Problema 564 Naranjo, J.C. (2005) Dada una hipérbola, las áreas de  los triángulos que forman cualquier tangente con las asíntotas no varía.   Naranjo, J.C. (2005) http://atlas.mat.ub.es/personals/naranjo/geogebra/exemples_projectiva/area_triangle_hiperbola.html   Con permiso del autor, Juan Carlos Naranjo del Val, profesor del Departament de Álgebra i Geometria  de la Universitat de Barcelona, a quien agradezco su atención.  Solución de Vicente Vicario García, I.E.S. El SUR, Huelva (18 de Mayo de 2010) Solución de Saturnino Campo Ruiz, profesor del IES Fray Luis de León, de Salamanca. (18 de Mayo de 2010) Solución de Ricard Peiró i Estruch Profesor de Matemáticas del IES "Abastos" (València) (18 de Mayo de 2010) (en valenciano) Solución de Ricard Peiró i Estruch Profesor de Matemáticas del IES "Abastos" (Valencia) (18 de Mayo de 2010) (en español) El profesor Ricard Peiró tiene tiene una página Web Solución de Ercole Suppa, profesor titular de matemáticas y física del Liceo Scientifico “A. Einstein”, 64100 Teramo, Italia (20 de Mayo de 2010)

 

Propuesto por William Rodríguez Chamache. Profesor de geometría de la "Academia integral Trujillo- Perú. Problema 565 Sea ABCD un cuadrado. Por A se traza cualquier triángulo PAQ con P sobre BC, Q sobre CD y <PAQ=45º. Sean M y N los puntos de intersección de la diagonal BD con AP y AQ. Demostrar que 2(BM BM +ND ND)=PQ PQ. Rodríguez, W. (2010): Comunicación personal. Solución de Vicente Vicario García, I.E.S. El SUR, Huelva (18 de Mayo de 2010) Solución de Saturnino Campo Ruiz, profesor del IES Fray Luis de León, de Salamanca. (18 de Mayo de 2010) Solución de Ricard Peiró i Estruch Profesor de Matemáticas del IES "Abastos" (València) (19 de Mayo de 2010) (en valenciano) Solución de Ricard Peiró i Estruch Profesor de Matemáticas del IES "Abastos" (Valencia) (19 de Mayo de 2010) (en español) El profesor Ricard Peiró tiene tiene una página Web Solución de Ercole Suppa, profesor titular de matemáticas y física del Liceo Scientifico “A. Einstein”, 64100 Teramo, Italia (22 de Mayo de 2010) Solución del director (25 de Mayo de 2010)

 

Quincena del 1 al 15 de Mayo de 2010

Propuesto por Ercole Suppa, profesor titular de matemáticas y física del Liceo Scientifico  “A. Einstein”  Teramo, Italia   Problema 561 Los semiejes α y β de la elipse de Steiner del triángulo ABC (elipse circunscrita al triángulo y que tiene por centro al baricentro del mismo), verifican las identidades:     Siendo a,b y c los lados y Δ el área del triángulo Barisien E.N., (1911) Il Periodico di Matematica, pag. 40, problema 782   Solución de Saturnino Campo Ruiz, profesor del IES Fray Luis de León, de Salamanca. (10 de Mayo de 2010)

 

Problema 562 Reflexiones en el triángulo Dibujar un triángulo ABC y marcar un punto P. Marcar las reflexiones X, Y, Z del punto P respecto a los lados del triángulo. Entonces las circunferencias XYC, YZA, ZXB y la ABC misma, todas se cortan en un punto común. Pag 258 Wells, D. (1991) THE PENGUIN DICTIONARY OF CURIOUS AND INTERESTING GEOMETRY. the Penguin Group   Solución de Francisco Javier García Capitán , profesor del IES Álvarez Cubero (Priego de Córdoba) (1 de Mayo de 2010) El profesor García Capitán edita la página web problemas de matemáticas / bella geometría Solución de Ricard Peiró i Estruch Profesor de Matemáticas del IES "Abastos" (València) (1 de Mayo de 2010) (en valenciano) Solución de Ricard Peiró i Estruch Profesor de Matemáticas del IES "Abastos" (Valencia) (1 de Mayo de 2010) (en español) El profesor Ricard Peiró tiene tiene una página Web Solución con una ampliación de Ángel Montesdeoca Delgado, profesor del Departamento de Matemática Fundamental, Sección de Geometría y Topología, Universidad de La Laguna (4 de Mayo de 2010).

