Sintonía: La campanella

Niccolo Paganini

ISSN 1697-4859

Sevilla (España)

Bienvenido/a al Laboratorio virtual de triángulos con Cabri II

Propuesta quincenal de problemas de triángulos para resolverlos con Cabri

Las propuestas de problemas y las soluciones rbarroso@us.es O A ricardobca@yahoo.com IMAGEN DE SEVILLA

Fuente hexagonal del alcÁzar

Vista de Sevilla desde la Giralda

Estrella de ocho puntas del alcázar

Dirigida y editada por Ricardo Barroso Campos (TEU del Departamento de Didáctica de las Matemáticas)(Universidad de Sevilla)

Comité Editorial: 

Julio A. Miranda Ubaldo,  profesor del I.E.P "San Francisco de Asís" de Huaral, de Perú

Ricard Peiró i Estruch Profesor de Matemáticas del IES "Abastos" (Valencia)

Ángel Montesdeoca Delgado, profesor del Departamento de Matemática  Fundamental, 
    Sección de Geometría y Topología, Universidad de La Laguna

Vicente Vicario García, I.E.S. El SUR, Huelva

Problema 81.

Este problema estaba sin resolver desde el 15 de marzo de 2003

Problema de Jordi Dou propuesto por el profesor Juan-Bosco Romero Márquez, Colaborador de la Universidad de Valladolid.

Problema 81

Sea T un triángulo rectángulo isósceles. Sea S el círculo tal que la diferencia entre las areas de T unión con S y de T intersección con S es mínima. Demostrar que el centro de S divide a la altura sobre la hipotenusa de T en el número de oro.

Jordi Dou (1980): American Mathematical Monthly, Vol. 87, No. 7, Aug. - Sep.,(pag 577)

Solución de David Puente García , ingeniero de telecomunicaciones, estudiante del Máster en Tecnologías y Sistemas de Comunicaciones en la Universidad Politécnica de Madrid(16 de Enero de 2010)

Propuesto por Gennaro Rispoli, profesor de matemáticas en el Liceo Scientifico  Sperimentale annesso al Liceo Ginnasio "T.L. Caro", 84087 Sarno  (Salerno), Italia.

Problema 542

Problema IR7

8.- Sea P un punto sobre la circunferencia circunscrita del triángulo ABC. Es conocido que los pies de las perpendiculares trazadas por P a los lados AB, BC y CA están alineados en la recta de Simson. Demostrar que las rectas de Simson de dos puntos P 1 y P 2 diametralmente opuestos son perpendiculares.

“ Baltic Way – 90” Mathematical Team Contest, Riga, November 24, 1990

Propuesto por Juan Bosco Romero Márquez, profesor colaborador de la Universidad de Valladolid

Problema 543.

Teorema. Sea ABC un triángulo plano, a,b y c los lados , A constante. Se tiene la relación a ⁿ =b ⁿ +c ⁿ donde n es constante. Demostrar que necesariamente ha de ser n=2 y A=90º

Giessen: (1843) "Sur la géneralisation du Theoreme de Pythagore", Journal de M. Crelle,  Tome XXVI, page 92

Propuesto por Vicente Vicario García, I.E.S. El Sur, Huelva

Problema 544

Demostrar que existe un triángulo acutángulo, uno de cuyos ángulos mide 60º y tal que el área de su triángulo órtico sea igual al área de su triángulo de Morley.

Vicario, V. (2010): Comunicación personal.

Problema 545

265.-  Encontrar en el interior de un triángulo dado un punto tal que los segmentos que lo unen a los vértices del triángulo dividen al inicial en tres triángulos cuyas áreas sean iguales.

Alexandroff, I. (1899)  Problemas de geometría elemental agrupados según los métodos a emplear para su resolución. Traducido del ruso al francés, según la sexta edAitoff. París (p. 56)

El profesor Gennaro Rispoli informa que este problema tiene esta referencia:

Liu, A. (2001):Hungarian Problem Book III (Based on Eotvos Competitions: 1929-1943). p 92-93, prob. 1936.2. MAA

El director agradece la referencia

Propuesto por Gennaro Rispoli, profesor de matemáticas en el Liceo Scientifico  Sperimentale annesso al Liceo Ginnasio "T.L. Caro", 84087 Sarno  (Salerno), Italia.

Problema 539.-

GI(GBR) IMO 1996

Sea el triángulo ABC con ortocentro H y P un punto de su circunferencia circunscrita, distinto de A, B y C. Sea E el pie de la altura BH, sean PAQB y PARC paralelogramos, y sea X el punto de corte de AQ y HR. Demostrar que EX es paralela a AP.

