Aviso : Por circunstancias variadas (amigos, el ser abuelo de una niña magnífica me lleva a estas cosas....¡!), el próximo dieciseis de octubre, excepcionalmente se publicarán los problemas de todo el trimestre. Las soluciones recibidas se publicarán a final de año. El director agradece vuestra atención.

Quincena del 16 al 31 de Octubre de 2014

Problema 722.

Dado un triángulo ABC, consideremos una recta genérica r.

Sean ra, rb y rc las simétricas de r respecto a a, b y c. Demostrar que los triángulos que forman ra, rb y rc son semejantes.

Barroso, R.(2014): Comunicación personal.

Sistema de contador de consumo de agua con grifos de hace muchos años...

Tomado de un lugar cercano a la plaza de Doña Elvira ,

en una tienda de recuerdos para turistas

Fuente de las cuatro estaciones (La Pasarela) (se observa la primavera)

Obra de Don Manuel Delgado Brackbury

Reloj de sol horizontal (La Plaza de América) Es el séptimo de la página reseñada.

Fuente de perímetro poligonal (Glorieta Sánchez Marín)

 

La glorieta, proyectada por Aníbal González, muestra en su centro un estanque de azulejos con reminiscencias árabes y en los extremos dos pequeñas pilastras que contienen fragmentos de su obra. Enfrente, entre anaqueles, se puede ver un retrato del autor también en azulejo.

Problema 723

Dado un triángulo ABC, con ortocentro H, consideremos una recta r que sea tangente en V a una determinada circunferencia Ω de centro H.

A) Sean ra, rb y rc las simétricas de r respecto a a, b y c. Demostrar que los triángulos que forman ra, rb y rcVa, Vb y Vc son congruentes, cualquiera que sea V de Ω.

B) Sean dos triángulosVa, Vb y Vc, V*a, V*b y V*c formados de esta manera a partir de V y V*, puntos de Ω. Demostrar que son transformados por un giro de ángulo <VHV* y cuyo centro es un punto W de la circunscrita a ABC.

C) Sea s la recta que contiene a V V*, y sea s1 la recta paralela a s por H. Las simétricas de s1 por a, b y c se cortan en un punto W1 de la circunferencia circunscrita (problema 720 de esta revista). Demostrar que W1 es diametralmente opuesto a W.

Barroso, R.(2014): Comunicación personal.

Quincena del 16 al 30 de Noviembre de 2014

Problema 724

Circunferencia de Mannhiem

Dado que en un triángulo ABC, la mediatriz de AB interseca la recta AC en M y la de AC interseca la recta AB en N, los cuatro puntos B C M N y el circuncentro O del triángulo son concíclicos.

Instituto de Ciencias y Humanidades (2005): Geometría, una visión de la planimetría. Lumbreras Lima Perú. (p. 501)

Este libro fue un regalo de William Rodríguez Chamache, a quien tengo el honor de agradecer.

Quincena del 1 al 15 de Diciembre de 2014

Problema 725

1119

Sea ABC un triángulo inscrito en un círculo y sea P el baricentro. Extendemos AP BP y CP hasta encontrar el círculo en los puntos D E y F .

Demostrar que

AP/PD + BP/PE + CP/PF =3.

 

KR Sastry. Addis Ababa Etiopía . Mathematics Magazine. (1982) Vol 55. May, pag 181

EXTRA del 16 de Diciembre de 2014 al 15 de Enero de 2015

Problema 726

Demostrar que las seis proyecciones ortogonales de los vértices de un triángulo sobre las bisectrices exteriores son concíclicas.

Quadrature (2003) nº 48, pag 47. Magazine de mathématiques pures et épicées 

La mathématique ouvre plus d'une fenêtre sur plus d'un monde.

Solución del director (Quadrature dio información de ella; se publicará al final del trimestre...)

 

 

Quincena del 1 al 15 de octubre de 2014

Problema 721

(b) En un triángulo ABC, la mediana AD corta a la bisectriz CE en F.

Demostrar que CF/FE = (BC/AC) + 1.

D'Ignazio, I. , Suppa, E. (2001): Il Problema geometrico, Dal compasso al Cabri. Interlinea Editrice. (pag. 274)

Solución de Francisco Javier García Capitán , profesor del IES Álvarez Cubero (Priego de Córdoba) (1 de Octubre de 2014)

El profesor García Capitán edita la página web problemas de matemáticas / bella geometría

Solución de Philippe Fondanaiche (1 de Octubre de 2014)

Philippe Fondanaiche es webmaster de www.diophante.fr  

Solución de Andrea Fanchini Cantú, Italia (1 de Octubre de 2014).