 

 

Quincena del 16 al 30 de Abril de 2010

Problema 560   Trazar tres circunferencias que pasen por los vértices de un triángulo y los puntos medios de los lados concurrentes. Unamos el centro de cada circunferencia con el punto de corte de las otras dos circunferencias (el punto medio del lado, pues en el punto de Miquel se cortan las tres) con un segmento. Demostrar que los tres segmentos así obtenidos se intersecan en un único punto que pertenece a la recta de Euler.    González Calvet, R. (8/10/2000): TREATISE OF PLANE GEOMETRY THROUGH GEOMETRIC ALGEBRA (ed. electrónica, 2000-2001, ed. impresa, 2007), problema 9.5. El director añade que la ETC de Kimberling lo cataloga como X(140) y que es el punto medio entre el circuncentro y el centro de la circunferencia de los nueve puntos. Solución de Ercole Suppa, profesor titular de matemáticas y física del Liceo Scientifico “A. Einstein”, 64100 Teramo, Italia (16 de Abril de 2010) Solución de Ramón González Calvet, Profesor del I.E.S. Pere Calders (Cerdanyola del Vallès)(18 de Abril de 2010) Solución de Saturnino Campo Ruiz, profesor del IES Fray Luis de León, de Salamanca. (21 de Abril de 2010) Solución del director (25 de Abril de 2010)

 

In memoriam, al profesor Gennaro Rispoli Imagen cedida por sus alumnos Sevilla 12 de Abril de 2010. EXTRA Problema 559 Sea P un punto del interior del triángulo ABC. Sean D, E y F los pies de las perpendiculares desde P a BC, CA y AB, respectivamente. Si los tres cuadriláteros AEPF, BFPD y CDPE tienen incírculos tangentes a los cuatro lados, demostrar que P es el incentro de ABC. Rabinowitz, S. (2004):Crux Mathematicorum, Problem 2902. 30.1, (p.38) Solución de Ercole Suppa, profesor titular de matemáticas y física del Liceo Scientifico “A. Einstein”, 64100 Teramo, Italia (12 de Abril de 2010) Solución de Ricard Peiró i Estruch Profesor de Matemáticas del IES "Abastos" (València) (13 de Abril de 2010) (en valenciano) Solución de Ricard Peiró i Estruch Profesor de Matemáticas del IES "Abastos" (Valencia) (13 de Abril de 2010) (en español) El profesor Ricard Peiró tiene tiene una página Web Solución de Saturnino Campo Ruiz, profesor del IES Fray Luis de León, de Salamanca. (21 de Abril de 2010) Solución del director (25 de Abril de 2010)

 

Quincena del 1 al 16 de Abril de 2010

Problema 556 Propuesto por William Rodríguez Chamache. profesor de geometria de la "Academia integral class" Trujillo- Perú. En un triángulo ABC se tiene que <BAC=60º-2β, <BCA=3β. Se tiene D en el segmento AC tal que AB=DC y que <DBC=5β. Hallar β. Rodríguez, W. (2010): Comunicación personal. Solución de Ercole Suppa, profesor titular de matemáticas y física del Liceo Scientifico “A. Einstein”, 64100 Teramo, Italia (6 de Abril de 2010) Solución de Vicente Vicario García, I.E.S. El SUR, Huelva (7 de Abril de 2010) Solución del director (11 de Abril de 2010)

 

Problema 557 Propuesto por Nicolás Rosillo Dpto. Matemáticas, IES Máximo Laguna (Santa Cruz de Mudela, Ciudad Real) y Francisco Javier García Capitán, profesor del IES Álvarez Cubero (Priego de Córdoba)     Para cualquier triangulo existen dos puntos tales que sus  simétricos respecto los lados del triángulo forman un triángulo equilátero.   Rosillo, N, y García Capitán, F.J. (2010): Comunicación personal. Solución de Ercole Suppa, profesor titular de matemáticas y física del Liceo Scientifico “A. Einstein”, 64100 Teramo, Italia (6 de Abril de 2010) Solución de Vicente Vicario García, I.E.S. El SUR, Huelva (7 de Abril de 2010) Solución de Julián Santamaría Tobar, profesor de Dibujo del IES La Serna de Fenlabrada (9 de Abril de 2010)

 