Djukic D., Jankovic V., Matic I. Petrovic N. (2006): The IMO Compendium, A Collection of Problems Suggested for the International Mathematical Olimpiads: 1959-2004, Springer,  (pag 288)

Solución de Nicola Tancredi profesor de Matemática y Física en el liceo Scientifico "G. Galilei" di Sapri (Sa), Italia. (20 de Enero de 2010)

Solución de Gennaro Rispoli, profesor de matemáticas en el Liceo Scientifico  Sperimentale annesso al Liceo Ginnasio "T.L. Caro", 84087 Sarno  (Salerno), Italia.(20 de Enero de 2010)

Solución de Francisco Javier García Capitán , profesor del IES Álvarez Cubero (Priego de Córdoba) (22 de Enero de 2010)

El profesor García Capitán edita la página web problemas de matemáticas / bella geometría

Propuesto por Ricard Peiró i Estruch Profesor de Matemáticas del IES "Abastos" (Valencia)

Problema 540

Resolver y construir el triángulo rectángulo ABC, A=90º conocidos c, a+b.

Sánchez-Rubio, C. , Ripollés, M. (2000). Manual de matemáticas para preparación olímpica.Universitat Jaume I. Castelló. Problema 8 (pág. 339)

Ampliación del profesor Peiró:

Resolver y construir el triángulo rectángulo ABC, A=90º conocidos c, a-b.

Solución de Ricard Peiró i Estruch Profesor de Matemáticas del IES "Abastos" (València) (16 de Enero de 2010) (en valenciano)

Solución de Ricard Peiró i Estruch Profesor de Matemáticas del IES "Abastos" (Valencia) (16 de Enero de 2010) (en español)

Solución de Francisco Javier García Capitán , profesor del IES Álvarez Cubero (Priego de Córdoba) (18 de Enero de 2010)

El profesor García Capitán edita la página web problemas de matemáticas / bella geometría

Solución de Julián Santamaría Tobar, profesor de Dibujo del IES La Serna de Fenlabrada (18 de Enero de 2010)

Solución de Saturnino Campo Ruiz, profesor del IES Fray Luis de León, de Salamanca. (19 de Enero de 2010)

Solución de Italo D'Ignazio, Teramo, Italia. (20 de Enero de 2010)

Solución del director (25 de Enero de 2010)

Propuesto por Juan Bosco Romero Márquez, profesor colaborador de la Universidad de Valladolid

Problema 541

Sea ABC un triángulo, con lados a,b,c, alturas h_a,h_b,h_c, medianas m_a,m_b,m_c, y bisectrices
interiores t_a,t_b,t_c, respectivamente.
Probar que :
1) h_a.h_b.h_c < a b c ;

2) t _a.t_b.t_c<abc ;

3)h_a.h_b.t_c < abc ;

4) h_a.t_b.t_c<abc;

5) h_a. h_b. m_c< abc;

6) h_a. m_a. h_b < abc ;

7) h_a.t_a.h_b<abc ;

8) t_a.m_a.h_b<abc ;

9) t_a. t_b. m_c<abc;

10) h_a.t_b.m_c<abc.

Garfunkel, J. (1968) :" A Project in Mathematics. The Mathematics Teacher, March, pp. 253-263

Solución de Ercole Suppa, profesor titular de matemáticas y física del Liceo Scientifico “A. Einstein”, 64100 Teramo, Italia (20 de Enero de 2010)

Problema 537

En un triángulo rectángulo ABC con <A=60º y B=30º, sean D,E,F los puntos de trisección cercanos a A, B y C sobre los lados AB, BC y CA, respectivamente. Extendemos CD, AE y BF hasta intersecar a la circunferencia circunscrita en P, Q y R. Demostrar que PQR es un triángulo equilátero.

Garfunkel, J. Pi Mu Epsilon Journal 331 (26)

Solución del director (16 diciembre 2009)

Solución de Ricard Peiró i Estruch Profesor de Matemáticas del IES "Abastos" (València) (18 de Diciembre de 2009) (en valenciano)

Solución de Ricard Peiró i Estruch Profesor de Matemáticas del IES "Abastos" (Valencia) (18 de Diciembre de 2009) (en español)

Solución de Ángel Montesdeoca Delgado, profesor del Departamento de Matemática Fundamental, Sección de Geometría y Topología, Universidad de La Laguna (18 de Dicienbre de 2009).

El profesor Ricard Peiró tiene tiene una página Web

Problema 538.-

Homenaje a Jack Garfunkel

Dado un triángulo ABC se trazan equiláteros exteriores BAP y ACQ sobre los lados AB y CA. Sea R el punto medio de BC y G el baricentro de ACQ. Demostrar que el triángulo PRG es 30º-90º-60º.