Solución de Ercole Suppa, profesor titular de matemáticas y física del Liceo Scientifico “A. Einstein”, 64100 Teramo, Italia (1 de Octubre de 2014)

El profesor Ercole Suppa tiene una página WEB

Solución de Ricard Peiró i Estruch Profesor de Matemáticas del IES "Abastos" (València) (1 de Octubre de 2014) (en valenciano)

El profesor Ricard Peiró tiene tiene una página Web

Solución de Ricard Peiró i Estruch Profesor de Matemáticas del IES "Abastos" (Valencia) (1 de Octubre de 2014) (en español)

Solución de Saturnino Campo Ruiz, Profesor de Matemáticas jubilado, de Salamanca (1 de Octubre de 2014) 

Solución de Florentino Damián Aranda Ballesteros, profesor de Matemáticas del IES Blas Infante en Córdoba (1 de Octubre de 2014)

Solución del director (10 de Octubre de 2014)

Solución ofrecida por colaborador anónimo(11 de Octubre de 2014)

 

El director agradece profundamente el interés de los colaboradores

Una vez más se pone de manifiesto la grandeza de la geometría

Casi todos los enfoques han sido distintos.

Francisco Javier García Capitán con masas

Philippe Fondanaiche con la ley de los senos

Andrea Fanchini con baricéntricas

Ercole Suppa utilizando un valor de la bisectriz donde interviene el coseno (diferente solución de la ofrecida en el libro referenciado)

Ricard Peiró utilizando áreas

Saturnino Campo Ruiz usando el teorema de Menelao

Florentino Damián Aranda Ballesteros usando el Teorema de Ceva

He usado las alturas

Un colaborador anónimo ha utilizado la cuaterna armónica

Recuerdo aquel rincón del patio en la casa natal, yo a solas y sentado en el primer peldaño de la escalera de mármol. La vela estaba echada, sumiendo el ambiente en una fresca penumbra, y sobre la lona, por donde se filtraba tamizada la luz del mediodía, una estrella destacaba sus seis puntas de paño rojo.

Ocnos. -"El Tiempo"-./ A Luis Cernuda en el Centenario de su nacimiento. Sevilla. 2002"

Calle Acetres, número 6.

 

 

Solución del director .

El director felicita al equipo español que consiguió el tercer lugar.

Bronce para Raúl Alonso Rodríguez y plata para Gonzalo Cao Labora, Damià Torres Latorre y Gerard Orriols Giménez.

¡Enhorabuena!

 

ISSN 1697-4859

Sevilla (España)

Bienvenido/a al Laboratorio virtual de triángulos con Cabri II

Propuesta quincenal de problemas de triángulos para resolverlos con Cabri

Las propuestas de problemas y las soluciones rbarroso@us.es O A ricardobca@yahoo.com IMAGEN DE SEVILLA

Fuente hexagonal del alcÁzar

Vista de Sevilla desde la Giralda

Estrella de ocho puntas del alcázar

 

Quincena del 16 al 30 de Septiembre de 2014

Problema 720

333. Teorema

Si una recta r contiene al ortocentro H corta a los lados del triángulo ABC en L1, L2 y L3, las simétricas de

r respecto a AB, AC y BC concurren en un punto P del circuncírculo y la recta de Simson de P es paralela a r, e inversamente.

 

Johnson R.A.(1929) Advanced Euclidean Geometry. (pag. 210). Dover publications, INC. New York.

Solución de Florentino Damián Aranda Ballesteros, profesor de Matemáticas del IES Blas Infante en Córdoba (18 de Septiembre de 2014)

Solución de Saturnino Campo Ruiz, Profesor de Matemáticas jubilado, de Salamanca (18 de Septiembre de 2014) 

Solución de Andrea Fanchini Cantú, Italia (19 de Septiembre de 2014).

Solución de Philippe Fondanaiche (20 de Septiembre de 2014)

Philippe Fondanaiche es webmaster de www.diophante.fr  

Solución del director (28 de Septiembre de 2014)

 

 Los hombres de buen corazón deben proteger

la vida de los pájaros y favorecer su pro-

pagación, protegiéndolos. Los labradores

observarán cómo disminuyen en sus tierras

las malas hierbas y los insectos.