Problema 558 Dado un triángulo A1, B1,C1, encontrar otro ABC tal que los simétricos de sus vértices respecto del lado opuesto, coincidan con los vértices A1 B1 C1 del primero.   Sánchez, M. (1992): Algunos problemas de matemática elemental. (Discurso de ingreso en el IEG) Boletín del Instituto de Estudios Giennenses.   Del discurso:   … B) Tipo geométrico. En particular los dedicados al triángulo; figura geométrica la más fértil en estos menesteres y en los cuales no se respira más que geometría pura. Las variables no están contaminadas…

 

Quincena del 16 al 31 de Marzo de 2010

Propuesto por Francisco Javier García Capitán, profesor del IES Álvarez Cubero (Priego de Córdoba) Problema 552 Dado el triángulo ABC, hallar el lugar geométrico de los puntos P tales que el ángulo X de su triángulo ceviano XYZ es recto. Comprobar que el conjugado isogonal de dicho lugar geométrico es una cónica y construirla a partir del triángulo ABC.     Garcia, FJ (2010). Comunicación personal Solución de Francisco Javier García Capitán , profesor del IES Álvarez Cubero (Priego de Córdoba) (18 de Marzo de 2010) El profesor García Capitán edita la página web problemas de matemáticas / bella geometría Solución de Ángel Montesdeoca Delgado, profesor del Departamento de Matemática Fundamental, Sección de Geometría y Topología, Universidad de La Laguna (22 de Marzo de 2010).

 

Propuesto por Vicente Vicario García, I.E.S. El Sur, Huelva Problema 553             Sea ABC un triángulo escaleno con  a>b>c . Determinar el segmento de línea recta de longitud mínima que divide al mismo en dos partes de igual área.   Vicario, V. (2010): Comunicación personal Solución de Vicente Vicario García, I.E.S. El SUR, Huelva (16 de Marzo de 2010) Solución de Ercole Suppa, profesor titular de matemáticas y física del Liceo Scientifico “A. Einstein”, 64100 Teramo, Italia (22 de Marzo de 2010)

 

Propuesto por William Rodríguez Chamache. profesor de geometria de la "Academia integral class" Trujillo- Perú. Problema 554 En un triángulo ABC se tiene: <BAC=80º, <BCA=20º, y sea D el pie de la bisectriz del ángulo B. Demostrar que DC=AB+BD. Rodríguez, W. (2010): Comunicación personal. Solución de Vicente Vicario García, I.E.S. El SUR, Huelva (17 de Marzo de 2010) Solución de Ercole Suppa, profesor titular de matemáticas y física del Liceo Scientifico “A. Einstein”, 64100 Teramo, Italia (17 de Marzo de 2010) Solución de Ricard Peiró i Estruch Profesor de Matemáticas del IES "Abastos" (València) (19 de Marzo de 2010) (en valenciano) Solución de Ricard Peiró i Estruch Profesor de Matemáticas del IES "Abastos" (Valencia) (19 de Marzo de 2010) (en español) El profesor Ricard Peiró tiene tiene una página Web Solución de Milton Favio Donaire Peña, Estudiante de la Universidad Nacional de Ingenieria Lima - Perú. Facultad de ciencias especialidad Física Pura. Asesor del equipo Olímpico del Perú en el curso de Geometría. (1 de Abril de 2010)

 

Problema 555 3.1 El triángulo rectángulo   Sea ABC un triángulo rectángulo con el ángulo recto en el vértice A, y P sobre BC. Sean I y J los pies de las perpendiculares trazadas por P a AB y AC. ¿Cómo debemos elegir P para que IJ sea mínimo?   Laborde, C. (1992): Solving problems in computer based geometry enviroments: The influence of the features of the software. ZDM (92/4), p. 131 Solución de Nicolás Rosillo. Dpto. Matemáticas, IES Máximo Laguna (Santa Cruz de Mudela, Ciudad Real) (17 de Marzo de 2010) Solución de Vicente Vicario García, I.E.S. El SUR, Huelva (17 de Marzo de 2010) Solución de Ercole Suppa, profesor titular de matemáticas y física del Liceo Scientifico “A. Einstein”, 64100 Teramo, Italia (17 de Marzo de 2010) Solución de Saturnino Campo Ruiz, profesor del IES Fray Luis de León, de Salamanca (18 de Marzo de 2010) Solución de Ricard Peiró i Estruch Profesor de Matemáticas del IES "Abastos" (València) (19 de Marzo de 2010) (en valenciano) Solución de Ricard Peiró i Estruch Profesor de Matemáticas del IES "Abastos" (Valencia) (19 de Marzo de 2010) (en español) El profesor Ricard Peiró tiene tiene una página Web Solución de Ángel Montesdeoca Delgado, profesor del Departamento de Matemática Fundamental, Sección de Geometría y Topología, Universidad de La Laguna (22 de Marzo de 2010). Solución de Francisco Javier García Capitán , profesor del IES Álvarez Cubero (Priego de Córdoba) (23 de Marzo de 2010) El profesor García Capitán edita la página web problemas de matemáticas / bella geometría  Solución con generalización a un ángulo distinto de 90º. 10 On a problem of Klaoudatos ofrecida por anónimo. (27 de Marzo de 2010)