Garfunkel, J. Pi Mu Epsilon, 44, 553

Solución del director (16 diciembre 2009)

Solución de Ricard Peiró i Estruch Profesor de Matemáticas del IES "Abastos" (València) (18 de Diciembre de 2009) (en valenciano)

Solución de Ricard Peiró i Estruch Profesor de Matemáticas del IES "Abastos" (Valencia) (18 de Diciembre de 2009) (en español)

El profesor Ricard Peiró tiene tiene una página Web

Solución de Gennaro Rispoli, profesor de matemáticas en el Liceo Scientifico  Sperimentale annesso al Liceo Ginnasio "T.L. Caro", 84087 Sarno  (Salerno), Italia.(23 de Diciembre de 2009)

Solución de Ercole Suppa, profesor titular de matemáticas y física del Liceo Scientifico “A. Einstein”, 64100 Teramo, Italia (26 de Diciembre de 2009)

Propuesto por Juan Bosco Romero Márquez, profesor colaborador de la Universidad de Valladolid

Problema 533.

Dedicado a Jack Garfunkel

Sea ABC un triángulo acutángulo de lados a,b y c, p, R, r, semiperímetro, radio del círculo cirunscrito e inscrito, al triángulo, respectivamente, ma,mb,mc las medianas, ha,hb, hc, las alturas correspondientes a los lados a,b y c, respectivamente, probar que :

i)  p>=abc/2R²,

ii) 1/a+ 1/b+1/c>=3^1/2/R ,

iii) (1/m_a)+(1/m_b)+(1/m_c)>=(2/R),

iv) (a/m_a)+(b/m_b)+(c/m_c)>2(3^1/2)

v)   h_am_a+h_bm_b+h_cm_c<=p²,

alcanzado la igualdad en todas estas desigualdades si el triángulo ABC es equilátero.

Garfunkel, J.(1967):  Exploring Geometric Maxima and Minima,  Mathematics Teacher, February, 1969, N.2, pp.85-90

Solución de Ercole Suppa, profesor titular de matemáticas y física del Liceo Scientifico “A. Einstein”, 64100 Teramo, Italia (3 de Diciembre de 2009)

Solución de Vicente Vicario García, I.E.S. El SUR, Huelva (9 de Diciembre de 2009)

Jack GARFUNKEL
Uno de los contribuidores habituales de Crux  desde sus comienzos, Jack Garfunkel, falleció durante la Nochevieja de 1990. Sus muchas aportaciones en geometría, a veces muy dificultosas, pero a menudo hermosas, fueron muy apreciadas por lectores de Crux. Será echado de menos. La siguiente información sobre su vida fue proporcionada amablemente por su hijo, Sol Garfunkel.

Jack nació en Polonia en 1910 y vino a los Estados Unidos con nueve años.
Aunque fue uno de los mejores matemáticos en la Universidad en Nueva York,  dejó la vida académica después de la graduación para ayudar a su  familia durante la depresión. Durante los siguientes 25 años, trabajó en la fabricación de caramelos. A la edad de 45 años, él volvió y se hizo un profesor de matemáticas de instituto.
Durante los próximos 24 años, dio clases en el Forest Hills High, supervisando más de dos docenas de finalistas Westinghouse y ganadores de semifinalistas, en la búsqueda de talento. Cuando "se retiró" de la enseñanza de instituto, inmediatamente comenzó el trabajo como profesor de adjunto en Queens College y más tarde en Queensborough Community College , donde dio clases hasta noviembre de 1990.
En sus dos trabajos en la fabricación de caramelos y como profesor, siguió haciendo matemáticas, conjeturando y solucionando problemas de geometría sintética y desigualdades geométricas.
Aunque su educación formal terminó con su trabajo de estudiante, nunca perdió su curiosidad y amor por el tema.

(Tomado de Crux Matematicorum)

En el Extra de 16 de Diciembre de 2009 el director de trianguloscabri ofrecerá dos problemas de Jack Garfunkel.

Propuesto por Vicente Vicario García, I.E.S. El Sur, Huelva

Problema 534.-

Sea ABC un triángulo y K su simediano, conocido también por punto de Lemoine-Grebe del mismo. Si Λ(K) denota la suma de las distancias del punto simediano a los lados del triángulo, demostrar que Λ(K) ≤3r , donde r es el radio de la circunferencia inscrita al mismo.

Nota: Este problema pretende continuar y profundizar con la línea relativa a los problemas 420 y 506 que propuso el mismo proponente en esta revista

Solución de Vicente Vicario García, I.E.S. El SUR, Huelva (1 de Diciembre de 2009)

Solución de Ercole Suppa, profesor titular de matemáticas y física del Liceo Scientifico “A. Einstein”, 64100 Teramo, Italia (3 de Diciembre de 2009)

Propuesto por Gennaro Rispoli, profesor de matemáticas en el Liceo Scientifico  Sperimentale annesso al Liceo Ginnasio "T.L. Caro", 84087 Sarno  (Salerno), Italia.