La ley prohíbe la caza de los pájaros

y señala pena para los infractores.

NO 8 DO (no-madeja-do, símbolo de Sevilla)

Un azulejo en la pared del colegio Borbolla (avda. de Luis Montoto)

 

 

Quincena del 1 al 15 de Septiembre de 2014

Propuesto por Adolfo Soler (Ingeniero de Telecomunicación)

Problema 718

Sea ABC un triángulo acutángulo en el que el lado AC<BC, sean O y H el circuncentro y ortocentro del triángulo respectivamente, F el punto de corte de la altura CH con el lado AB, P el punto de corte del lado AC  y la perpendicular a OF por F.
Probar que <FAP = <PHF.

Monk, D. (2009): New Problems in Euclidean Geometry, UKMT

Solución de Adolfo Soler (Ingeniero de Telecomunicación) (1 de Septiembre de 2014)(Con dos estructuraciones)

Solución de Philippe Fondanaiche (2 de Septiembre de 2014)

Philippe Fondanaiche es webmaster de www.diophante.fr  

Solución de Florentino Damián Aranda Ballesteros, profesor de Matemáticas del IES Blas Infante en Córdoba (3 de Septiembre de 2014)

Solución de Andrea Fanchini Cantú, Italia (5 de Septiembre de 2014).

Solución de Saturnino Campo Ruiz, Profesor de Matemáticas jubilado, de Salamanca (6 de Septiembre de 2014) 

Escultura de Salvador  Dalí (1904-1989) (Géminis) en el espacio libre Dadá

Propuesto por César Beade Franco, I. E. S. Fernando Blanco, Cee, A Coruña.

Problema 719

234. Teorema. Demostrar que el transformado isogonal de un punto del circuncírculo están en la recta del infinito, e inversamente.

Johnson R.A.(1929) Advanced Euclidean Geometry. (pag. 154). Dover publications, INC. New York.

Solución de César Beade Franco, I. E. S. Fernando Blanco, Cee, A Coruña. (1 de Septiembre de 2014)

Solución de Florentino Damián Aranda Ballesteros, profesor de Matemáticas del IES Blas Infante en Córdoba (5 de Septiembre de 2014)

Solución de Saturnino Campo Ruiz, Profesor de Matemáticas jubilado, de Salamanca (6 de Septiembre de 2014) 

Solución de Andrea Fanchini Cantú, Italia (5 de Septiembre de 2014).

Solución del director (10 de Septiembre de 2014)


 

 

Resuelto un problema que estaba sin resolver desde Octubre de 2010

 

Quincena del 1 al 15 de octubre de 2010

Problema 587

 

En Casey(1888), se tiene:

77.- El ortocentro de un triángulo, su punto simediano y el ortocentro de su triángulo pedal, están alineados (E. Van Aubel)

En Math World, se tiene:

The van Aubel line is the line in the plane of a reference triangle that connects the orthocenter H and symmedian point K, and symmedian point of the orthic triangle. The collinearity of these three points is given as an exercise and ascribed to van Aubel by Casey (1888).

La recta de van Aubel es la recta que conecta el ortocentro H, el punto simediano K de un triángulo, y el punto simediano J del triángulo órtico.

La colinearidad de estos tres puntos es dada como ejercicio y adscrita a van Aubel por Casey( 1888)

Casey, J. (1888): A Sequel to the First Six Books of the Elements of Euclid, Containing an Easy Introduction to Modern Geometry with Numerous Examples, 5th ed., rev. enl. Dublin: Hodges, Figgis, & Co. (p. 241) Miscelánea de ejercicios.

http://mathworld.wolfram.com/vanAubelLine.html

(Nota del director: ¿es un despiste de Casey?) ( los puntos señalados en el original de 1888 sólo están alineados para los isósceles, mientras que los señalados en la excelente página de Math World, [de Eric Weisstein, con la colaboración de Floor van Lamoen] están siempre alineados).

Sería interesante saber cuál es la fuente en la que se basó Casey.

El director agradece a Eric Weisstein su atención.

El problema por tanto tiene dos apartados que se pueden resolver separadamente:

Problema 587 a )El ortocentro de un triángulo isósceles, su punto simediano y el ortocentro de su triángulo pedal, están alineados

Casey, J. (1888): A Sequel to the First Six Books of the Elements of Euclid, Containing an Easy Introduction to Modern Geometry with Numerous Examples, 5th ed., rev. enl. Dublin: Hodges, Figgis, & Co. (p. 241) Miscelánea de ejercicios.