Quincena del 1 al 15 de Marzo de 2010

Propuesto por Vicente Vicario García, I.E.S. El Sur, Huelva Problema 550 Sea ABC un triángulo arbitrario y MNP su triángulo de Morley interior. Demostrar que existe una recta que divide a los dos triángulos en dos partes de igual área a la vez . Vicario, V. (2010): Comunicación personal.

 

Problema 551 Las distancias de un punto cualquiera de una mediana a los lados que parten del mismo vértice son inversamente proporcionales a dichos lados. Frère Gabriel Marie , 1820-1891. 5. ed.:  3 p. L., [iii]-xxiv, 1302 p. diagrs. 22 cm . Tours, A. Mame et fils; [etc., etc.] 1912. (p.757) Solución de Ricard Peiró i Estruch Profesor de Matemáticas del IES "Abastos" (València) (1 de Marzo de 2010) (en valenciano) Solución de Ricard Peiró i Estruch Profesor de Matemáticas del IES "Abastos" (Valencia) (1 de Marzo de 2010) (en español) Solución de Ercole Suppa, profesor titular de matemáticas y física del Liceo Scientifico “A. Einstein”, 64100 Teramo, Italia (1 de Marzo de 2010) Solución de Vicente Vicario García, I.E.S. El SUR, Huelva (2 de Marzo de 2010) Solución de Saturnino Campo Ruiz, profesor del IES Fray Luis de León, de Salamanca. (2 de Marzo de 2010)

 

 

Propuesto por Juan Bosco Romero Márquez, profesor colaborador de la Universidad de Valladolid Problema 546 Sea ABC un triángulo y AAa, la bisectriz interior del ángulo A, siendo Aa su pie sobre el lado BC. Sean Ba y Ca, los puntos obtenidos por intersección de la perpendicular que pasa por Aa y corta al lado AC y AB, respectivamente. Definimos los puntos Da=AAa y BaCa, Ea=AaBa y CCa, Fa=AaCa y BBa. Probar que : a) La altura desde A a BC y las rectas BBa y CCa  concurren en el punto Xa. b)¿Están los puntos Ia=ABa y AaCa, Ja=AB y DaFa, y Ka=BaCa y BC alineados? c) Haciendo las mismas construcciones para los vértices B y C, y sus lados opuestos y con las notaciones anteriores, obtenemos el triángulo XaXbXc.¿Qué relación existe entre triángulo y el triángulo ABC? Romero, J.B. (2010): Comunicación personal   Solución de Ercole Suppa, profesor titular de matemáticas y física del Liceo Scientifico “A. Einstein”, 64100 Teramo, Italia (21 de Febrero de 2010) Solución de las dos primeras partes de Saturnino Campo Ruiz, profesor del IES Fray Luis de León, de Salamanca. (5 de Marzo de 2010)

 

 

Normas Se publicarán las soluciones recibidas. En la quincena, habrá 10 días sin aparecer las primeras soluciones. En tal caso, hay la posibilidad de que varias soluciones coincidan, y serán publicadas. Los últimos 5 días aparecen las soluciones,  siempre que sea ésta alguna diferente de la del propio proponente;si no es así se queda en el cajón de "pendiente por resolver". Los problemas permanecerán un mes en la página de inicio. Se admiten propuestas de problemas, indicando la correspondiente  bibliografía. Si de alguna "comunicación personal" es conocida su referencia, se solicita que se comunique al director/editor. Pueden enviarse fotos y pequeño currículum para incorporarlos a Colaboradores

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