Problema 535

G3 (GBR) IMO 1996

Sea ABC un triángulo acutángulo con BC>CA. Sea O el circuncentro, H el ortocentro y F el pie de la altura CH. La perpendicular a OF en F corta al lado CA en P. Demostrar que<FHP=<BAC.

Djukic D., Jankovic V., Matic I. Petrovic N. (2006): The IMO Compendium, A Collection of Problems Suggested for the International Mathematical Olimpiads: 1959-2004, Springer,  (pag 289)

Solución de Gennaro Rispoli, profesor de matemáticas en el Liceo Scientifico  Sperimentale annesso al Liceo Ginnasio "T.L. Caro", 84087 Sarno  (Salerno), Italia.(7 de Diciembre de 2009)

Nota del director: Un comunicante que desea mantener el anonimato ha enviado una solución de Mathlink de este problema.

Solución de ML ofrecida por anónimo. (15 de Diciembre de 2009)

Problema 536

3.- Construir las tres circunferencias que pasando por el punto de Gergonne son tangentes a dos de los lados del triángulo ABC.

Los seis puntos de tangencia son concíclicos.

Yiu, P. (2001): Introduction to the geometry of the triangle. (Versión 2.0402, abril 2002) , (p. 6)

Solución de Francisco Javier García Capitán , profesor del IES Álvarez Cubero (Priego de Córdoba) (1 de Diciembre de 2009)

El profesor García Capitán edita la página web problemas de matemáticas / bella geometría

Solución de Gennaro Rispoli, profesor de matemáticas en el Liceo Scientifico  Sperimentale annesso al Liceo Ginnasio "T.L. Caro", 84087 Sarno  (Salerno), Italia.(6 de Diciembre de 2009)

Solución de Vicente Vicario García, I.E.S. El SUR, Huelva (9 de Diciembre de 2009)

Solución del director de la revista (10 de Diciembre de 2009)

Problema 531

La circunferencia circunscrita a un triángulo biseca al segmento que une el incentro con cualquiera de los excentros de dicho triángulo.

Instituto de Ciencias y Humanidades (2005): Geometría, una visión de la planimetría, Lumbreras Editores. Lima Perú. (pag 408)

Solución de Gennaro Rispoli, profesor de matemáticas en el Liceo Scientifico  Sperimentale annesso al Liceo Ginnasio "T.L. Caro", 84087 Sarno  (Salerno), Italia.(16 de Noviembre de 2009)

Solución de Saturnino Campo Ruiz, profesor del IES Fray Luis de León, de Salamanca (16 de Noviembre de 2009)

Solución de Vicente Vicario García, I.E.S. El SUR, Huelva (16 de Noviembre de 2009)

Solución de Ricard Peiró i Estruch Profesor de Matemáticas del IES "Abastos" (València) (16 de Novienbre de 2009) (en valenciano)

Solución de Ricard Peiró i Estruch Profesor de Matemáticas del IES "Abastos" (Valencia) (16 de Noviembre de 2009) (en español)

El profesor Ricard Peiró tiene tiene una página Web

Solución de Nicola Tancredi profesor de Matemática y Física en el liceo Scientifico "G. Galilei" di Sapri (Sa), Italia. (16 de Noviembre de 2009)

Solución de Ercole Suppa, profesor titular de matemáticas y física del Liceo Scientifico “A. Einstein”, 64100 Teramo, Italia (18 de Noviembre de 2009)

Propuesto por Vicente Vicario García, I.E.S. El Sur, Huelva

Problema 532

Sea ABC un triángulo con  y M el punto medio de AB. Demostrar que existe un punto P del segmento CM de modo que las bisectrices interiores de los ángulos  y se cortan en un punto Q de CM.

Nota: El propósito de este problema de existencia surge al estudiar el problema 57 del excelente libro CIEN PROBLEMAS DE MATEMÁTICAS: Combinatoria, Álgebra, Geometría; de D. F. Bellot Rosado y Mª. Asunción López Chamorro, (Instituto de Ciencias de la Educación, Universidad de Valladolid, 1992), con enunciado literal:

Problema 57: “Sea ABC un triángulo () con el ángulo  agudo dado, y M el punto medio de AB. Se elige el punto P del segmento CM de modo que las bisectrices de los ángulos  y se corten en un punto Q de CM. Hallar los ángulos  y ”.

(Olimpiada de Bulgaria, 1985; G. Ganchev)

            En la resolución de este problema 57, en dicho libro aparecen las soluciones  correctas , y , pero está incompleto ya que no se demuestra previamente que tal punto P exista. Por tanto, básicamente, este es el objeto de nuestro problema

Solución de Vicente Vicario García, I.E.S. El SUR, Huelva (16 de Noviembre de 2009)

Solución de Ercole Suppa, profesor titular de matemáticas y física del Liceo Scientifico “A. Einstein”, 64100 Teramo, Italia (19 de Noviembre de 2009)