Problema 587 b )La recta de van Aubel es la recta que conecta el ortocentro H, el punto simediano K de un triángulo, y el punto simediano J del triángulo órtico

http://mathworld.wolfram.com/vanAubelLine.html

Solución de César Beade Franco, I. E. S. Fernando Blanco, Cee, A Coruña. (15 de Agosto de 2014)

Solución de Jean Louis Ayme (Les droites de Zaslavsky et de van Aubel) 31 de Agosto de 2014

 

 

Propuesto por José Montes Valderrama

Problema 715

El circuncentro, el centro de la circunferencia de los nueve puntos, el punto de Lemoine, y el centro de la hipérbola de Kiepert son concíclicos.

Montes, J. (2014): Comunicación personal.

Circuncentro (problema 5)

el centro de la circunferencia de los nueve puntos o de Euler o de Feuerbach (problema 12)

punto de Lemoine (problema 207)

El centro de la hipérbola de Kiepert (problema 714) se sitúa en el punto medio de los puntos de Fermat (problemas 13 y 14)

Solución de Jean Louis Ayme. Islas Reunion. (15 de Agosto de 2014)

Solución de César Beade Franco, I. E. S. Fernando Blanco, Cee, A Coruña. (12 de Agosto de 2014)

 

Solución de José Montes Valderrama, profesor del Centro Público de Adultos ·"Triana", Sevilla . (16 de Junio de 2014)

Solución de Philippe Fondanaiche (18 de Junio de 2014)

Solución de Andrea Fanchini Cantú, Italia (25 de Junio de 2014).

Solución de José Montes Valderrama profesor del Centro Público de Adultos ·"Triana", Sevilla .en inglés (26 de Junio de 2014)

Dedicado a mi amigo Francisco Javier García Capitán

Granada Febrero de 2004

 

Nota del director: Aunque la revista comenzó en el año 2000, con la idea de usar Cabri,

hoy en 2014 también se puede usar Geogebra, como viene sucediendo desde hace algún tiempo.

El nombre de la revista seguirá, de momento, siendo su seña de identidad.

Dirigida y editada por Ricardo Barroso Campos (Profesor jubilado) Universidad de Sevilla)

Comité Editorial: 
Renovación        
Mar Liñán García,  Profesora Sustituta Interina del Departamento de Didáctica de las Matemáticas de la Universidad de Sevilla

Dª Fabiola Czwienczek, profesora de Matemática (jubilada). Turmero, Venezuela

Inocencio Esquivel García, docente de Matemáticas del Instituto Técnico Patios Centro No. 2 Los Patios N.S. Colombia

Roberto Bosch Cabrera, Licenciado en Matemática de la Universidad de La Habana, Cuba, actualmente residente en Florida, USA,

=============================================================================

Hasta ahora han sido miembros del comité editorial de Trianguloscabri:

José María Gavilán Izquierdo

Florentino Damián Aranda Ballesteros

Maite Peña Alcaraz

Juan Carlos Salazar

Saturnino Campo Ruiz

Juan Bosco Romero Márquez

Alicia Peña Alcaraz

Francisco Javier García Capitán

William Rodríguez Chamache

José María Pedret

Vicente Vicario García

Angel Montesdeoca Delgado

Ricard Peiró Estruch

Julio Miranda

Ercole Suppa

José Manuel Arranz

Julián Santamaria Tobar

Milton Favio Donaire Peña

Francisco Bellot Rosado  

Carmen Arriero Villacorta

Nicolás Carlos Rosillo Fernández

Ramón Trigueros Reina,

Mi profundo agradecimiento por su labor científica.

 

 

Quincena del 16 al 30 de Junio de 2014

Propuesto por César Beade Franco, I. E. S. Fernando Blanco, Cee, A Coruña.

Problema 714

Dado un triángulo ABC, construímos puntos A', B' y C' tales que los triángulos A'BC, B'CA y C'AB son isósceles, semejantes y con la misma orientación.
A. Demostrar que los segmentos AA', BB' y CC' convergen en un punto P.

Leversha, G. (2013): The geometry of the triangle theorem 11.4, (p. 147)


B. Encontrar la curva que describe P al variar los puntos A', B' y C'.

Hipérbola de Kiepert

Nota : Varios puntos de esta hipérbola han aparecido en esta revista:

Baricentro y ortocentro (problema 3 y 4)

Vecten (problema 93)

Spieker (problema 297)

Fermat (problemas 13 y 14)

Solución de César Beade Franco, I:E.S. Fernando Blanco , Cee A Coruña (16 de Junio de 2014)

Solución de Andrea Fanchini Cantú, Italia (16 de Junio de 2014).

Solución de Philippe Fondanaiche (18 de Junio de 2014)

 

Solución de Saturnino Campo Ruiz, Profesor de Matemáticas jubilado, de Salamanca (20 de Junio de 2014) 

 Kiepert (1846-1934) Foto tomada de la referencia en Internet de la hipérbola.

Tomado de la "Enciclopedia Espasa"

 Ecos de sociedad, en una "filmina" del periódico

El Correo de Andalucía, 1 de enero de 1951

Tomada en la hemeroteca provincial, calle Alhóndiga.

Dedicado a mis amigos Ramón Piedra(sentado a la izquierda), Manuel Delgado (de pie a la derecha), Antonio Pérez (sentado en el centro), Juan González Meneses (de pie en el centro) , Antonio Aranda (abajo, al lado de la pizarra), y Fernando Mayoral, colegas de la Olimpíada de Matemáticas, de cuyo comité he formado parte desde 2002. Con mi enorme gratitud. La foto fue hecha en la calle San Fernando el 2 de junio de 2014, con las rejas de la Universidad al fondo, después del acto protocolario de entregas de diplomas a los ganadores de las Olimpíadas de Física, Químicas, Matemáticas. La OME ha celebrado en Requena la Edición 50.

 

Antonio Aranda

Con Manuel Delgado, azafatas, Espino García Y Fernando Mayoral en la

Celebración oficial de la OME en Sevilla en 2006.

ABC de Sevilla, 3 de junio de 2014

 

 

 

 

 

 

 

(Por despiste del director, apareció la solución de César Beade el 14 de junio, cuando debería haber aparecido el 10; disculpas)

Propuesto por César Beade Franco, I. E. S. Fernando Blanco, Cee, A Coruña.

Probema 713

Construir un triángulo conocidos:

         A.   a, A y b-c.

         B.   a, A y b+c.

Beade, C. (2014): Comunicación personal.

Solución de César Beade Franco, I:E.S. Fernando Blanco , Cee A Coruña (1 de junio de 2014)

 

Solución de Florentino Damián Aranda Ballesteros, profesor de Matemáticas del IES Blas Infante en Córdoba (2 de Junio de 2014)

 

Solución de Ricard Peiró i Estruch Profesor de Matemáticas del IES "Abastos" (Valencia) (2 de Junio de 2014) (en español y valenciano)

El profesor Ricard Peiró tiene tiene una página Web

Solución de Francisco Javier García Capitán , profesor del IES Álvarez Cubero (Priego de Córdoba) (3 de Junio de 2014)

El profesor García Capitán edita la página web problemas de matemáticas / bella geometría

Solución de Saturnino Campo Ruiz, Profesor de Matemáticas jubilado, de Salamanca (4 de Junio de 2014) 

Solución de Philippe Fondanaiche (6 de Junio de 2014)

Normas

Se publicarán las soluciones recibidas.
En la quincena, habrá 10 días sin aparecer las primeras soluciones.
En tal caso, hay la posibilidad de que varias soluciones coincidan, y serán publicadas.
Los últimos 5 días aparecen las soluciones,  siempre que sea ésta alguna diferente 
de la del propio proponente;si no es así se queda en el cajón de "pendiente por resolver". 
Los problemas permanecerán un mes en la página de inicio.
Se admiten propuestas de problemas, indicando la correspondiente  bibliografía.
Si de alguna "comunicación personal" es conocida su referencia, 
se solicita que se comunique al director/editor.
Pueden enviarse fotos y pequeño currículum para incorporarlos a Colaboradores
 

Ha habido por Servicont 2230 visitas desde 16 de octubre de 2000 a 1 de julio de 2001

por Miarroba, 118898 desde 1 de julio de 2001 a 6 de septiembre de 2006

A partir del 6 de septiembre de 2006, en

Free counter and web stats


Contador gratuito. En

están las estadísticas. Gracias por tu atención